Якщо цінний папір генерує потік грошових коштів лише один
раз — у момент його погашення, то його дюрація дорівнює періоду
обігу. Приміром, трирічний депозитний сертифікат з умовою вип-
лати основної суми і відсотків після закінчення періоду обігу та про-
даний за номінальною вартістю, має дюрацію 3 роки. Але для всіх
цінних паперів, за якими виплати проводяться кілька разів до до-
сягнення строку погашення, дюрація буде коротшою за тривалість
періоду обігу.
Приклад 7
Облігація номінальною вартістю 1000 грн погашається через
4 роки і має купон 25 %. Якою буде дюрація цього цінного паперу
за умови виплати відсоткового доходу один раз на рік упродовж
усього періоду обігу, якщо його дисконтована ціна становить 900 грн?
Якому напряму інвестування коштів має віддати перевагу підпри-
ємство, якщо термін окупності альтернативного варіанту інвесту-
вання становить 3,5 роки?
Середньозважений строк погашення обчислимо за допомогою
табл. 11.4.
Таблиця 11.4
Аналіз дюрації цінного паперу
1 250 0,800 200 0,222 0,222
2 250 0,640 160 0,178 0,356
3 250 0,512 128 0,142 0,426
4 1250 0,410 512 0,569 2,276
Дюрація 3,280
Період
i
Грошовий
потік за
період CFi
Дисконт*
( )
1
1
=
+ i kd
d
Приведена
вартість
CFi kd
Зважена
приведена
вартість
CFi kd
P
Складові
дюрації
CFi kd i
P
* Коефіцієнт дисконтування kd знайдено за таблицями приведеної вартості.
269
Отже, у термінах приведеної вартості період окупності облігації
становитиме 3,28 року, що і є середньозваженим строком по-
гашення — дюрацією, а тому підприємству доцільно вибрати саме
цей напрям вкладення коштів.
Прогнозний аналіз цінових змін цінного паперу базується на існу-
ванні залежності між змінами ринкових відсоткових ставок і ціною
цінного паперу (у відсотках):
* 100,
1
P D r r
r
Δ = − − ⋅ +
де ΔР — зміна ціни цінного паперу (у відсотках); r* — прогнозована
відсоткова ставка на ринку; r — діюча відсоткова ставка.
Вплив відсоткових ставок на зміну вартості цінного паперу у гро-
шовому вираженні обчислюється за формулою:
* ,
1
P D r r P
r
Δ = − − +
де ΔР — зміна ціни цінного паперу (у грошовому вираженні); Р —
ринкова ціна цінного паперу.
Для оцінки зміни вартості цінного паперу дюрацію зі знаком
“мінус” необхідно помножити на його поточну ціну та зміну від-
соткових ставок на ринку з урахуванням дисконту. Цінні папери з
високим купонним доходом мають коротшу дюрацію порівняно з
цінними паперами, які характеризуються низьким відсотковим дохо-
дом на купон і таким самим рівнем ринкової дохідності. Тому цінні
папери з високим купонним доходом мають нижчий рівень ціново-
го ризику. І навпаки, низькокупонні папери можуть дати високий
дохід за зміни відсоткових ставок на ринку, але при цьому з ними
пов’язаний більший ціновий ризик. З огляду на ці закономірності пер-
ший тип цінних паперів більше підходить консервативному інвесто-
ру, а другий — прихильнику спекулятивного доходу.
Проаналізуємо зміну вартості облігації, яка нині продається за
ціною 900 грн, якщо дюрація дорівнює 3,28 року, а прогноз свідчить
про підвищення відсоткових ставок на ринку упродовж поточного
року з 25 % до 35 %.
3,28 0,35 0,25 100 26,24 %,
1 0,25
3,28 0,35 0,25 900 236,16 грн.
1 0,25
P
P
Δ = − − = − +
Δ = − − = − +
(11.13)
(11.14)
270
Отже, підвищення ринкових ставок на 10 % призведе до зниження
ціни облігації на 26,24 %, або на 236,16 грн, і ринкова ціна облігації
через рік становитиме 663,84 грн.
Маючи намір придбати певні цінні папери, менеджер підпри-
ємства має вирішити, чи прийнятна для нього така цінова чутливість
і чи не будуть інші цінні папери точніше відповідати його поточним
потребам. Також необхідно оцінити ймовірність значних змін відсот-
кових ставок на ринку упродовж періоду обігу цінного паперу. Аналіз
цих аспектів дасть змогу прийняти обґрунтоване рішення щодо
купівлі чи продажу цінних паперів.
11.4. УПРАВЛІННЯ ПОРТФЕЛЕМ
ФІНАНСОВИХ ІНВЕСТИЦІЙ
У підприємницькій діяльності ризик пов’язується з фінансовими
втратами, що стають неминучими в разі реалізації певних ризиків.
Усі види ризиків, властиві тим чи іншим цінним паперам, —
відсотковий, кредитний, діловий, інфляційний, дострокового по-
гашення, ліквідності, — в сукупності формують загальний ризик цьо-
го інструменту, який порівнюється з його дохідністю. Ризик полягає
в тому, що очікування власника щодо рівня дохідності цінних паперів
можуть не справдитись і якусь частину доходів буде втрачено. При
цьому оцінюється очікуваний дохід, а сукупний ризик розглядаєть-
ся як невизначеність щодо можливості отримання цього доходу, тоб-
то як рівень мінливості (варіабельності) доходу. Отже, дохідність пор-
тфеля, на яку сподівається його власник, є випадковою величиною, і
тому його кількісна оцінка не може бути однозначною. У цілому ви-
мірювання ризику фінансових інвестицій є багатоаспектною пробле-
мою як з погляду методики аналізу, так і з позицій ефективного уп-
равління інвестиційним портфелем.
На практиці для визначення міри ризику використовуються різно-
манітні показники, які, в основному, репрезентовані статистичними
величинами, такими як дисперсія, стандартне відхилення, коефіцієн-
ти кореляції і коваріації. Ці характеристики цінного паперу показу-
ють, в якій мірі та з якою ймовірністю його фактична дохідність може
відрізнятися від очікуваної. Величина ризику визначається на базі
аналізу реальних даних про дохідність цінних паперів за попередні
271
періоди за допомогою статистичних методів. Коротко охарактери-
зуємо основні статистичні показники ризиковості.
Найчастіше у процесі аналізу ризику цінного паперу викорис-
товують коефіцієнт β (бета). Для окремого цінного паперу β роз-
раховують як відношення коваріації дохідності паперу та ринку в
цілому до дисперсії дохідності ринку:
( )
2
cov ,
,
R
P R
β =
σ
де β — бета цінних паперів; cov(P, R) — коваріація ціни цінного па-
перу Р та ринку R; σ2
R — дисперсія ринку.
Коваріація змінних Р і R обчислюється за формулою:
( )( )
1
cov( , ) 1 ,
n
i i
i
P R P P R R
n =
= Σ − −
де Р
–
, R
–
— середні значення ряду.
Коефіцієнт кореляції (ρP,R)показує щільність залежності між дво-
ма рядами динаміки і розраховується за формулою
( )
,
cov ,
P R ,
P R
P R
ρ =
σ σ
де σP, σR — стандартні відхилення дохідності відповідно цінного па-
перу та ринку.
Стандартне відхилення показує, наскільки широким є розрив між
значеннями конкретного спостереження та середнім значенням ряду,
і обчислюється за формулою
( )2
1
1 ,
1
n
P i
i
P P
n =
σ = −
− Σ
де Рi, — значення доходу за цінним папером в i-му спостереженні;
Р
–
— середнє значення ряду; n — кількість спостережень.
Стандартне відхилення дохідності ринку обчислюється аналогіч-
но. Квадрат стандартного відхилення називається дисперсією.
Як бачимо, для розрахунку коефіцієнта β необхідно мати дані про
динаміку ринкової дохідності цінного паперу. Як правило, таким по-
казником вважають фондовий індекс, який користується найбільшою
популярністю на конкретному ринку. На міжнародних ринках най-
частіше використовують індекс Standard & Poor’s, побудований на
(11.15)
(11.16)
(11.17)
(11.18)
272
основі динаміки цін на акції п’ятисот найбільших компаній (S&P 500
index), на ринках Японії — індекс Nikkey.
Рішення про доцільність інвестування коштів у фінансові активи
підприємство має приймати на основі результатів аналізу співвідно-
шення дохідності та ризику, в результаті якого визначається, чи до-
статня очікувана дохідність цінного паперу для компенсації пов’яза-
ного з ним ризику. Але найчастіше інвестор працює не з одним, а з
кількома інвестиційними цінними паперами, які в сукупності форму-
ють портфель. Властивості портфеля відрізняються від властивостей
окремих цінних паперів, зокрема щодо визначення рівня ризику.
Теорію вибору ефективного портфеля фінансових інвестицій, яку
вперше розробив Г. Марковіц у 50-х роках минулого століття, зго-
дом суттєво вдосконалили Р. Трейнор, Дж. Лінтнер, У. Шарп та інші.
Розглянемо основні її положення.
Дохідність портфеля є адитивною величиною і дорівнює сумі до-
ходів, що їх генерують окремі цінні папери. Середня ставка дохідності
портфеля (dp) визначається як середньозважена величина дохідності
фінансових інструментів, що входять до його складу:
1
1
,
n
i i
i
p n
i
i
d W
d
W
=
=
=
Σ
Σ
де di — дохідність і-го виду цінних паперів (i = 1,…, n); Wi — обсяг
цінних паперів i-го виду в портфелі; n — кількість видів цінних па-
перів у портфелі.
На відміну від дохідності ризик портфеля не обов’язково вимі-
рюється середньозваженою величиною сукупності ризиків окремих
портфельних інвестицій, оскільки різні види цінних паперів по-
різному реагують на зміну кон’юнктури ринку. Стандартні від-
хилення дохідності цінних паперів у багатьох випадках можуть взаєм-
но погашатися, результатом чого стає зниження загального ризи-
ку портфеля за збереження його дохідності. Отже, ризик портфеля
значною мірою залежатиме від кількості видів цінних паперів, які
формують портфель, та від того, наскільки і в якому напрямку
змінюється їх дохідність за зміни кон’юнктури ринку.
У процесі аналізу портфеля заведено виокремлювати дві складові
сукупного ризику: систематичний та несистематичний ризики.
(11.19)
273
Систематичний ризик є частиною загального ризику системи, зале-
жить від стану економіки в цілому і зумовлюється макроекономічни-
ми чинниками, такими, як динаміка інвестицій, обсяги зовнішньої
торгівлі, зміни податкової політики, стан платіжного балансу, а тому
він наявний у діяльності всіх суб’єктів господарського процесу. Сис-
тематичний ризик називають недиверсифікованим, або ринковим,
оскільки його не можна зменшити диверсифікацією (включенням до
портфеля різних за характеристиками цінних паперів). Отже, дивер-
сифікований портфель характеризується тільки систематичним ризи-
ком, який вимірюють за допомогою коефіцієнта бета (β).
Несистематичний ризик пов’язано з невизначеністю діяльності
конкретного емітента цінних паперів. Інвестор має змогу уникнути
цього ризику, сформувавши ефективний портфель, тобто такий набір
цінних паперів, який уможливлює взаємне компенсування коливан-
ня дохідності різних інструментів, коли недостатня дохідність одно-
го цінного паперу компенсується підвищеною дохідністю іншого. Для
зниження несистематичного ризику і застосовується метод диверси-
фікації. Ризик недиверсифікованого портфеля вимірюється стандар-
тним відхиленням.
Коефіцієнт бета для портфеля в цілому (βP) розраховується як се-
редньозважене значення величин бета (βi) тих видів цінних паперів,
що входять до його складу, з урахуванням їх питомої ваги у струк-
турі портфеля. Слід наголосити на тому, що кожен вид цінних паперів
має власний коефіцієнт βi, який є індексом дохідності цього цінного
паперу щодо середньої дохідності на фондовому ринку. Отже, якщо
до складу портфеля підприємства включено різні види цінних паперів,
то коефіцієнт бета визначається окремо для кожного з них (11.15),
після чого βP обчислюють за формулою
1
,
n
p i i
i=
β =Σγ β
де βр — коефіцієнт бета i-го виду цінних паперів, що входять до скла-
ду портфеля; γi, βi — питома вага i-го виду цінних паперів у портфелі;
р — кількість видів цінних паперів у портфелі підприємства.
Коефіцієнт βр показує, наскільки зміниться дохідність портфеля
за зміни очікуваної дохідності ринкового портфеля на 1 %. Для рин-
кового портфеля беруть за одиницю βр. Для портфеля з βр < 1 зміни
кон’юнктури ринку менше позначатимуться на його дохідності, на-
томість дохідність портфеля з βр > 1 зміниться більше, ніж дохідність
усього ринку. Приміром, якщо βр = 1,3, то за підвищення дохідності
(11.20)
274
ринку на 2 % дохідність портфеля зросте на 2,6 %. За зниження до-
хідності ринкового портфеля на 2 % показники дохідності такого
портфеля зменшаться також на 2,6 %, що свідчить про вищий рівень
ризику портфеля проти середньоринкового ризику. За значенням
бета портфелі поділяють на агресивні (βр > 1) та захисні (βр < 1).
Якщо βр = 1, то ризик портфеля збігається з ризиком системи. Зна-
чення бета може бути не тільки додатним, а й від’ємним. Це озна-
чає, що дохідність ринку і портфеля цінних паперів, сформованого
інвестором, змінюються у протилежних напрямах.
У процесі управління портфелем перед інвестором постійно постає
завдання аналізу співвідношення ризику та дохідності портфеля. Нині
найуживанішою є методика аналізу цієї залежності на основі моделі
оцінки вартості капітальних активів (САРМ). Відповідно до основ-
них положень моделі САРМ дохідність портфеля цінних паперів (dp)
розглядається як функція трьох змінних: систематичного ризику пор-
тфеля (βP), очікуваної дохідності портфеля (dm) та ставки доходу за
безризиковими цінними паперами (d0). Залежність між очікуваною до-
хідністю та ризиком виражається формулою
d p = d0 + βp (dm − d0 ).
За економічним змістом перевищення дохідності портфеля над без-
ризиковою ставкою є премією, що її отримує його власник за ризик,
який він узяв на себе, придбавши певні цінні папери у процесі фор-
мування портфеля.
На основі цієї моделі аналізують ефективність управління порт-
фелями цінних паперів. Коефіцієнт ефективності розраховується як
відношення різниці між дохідністю портфеля (реальною або очіку-
ваною) та безризиковою ставкою до показника, який відображає
ризик портфеля. У теорії управління обґрунтовано кілька ко-
ефіцієнтів ефективності, які можуть бути використані у процесі ана-
лізу та прийняття управлінських рішень. У цілому коефіцієнти ефек-
тивності управління портфелями цінних паперів мають однакову
структуру, але різняться за способами вимірювання ризиковості
портфеля.
У процесі аналізу ефективності диверсифікованого портфеля час-
то використовують коефіцієнт Трейнора (kT):
p 0 ,
p
d d
kT
−
=
β
де dp — дохідність портфеля інвестора за період, що аналізується.
(11.22)
(11.21)
275
Коефіцієнт Шарпа доцільно застосовувати для аналізу недивер-
сифікованого портфеля цінних паперів (kS):
p 0 ,
p
d d
kS
−
=
σ
де σp — стандартне відхилення дохідності портфеля інвестора.
Методику визначення коефіцієнтів ефективності управління пор-
тфелями цінних паперів та їх порівняльний аналіз продемонструємо
прикладом.
Приклад 8
Підприємство має три варіанти формування портфеля фінансо-
вих інвестицій (П1, П2, П3), основні характеристики яких наведено
в таблиці 11.5. Необхідно проаналізувати портфелі з погляду
співвідношення “дохідність — ризик” та вибрати оптимальний.
Аналіз ефективності портфелів проведемо за допомогою ко-
ефіцієнтів Трейнора і Шарпа.
Якщо перед підприємством постає завдання вибору оптимального
портфеля з позиції співвідношення “дохідність — ризик”, а портфель
kT kS
Портфель d0, % dp, % σp, % β розра- зна- розра- зна-
хунок чення хунок чення
П1 20 27 18 0,85
27 20
0,85
−
8,24
27 20
18
−
0,39
П2 20 30 21 1,20
30 20
1, 20
−
8,33
30 20
21
−
0,48
П3 30 32 25 1,50
32 20
1,50
−
8,00
32 20
25
−
0,48
Таблиця 11.5
Аналіз коефіцієнтів ефективності управління портфелями
цінних паперів
