Изолированные и критические точки непрерывного перехода
Разделяя фазы разной симметрии, кривая (на диаграмме Р, Т) фазовых переходов второго рода не может, конечно, прос- то окончиться в некоторой точке. Она может, однако, перейти в кривую фазовых переходов первого рода. Точку, в которой одна кривая пе- реходит в другую, можно назвать кри- тической точкой переходов второго рода] она в известном смысле аналогич- на обычной критической точке (точка К на рис. 66; на этом и следующих рисун- ках в этом параграфе сплошные и штри- ховые линии изображают кривые точек фазовых переходов соответственно пер- т вого и второго родовJ) . В рамках теории Ландау свойства ве- с* щества вблизи такой точки могут быть исследованы тем же к / х) Значения индексов а и С, взяты из работы Le Guillou J.C., Zinn- Justin J.//Phys. Rev.- 1980.-V. B21.-P. 3976. 2) В литературе такую точку называют также трикритической. 562 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV развитым в § 143 методом разложения по степеням параметра порядка (Л. Д. Ландау, 1935). В разложении A43.3) критическая точка определяется обра- щением в нуль обоих коэффициентов А(Р,Т) и В(Р,Т) (до тех пор, пока = О, В > 0, мы имеем дело с переходом второ- го рода, так что кривая этих переходов заканчивается лишь там, где В изменит знак). Для устойчивости состояния тела в самой критической точке необходимо тождественное исчезно- вение члена пятого порядка и положительность члена шестого порядка. Таким образом, исходим из разложения Ф(Р,Т,т/) = Ф0(Р,Т)+А(Р,Т)г/2+Б(Р,Т)г/4+^(Р,Т)г/6, A50.1) причем в критической точке Акр = 0, Вкр = 0, DKp > 0. В несимметричной фазе минимизация термодинамического потенциала дает г/2 = CD)-±[-B + л/Б2 -ЗАО]. A50.2) Для энтропии S = —дФ/дТ этой фазы имеем, опуская члены высших степеней по г/: S = Sq — arj2, где а = дА/дТ. Дифферен- цируя еще раз, находим теплоемкость С где выписан лишь член, в котором знаменатель обращается в критической точке в нуль. Введем температуру Tq = Tq(P), для которой В2 — SAD = 0; очевидно, что при Р = Ркр, Tq совпадает с Ткр. Первый член разложения В2 — 3AD по степеням Т — Tq: В2 - 3AD = -За0А)(Т - То). A50.4) Вблизи критической точки разность ТС(Р) —Tq(P) является ма- лой величиной второго порядка; действительно, при Т = ТС(Р) имеем А = 0, и потому разность ^ A50.5) т. е. стремится при Р —>• Ркр к нулю как В2. Подставив A50.4) в A50.3), находим A50.6) (с той же точностью коэффициент в этой формуле может быть взят при Ткр вместо То). Таким образом, теплоемкость несим- метричной фазы возрастает при приближении к критической точке как (То -ТI/2. § 150 ИЗОЛИРОВАННЫЕ И КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 563 Для состояний на самой кривой переходов второго рода, по- лагая в A50.3) А = 0 (или подставляя A50.5) в A50.6)), получим тф^ A507) Обращаясь в нуль в критической точке, в ее окрестности вели- чина В пропорциональна Т — Ткр (или Р — РКр)- Определим теперь теплоемкость несимметричной фазы на линии переходов первого рода, но снова вблизи критической точки. В точках этой линии находятся в равновесии друг с дру- гом две различные фазы— симметричная и несимметричная. Значение параметра т\ во второй из них определяется услови- ем равновесия Ф(г/) = Фо, причем одновременно должно быть дФ/дт] = 0. Подстановка Ф из A50.1) приводит к уравнениям А + Вт]2 + Dr]4 = 0, А + 2Вт]2 + ЗДг/4 = 0, откуда R V2 = -?, A50.8) а подстановка этого значения снова в уравнение Ф(г/) = Фо дает AAD = В2. A50.9) Это — уравнение линии переходов первого рода. Теплоемкость несимметричной фазы на этой линии получа- ется просто подстановкой A50.9) в A50.3): з^ A50Л0) Сравнение с A50.7) показывает, что теплоемкость на линии пе- реходов первого рода вдвое больше теплоемкости на линии пе- реходов второго рода при том же расстоянии от критической точки. Теплота перехода из несимметричной в симметричную фазу: / т\ q = TKp(So-S) = (f-) \B\. A50.11) V 2JJ / кр Покажем еще, что кривая переходов первого рода смыкается в критической точке с кривой переходов второго рода без излома. На первой кривой производная dT/dP определяется условием 2D dA + 2AdD-BdB = 0, получающимся дифференцированием уравнения A50.9). Урав- нение же кривой переходов второго рода: А = 0, так что dT/dP определяется условием dA = 0. Но в критической точке А = 0, В = 0 и оба условия совпадают, так что dT/dP не имеет скачка. 564 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV Аналогичным образом можно убедиться в том, что вторая про- изводная d2T/dP2 испытывает скачок. При приближении к критической точке вдоль линии Р = Ркр теплоемкость Ср меняется, согласно A50.6), по закону |?|-1/2, т. е. индекс а = 1/2. (Такой же предельный закон справедлив и при приближении вдоль всех других радиальных направлений в плоскости РТ, за исключением направления самой линии пере- ходов второго рода—линии А = 0; роль t играет при этом рас- стояние до точки К.) Параметр порядка в несимметричной фазе меняется по закону г/ « (—A/3DI/4 со l^1/4, т. е. индекс /3 = 1/4. Индекс z/, определяющий поведение корреляционного радиуса, имеет то же значение, v = 1/2, что и для всех точек перехода второго рода в теории Ландау. В том приближении, в котором выведена формула A46.8), обращение В в нуль не отражается на результате. Для остальных индексов из A48.13)—A48.17) полу- чаются значения 7 = 1,^ = 5, е = ji = 2/5, ( = 0. Мы знаем уже, что теория Ландау, на которой основаны изложенные здесь вы- воды, неприменима вблизи линии переходов второго рода. Инте- ресно, однако, что условия применимости этой теории улучша- ются по мере приближения к критической точке, что видно уже из неравенства A46.15), в правую часть которого входит как раз В. Разумеется, обращение В в нуль не означает, что флук- туационные поправки отсутствуют в критической точке вовсе. Но указанные выше значения индексов уже удовлетворяют соот- ношению масштабной инвариантности A49.2). Естественно по- этому, что результаты флуктуационной теории отличаются от результатов теории Ландау лишь степенями логарифма расстоя- ния до критической точки. Напомним, что логарифмические множители не улавливаются значениями индексов. Далее остановимся (снова в рамках теории Ландау) на неко- торых свойствах точек пересечения линий фазовых переходов первого и второго рода. Симметрия несимметричной фазы при фазовом переходе вто- рого рода определяется (как было показано в § 145) минимиза- цией членов четвертого порядка в разложении Ф как функций коэффициентов 7г = Vi/V- Но эти члены зависят также и от Р и Т, и поэтому может оказаться, что на разных участках линии переходов несимметричная фаза имеет различную симметрию. В простейшем случае такого рода мы имеем дело с пересечением линии переходов второго рода (кривая АС на рис. 67) с линией переходов первого рода (линия BD). Область I—симметрич- ная фаза, а группы симметрии фаз II и III — подгруппы группы симметрии фазы I. Они, однако, вообще говоря, не являются § 150 ИЗОЛИРОВАННЫЕ И КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 565 подгруппами друг друга, и потому разделяющая эти фазы кри- вая BD — линия переходов первого рода. В точке В все три фазы тождественныг) . А, s ч т г ' NT' тт ТТ И Ч/ III \ С" ^D \ Рис. 67 Рис. 68 На рис. 68 показан возможный тип пересечения нескольких линий переходов второго рода. Если I —наиболее симметричная фаза, то группы симметрии фаз II и III являются подгруппа- ми группы симметрии фазы I, группа же симметрии фазы IV — подгруппа одновременно групп симметрии фаз II и III2) . На- конец, осталось рассмотреть случай, когда члены третьего по- рядка в разложении термодинамического потенциала не обра- щаются в нуль тождественно. В этом случае условие существо- вания точки непрерывного фазового перехода требует обраще- ния в нуль наряду с коэффициентом А(Р,Т) также и коэффи- циентов Са (Р, Т) при инвариантах третьего порядка в разложе- нии A45.6). Очевидно, что это возможно, только если имеется всего один инвариант третьего порядка; в противном случае мы получили бы более двух уравнений для двух неизвестных Р и Т. При наличии всего одного инварианта третьего порядка два уравнения А(Р,Т) = 0 и С(Р,Т) = 0 определяют соответствую- щие пары значений Р, Т, т. е. точки непрерывного фазового перехода являются изолированными. Будучи изолированными, эти точки должны лежать опре- деленным образом на пересечении кривых (в плоскости РТ) фазовых переходов первого рода. Мы не станем производить здесь подробное исследование, ограничившись лишь указанием результатов3) . ) Флуктуационные поправки могут, вероятно, привести к возникновению в точке В особенности — угловой точки линии АВ и СВ. 2) Точку пересечения типа рис. 67 называют в литературе бикритической, а типа рис. 68 — тетракритической. В случае, если одна из несимметрич- ных фаз является несоизмеримой, бикритическую точку называют точкой Лифшица. (См. задачу к этому параграфу.) — Примеч. ред. 3)См.: Ландау Л.Д.//ЖЭТФ.— 1937.- Т. 7.- С. 19 (Собрание трудов.- Т. 1, статья 28.— М.: Наука, 1969.) 566 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV Наиболее простой тип изображен на рис. 69 а. Фаза I обла- дает более высокой симметрией, а фазы II и III —более низкой; Рис. 69 при этом симметрии фаз II и III одинаковы, и эти фазы отли- чаются лишь знаком г/. В точке непрерывного перехода (О на рисунке) все три фазы становятся тождественными. В более сложных случаях в точке непрерывного перехода ка- саются две (как на рис. 69 б) или более кривых фазовых перехо- дов первого рода. Фаза I — наиболее симметричная, остальные — менее симметричны, причем симметрии фаз II и III (и фаз IV и V) одинаковы, и эти фазы отличаются лишь знаком г/.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Изолированные и критические точки непрерывного перехода» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
