Соотношения A48.13)—A48.17) не связаны с какими-либо предположениями о характере флуктуационной картины вбли- зи точки переходах) . Дальнейшие заключения о критических индексах требуют уже определенных предположений на этот счет. Заметим, что в теорию входят, вообще говоря, два характер- ных размера, определяющих пространственное распределение флуктуации, — корреляционный радиус гс и размер г о участка тела, в котором средняя квадратичная флуктуация параметра порядка сравнивается с его характерным равновесным значе- нием2) . Неравенство A46.14), обеспечивающее применимость теории Ландау, можно записать как rc ^> rq (действительно, 1) Естественно поэтому, что все эти соотношения удовлетворяются и в теории Ландау. 2) Разумеется, речь идет о распределении лишь на расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами. § 149 МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 557 согласно A46.13) и A46.11) имеем в объеме V ~ rjj: ((Ar/J) ~ ~ Tc/grQ и, приравняв это величине г/2 ~ a\t\/b, найдем г о ~ ~ Tcb/ga\t\; сравнение с гс A46.12) приводит к условию A46.15)). При t = 0 го растет быстрее, чем гс, и на границе области Лан- дау они сравниваются. Основное предположение о флуктуаци- онной области (определяемой неравенством, обратным A46.15)) состоит в том, что в ней вообще отсутствует какой-либо ма- лый параметр в теории. В частности, должно оставаться вез- де го ~ гс, так что гс оказывается единственным размером, характеризующим флуктуации. Это предположение называ- ют гипотезой масштабной инвариантности (L. Kadanoff, 1966; А. 3. Паташинский, В. Л. Покровский, 1966). Для оценки флуктуации в объеме V ~ г^ можно пользоваться формулой A46.2):) . Подставив в условие ^f-r? A49.1) объем V ~ rf и выразив затем все величины х, гс, г\ через сте- пени t согласно определениям критических индексов, получим равенство vd — 7 = 2/3 или, с учетом A48.13), ud = 2-a. A49.2) Присоединив это соотношение к полученным в § 148, мы можем выразить все критические индексы уже всего через два незави- симых2) . Требование масштабной инвариантности позволяет полу- чить единообразным образом все вообще соотношения между критическими индексами. Для этого прежде всего дадим более формальное определение этого требования. Пусть масштаб всех пространственных расстояний меняется в одинаковое число раз: г —>• т/и с некоторым постоянным и. Тогда масштабная инвариантность состоит в утверждении, что можно так изменить масштабы измерения величин ?, /i, r/, чтобы все соотношения теории остались неизменными. Другими слова- ми, можно таким образом выбрать показатели А^, А/^ А^ (так называемые масштабные размерности) в преобразованиях T]^r]uAr] при т->т/щ A49.3) чтобы из всех соотношений множители и выпали. Напомним, что в таком виде (т. е выраженная через восприимчивость х) эта формула имеет общий характер и не связана с предположениями теории Ландау (см. второе примеч. на с. 538). 2) В теории Ландау масштабной инвариантности нет (а потому несправед- ливо и равенство A49.2)). 558 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV Изменение пространственного масштаба должно, в частно- сти, приводить к такому же изменению корреляционного радиу- са флуктуации (гс —>> гс/и)] тем самым будет обеспечена инвари- антность асимптотического выражения корреляционной функ- ции (~ ехр(—г/гс)). Согласно определениям A48.6) и A48.11) при h = 0 корреляционный радиус rc = const • t~v', а при t = О rc = const • h~^. Произведя преобразование A49.3) и потребовав, чтобы коэффициенты в этих выражениях остались неизменны- ми, получим 1 1 А, = -, Дл = -. A49.4) Далее рассмотрим изменение термодинамического потен- циала при бесконечно малом изменении поля h. Согласно A44.2) имеем d^ = -Vrfdh (при t = const и, как всегда, Р = const). При масштабном пре- образовании объем V —> V'jud', потребовав, чтобы выражение с/Ф осталось прежним, т. е. V~d • г]иАп • dhu^ = Vrjdh, получим Av = d-Ah = d--. A49.5) fi Таким образом, размерности А^, А/^, А^ выражены через два критических индекса /i и v. Требование масштабной инвари- антности дальнейших соотношений приводит уже к выражению остальных критических индексов через эти два. Потребуем инвариантности «уравнения состояния» системы, т. е. выражения параметра порядка через температуру и поле: г/ = 7/(?, К). Это значит, что должно быть r](tuA\huAh) =uAr^r](t,h). Решение этого функционального уравнения имеет вид r,(t,h) = Аналогичные соображения можно применить и к термоди- намическому потенциалу Ф(?, h)) (точнее—к его сингулярной части, которая и подразумевается ниже под Ф). Будучи адди- тивной величиной, полный термодинамический потенциал тела пропорционален его объему. Поэтому требование его инвариант- ности при масштабном преобразовании записывается как 149 МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 559 Отсюда *(^) A49.7) Функции / и ср в A49.6), A49.7), конечно, связаны друг с другом, поскольку —дФ/dh = r\V. Выражения A49.6), A49.7) написаны здесь для h > 0; ввиду симметрии эффективного га- мильтониана по отношению к замене h —>• — /i, r\ -Л —г/, формулы для h < 0 получаются из написанных этой же заменойг) . Произведем дальнейшие рассуждения на основании форму- лы A49.7). Как уже отмечалось в связи с A48.18), при задан- ном отличном от нуля h термодинамические функции не имеют особенности по t и потому должны быть разложимы по целым степеням этой переменной. Это значит, что при h ф 0, t —>> 0 функция <р(х) в A49.7) разлагается в ряд по целым степеням малой переменной х = t/hfJj/l/. Первые члены этого разложения дают [ i ! ] A49.8) где ci, C2 — постоянные коэффициенты. Потребовав теперь, что- бы параметр порядка и теплоемкость, вычисленные как вели себя при t —>> 0 по законам г/ со h1/6 и Ср оо h~? (отвечаю- щим случаю сильного поля), получим два соотношения между критическими индексами: (/id — 1N = 1, /if d) = е; легко проверить, что они действительно следуют из уже извест- ных нам соотношений, полученных ранее другим способом. Пусть теперь t имеет отличное от нуля значение: тогда тер- модинамические величины не имеют особенности при прохожде- нии нулевого значения переменной /г, и потому функция Ф(?, К) разложима по целым степеням h. Это значит, что при h —>> 0, х) Напомним, однако, лишний раз, что в эффективном гамильтониане ц фигурирует как переменная, по которой производится континуальное ин- тегрирование в статистическом интеграле. В термодинамических же фор- мулах под ц подразумевается равновесное значение параметра порядка, которое дается производной дФ/dh (или dQ/dh) от термодинамического потенциала, определенного по статистическому интегралу. Симметрия эф- фективного гамильтониана приводит, конечно, к аналогичной симметрии в термодинамических соотношениях. 560 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV t ф 0 разложение функции <р(х) по малой переменной 1/х = l t должно иметь вид ф) (X) xyt[l + ах-"'» + ^ множитель xyd компенсирует нецелую степень hd^, а переменная разложения x~v^ со h. Разложение, однако, различно при t > 0 и при ? < 0. При t > 0 потенциал Ф(?, /г) содержит только четные степени /г, поскольку производная —дФ/dh = Vr/ должна быть (в симметричной фазе) нечетной функцией h: Ф со *^[1 + с2^+ ...], t>0, Л->0. A49.9) При /г —>• 0 теплоемкость должна вести себя по закону t~a, a параметр порядка — по закону r\ = \h со /it~7 (отвечающим слу- чаю слабого поля); легко убедиться, что получающиеся отсюда соотношения тоже эквивалентны уже известным. Если же тем- пература t < 0, то разложение Ф(?, К) при h —>> 0 содержит все целые степени h: A49.10) (с другими, конечно, коэффициентами ci, C2I). Легко прове- рить, что для параметра спонтанного (не зависящего от К) по- рядка получается требуемый закон (—t)^. О преобразовании корреляционного радиуса шла речь выше. Осталось рассмотреть корреляционную функцию флуктуации параметра т\ при t —>• 0 и потребовать масштабной инвариант- ности выражения G{r) = const • r"(d+c) (t = 0). При этом следует считать, что флуктуирующие величины г/(г) в разных точках пространства преобразуются независимо таким же образом, как и среднее значение г/2) . Тогда корреляционная х) Если A49.10) относится, скажем, к полям h > 0, то формула для h < 0 получается из нее заменой h —»¦ —/г. Напомним (см. §144), что при t < 0 состояния в полях различного знака относятся к физически тождественным «фазам», отличающимся знаком параметра порядка (как спонтанного, так и индуцированного полем); при h —»¦ 0 эти две фазы находятся в равновесии друг с другом. ) При этом существенно, что речь идет о расстояниях г, хотя и малых по сравнению с корреляционным радиусом, но все же больших по сравнению с межатомными расстояниями. § 150 ИЗОЛИРОВАННЫЕ И КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 561 функция преобразуется как G —>• Gu2 ^, и мы получим условие d + 2-2//i = C. A49.11) И это равенство является следствием уже известных. Остановимся в заключение на числовых значениях крити- ческих показателей. Экспериментальные данные и результаты численных расчетов свидетельствуют о том, что (в трехмерном случае) индексы аи( довольно малы: а~0,1,?~0,05.В первой строке приведенной схемы даны значения остальных индексов, а /3 j S г \i v С, 0 1/3 4/3 5 0 2/5 2/3 0 п = 1 0,110 0,325 1,240 4,82 0,070 0,402 0,630 0,031 A49.12) п = 2 -0,07 0,346 1,315 4,80 -0,004 0,403 0,669 0,033 п = 3 -0,115 0,364 1,387 4,80 -0,066 0,403 0,705 0,033 получающиеся, если положить a = ( = 0(d = 3).J5 остальных строках приведены значения, получающиеся если принять для а и ( их оценку по упомянутому в § 147 методу Вильсона для раз- личного числа п компонент параметра порядка1). (Считая, что эффективный гамильтониан зависит только от суммы квадратов компонент г/2 = rf\ + rfe + ...).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Масштабная инвариантность» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Напомним, что в таком виде (т. е выраженная через восприимчивость х) 