Рассмотрим флуктуации, испытываемые направлением ди- ректора п в нематическом жидком кристалле (P. G. de Gennes, 1968). Представим п в виде n = по + ^, где по = п—постоян- ное вдоль всего объема равновесное направление, a v = An — флуктуационное отклонение от этого значения. Поскольку п2 = rig = 1, то по^ ~ 0, т. е. вектор v перпендикулярен к по. Соответственно этому корреляционная функция флуктуации A41.1) представляет собой двумерный тензор в плоскости, перпендику- лярной к по (а, /3—векторные индексы в этой плоскости). В однородной, но анизотропной жидкости эта функция зависит не только от величины, но и от направления вектора г = г 2 — v\. Сильное влияние на флуктуации директора оказывает маг- нитное поле. Этот эффект связан с появлением в плотности сво- бодной энергии жидкого кристалла дополнительного члена вида ^магн = -^f(nHJ, A41.2) зависящего от самого вектора п, а не от его производных, как в A40.2):) . Если Ха > 0, то равновесное направление п совпадает с направлением поля, а если Ха < 0, то оно лежит в плоскости, перпендикулярной к полю. Будем считать для определенности, что Ха > 0, так что по||Н. Тогда (пНJ « Н2A — и2)] опустив не зависящий от v член, имеем ^магн = ^#V. A41.3) Взяв F из A40.2) и A41.3) и сохранив лишь величины второ- го порядка по I/, получим следующее выражение для изменения полной свободной энергии при флуктуации: AFn = \ J [ai(divi/J + a2(votx vf + аз(|^J + XaH2v A41.4) (ось х выбрана в направлении по). Подчеркнем, что, используя выражение A40.2) для энергии деформированного кристалла, 1) В одноосной анизотропной среде магнитная восприимчивость представ- ляет собой тензор вида х%к = Xo^ik + ХаШПк, а намагниченность вещества привносит в его свободную энергию вклад —XikHiHk/2. Величина A41.2) есть зависящая от п часть этого вклада. § 141 ФЛУКТУАЦИИ В ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ 505 мы тем самым ограничиваемся рассмотрением флуктуации с большими (по сравнению с молекулярными размерами) длина- ми волн. Далее поступаем подобно тому, как это уже делалось в § 116. Представляем флуктуирующую величину i/® в виде ряда Фу- рье в объеме V: г, ^-к = *4- A41.5) к После подстановки этого ряда выражение A41.4) разобьется на сумму членов (AFn)k, каждый из которых зависит только от компоненты i/^ с определенным значением к. Выбрав плос- кость ху так, чтобы она проходила через направление к (и Н), получим Отсюда (ср. § 116) находим для средних квадратов флуктуации ГГ\ A41.6) = 0. Мы видим, что в отсутствие поля флуктуации фурье-ком- понент i/k неограниченно возрастают при к —>• 0 (интегралы же по d3/с, определяющие средний квадрат самого вектора i/, остаются конечными). Наложение магнитного поля подавляет флуктуации с волновыми векторами к < Н(ха/аI (гДе а — порядок величины коэффициентов ai, а2, аз) *) . ) Такой характер флуктуации аналогичен поведению флуктуации плот- ности обычной жидкости вблизи ее критической точки, или флуктуации параметра порядка вблизи точки фазового перехода второго рода (см. ни- же §146, 152). В то время, как в последних случаях роль подавляющего флуктуации фактора играет «расстояние» до указанных точек, здесь эту роль играет не зависящий от температуры фактор — внешнее магнитное по- ле. Отметим, что именно возрастание флуктуации п при малых к позволяет рассматривать эти флуктуации независимо от флуктуации других величин. В этой связи существенно, что мы не рассматриваем окрестность точек фа- зового перехода второго рода. Вблизи этих точек возрастают также флук- туации других величин, характеризующих переход, и флуктуации п, вооб- ще говоря, уже нельзя рассматривать независимо от других. Подчеркнем также, что возрастание флуктуации не приводит к каким-либо ограничени- ям области применимости формулы A41.6), в то время как применимость, например, формулы A46.8) ограничена неравенством A46.15). 506 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII Корреляционная функция A41.1) может быть вычислена из A41.6) по формуле (ср. A16.13)). Мы не станем приводить довольно громоздкий ре- зультат интегрирования1) . Укажем лишь, что в отсутствие поля корреляционная функция убывает с расстоянием г = |г2 — ri как 1/г. При наличии же поля убывание становится экспонен- циальным, с корреляционным радиусом rc ~ (а/хаI^2Н~1. Аналогичным образом могут быть рассмотрены флуктуации направления директора в холестерическом жидком кристалле, мы ограничимся лишь краткими замечаниями по этому поводу. В холестерической среде можно различать флуктуации мест- ного направления оси геликоидальной структуры и флуктуации фазы—угла поворота вектора п вокруг этой оси. Флуктуации первого из этих типов конечны. Средний же квадрат флук- туации фазы оказывается (в отсутствие магнитного поля) ло- гарифмически расходящимся при к —>> 0. В этом отношении флуктуации в среде с одномерной периодичностью ориента- ционной структуры оказываются аналогичными флуктуациям в среде с одномерной периодичностью расположения частиц (§137). Строго говоря, такая периодичность оказывается тем самым невозможной в среде сколь угодно большого протяже- ния. Однако ввиду большой величины периода геликоидальной структуры в холестерических жидких кристаллах расходимость флуктуации наступила бы лишь при столь огромных размерах, что весь вопрос становится чисто абстрактным. Скажем несколько слов о флуктуациях в смектических жид- ких кристаллах, состоящих из правильно расположенных плос- ких слоев. Как уже было отмечено в § 139, такая структура размывается тепловыми флуктуациями и потому может осуще- ствляться лишь в ограниченных объемах. Интересно, однако, что эти флуктуации подавляются магнитным полем. Поясним происхождение этого эффекта. В каждом слое молекулы ориентированы упорядоченным образом с преимущественным направлением, задаваемым ди- ректором п; пусть это направление нормально к поверхности слоя. При флуктуации происходит деформирование поверхно- сти слоев и поворот директора; пусть и— вектор смещения точек слоя, a v — снова изменение директора (n = no + v). При длинноволновых деформациях слой можно рассматривать как х) Для его проведения выражения A41.6) должны быть, конечно, перепи- саны в виде, не связанном с конкретным выбором координатных осей. § 141 ФЛУКТУАЦИИ В ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ 507 геометрическую поверхность, и тогда малые величины v и и связаны друг с другом соотношением v = — grad(uno) (измене- ние направления нормали к поверхности); для их фурье-компо- нент имеем: v^ = — гх(икПо), где ж—составляющая к в плоско- сти слоя. При наличии магнитного поля изменение направления директора вносит в AFU дополнительный вклад A41.3), про- порциональный и2. В свою очередь это приведет к тому, что в интеграле A37.9), определяющем средний квадрат флуктуаци- онного смещения, в знаменателе подынтегрального выражения появится (наряду с членом ~ х4) еще и член ~ ус2\ в результате расходимость интеграла исчезнет. Наконец, остановимся на вопросе о принципиальной возмож- ности существования нематических двумерных систем (пленок). В такой системе ориентация молекул задается директором п, лежащим в плоскости пленки. Если рассмотреть его флуктуа- ции (с волновыми векторами к, лежащими в плоскости пленки), то для них получится выражение, аналогичное A41.6): при от- сутствии поля (i/^.) со 1/ср(кх^куI где (р(кх, ку) — квадратичная функция компонент вектора к. Но для нахождения полной флук- туации {и2) это выражение должно быть теперь проинтегриро- вано по d2k со к dk, и интеграл логарифмически расходится. Таким образом, тепловые флуктуации размывают двумерную нематическую структуру. Как и в случае твердокристалличе- ской двумерной структуры (§ 137), однако, логарифмический ха- рактер расходимости не исключает возможности существования такой структуры в участках конечного размера.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Флуктуации в жидких кристаллах» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
