Поля точечного заряда и диполя в анизотропной среде
Рассмотрим поле точечного заряда . е в анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости к. Функция плотности электрических зарядов р (г) для точечного заряда сводится, как известно, к б-функции Дирака, умноженной на величину заряда: р (г) = еб (г — г@)), где вектор г@) определяет положение заряда. Связав с зарядом начало координат, получим divfl = 4jie8®. C0.1) Так как D = —x-gracl cp и тензор к не зависит от координат, из C0.1) следует, что потенциал ф удовлетворяет уравнению 200 ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ [ГЛ. III Запишем его в системе координат XxX2Xdi построенной на собственных векторах тензора х: *<« Щ+«B) Щ+х(8) Щ = ~4леЬ <*N (*«)б <*»)• C0-3) Чтобы решить уравнение C0.3), произведем замену переменных: вместо переменных х{ введем переменные yt = Xi/]/~K{i). Использовав для преобразования б-функций формулу б (х1'2*/) = х/2 8(у), получим из C0.3) й + й + й = - у 4"е s (й) б Ш>б Ы- C0.4) ^? д& ду\ УхA)хB)хC) Это уравнение определяет потенциал поля точечного заряда e' = e/]/rxU)XB)XC) в вакууме; его решением служит ф = lV yl- В прежних переменных Введем в рассмотрение тензор диэлектрической непроницаемости т) = х~1. Заметив, что XA)XB)XC) = detx= 1/det т], а запишем потенциал поля точечного электрического заряда е в анизотропной среде в бескоординатной форме: Уравнение ф (г) = const определяет эквипотенциальные поверхности. Из решения C0.5) следует, что это эллипсоиды r-i|-r = const C0.6) — характеристические поверхности тензора диэлектрической непроницаемости т) (см. §22). Представив радиус-вектор г в виде г = гр, где г — расстояние от начала координат, ар — единичный вектор луча, можно вместо C0.5) записать Сравнение этой формулы с аналогичной формулой для изотропной среды ф = el (иг) показывает, что роль «диэлектрической проницаемости в направлении единичного вектора р» играет в этой задаче величина § 30] ТОЧЕЧНЫЙ ЗАРЯД И ДИПОЛЬ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 201 Зная потенциал, нетрудно найти напряженность г-. 1 £ Vaet ч /on n\ с = — gradcp = 3/2^1'^" (ои.У) и индукцию электрического поля В = к Е= еУЫ?тН C0.10) подсчитывая индукцию, мы воспользовались тем, что тензоры т) и и взаимно обратны. Векторы электрической индукции D в анизотропной среде, как и в изотропной, направлены по лучам, исходящим из заряда. Векторы же напряженности электрического поля Е в анизотропной среде, вообще говоря, отклоняются от этих лучей. В то же время вдоль каждого такого луча абсолютная величина напряженности уменьшается по тому же закону Е (г) -^ 1/г2, как и в изотропной среде: ^! C0П) (P'4'Pf2 г* ' Сравнение этой формулы с аналогичной формулой для изотропной среды Е = е/(кг2) позволяет ввести еще одну «диэлектрическую проницаемость в направлении единичного вектора р»: Таким образом, можно ввести множество различных определений «диэлектрической проницаемости в данном направлении», поэтому необходимо четко указывать, какая именно величина имеется в виду в каждом отдельном случае. Естественное обобщение задачи о поле точечного заряда — задача о поле диполя. Рассмотрим систему точечных зарядов eni находящихся в точках г(л). Потенциал поля такой системы равен сумме потенциалов отдельных точечных зарядов, т. е. Исследуем поле вдали от зарядов. При этом удобно предположить, что начало отсчета выбрано где-то вблизи зарядов, так что удаленность точки наблюдения от зарядов означает, что г ^> г{п). Разложим C0.13) в ряд, ограничиваясь первыми двумя членами. Так как (г - гW) т) (г - г1л)) ^ г г\ г — г(л) • т) г - г ^02 ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ ГГЛ III (здесь использована симметричность тензора т)), а для е «< 1 справедливы приближенные равенства l/j/~l — 2е ^ 1/A — е) «^ 1 -f e, то из C0.13) получим п Первый член этого разложения —потенциал поля суммарного заряда е=2*л- Нас интересует поле нейтральной в целом системы п зарядов, когда е = 0 и отличен от нуля следующий член разложения. Тогда поле определяется в основном дипольным моментом C0.15) п системы зарядов и потенциал его Напряженность поля а индукция D® = K.E = VM^4M'^\r-^-r)*. C0.18) Для выделения в этих формулах зависимостей от направления и от расстояния между точкой наблюдения и диполем опять используем единичный вектор луча р: C(ш> (зо.2О) В изотропной среде единственной плоскостью среди эквипотенциальных поверхностей оказывается плоскость, проходящая через диполь и перпендикулярная к вектору дипольного момента М. В анизотропной среде аналогичную роль играет плоскость, также проходящая через диполь, но перпендикулярная не к вектору М, а к вектору т)«М. В изотропной среде во всех точках, лежащих на оси диполя (р || М), векторы Е и D направлены по той же оси (Е II D II М) В анизотропной среде в таких точках только вектор D направлен по оси диполя, а вектор Е параллелен вектору rj-Ai § 31] ПИРОЭЛЕКТРИКИ 203 Убывание же потенциала и абсолютных величин векторов поля с удалением от диполя по любому лучу в анизотропной среде такое же, как и в изотропной: потенциал спадает, как 1/г2, напряженность и индукция — как 1/г3.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поля точечного заряда и диполя в анизотропной среде» з дисципліни «Основи кристалофізики»
