Обратимся к вопросу о том, как выглядит картина колебаний решетки с точки зрения квантовой теории. 252 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI Вместо волн F9.6), в которых атомы испытывают в каждый момент времени определенные смещения, в квантовой теории вводится понятие о так называемых фононах как о некоторых распространяющихся по решетке квазичастицах, обладающих определенными энергиями и направлениями движения. Посколь- ку энергия осциллятора в квантовой механике есть целое кратное от fvuj (где о; —частота классической волны), то энергия фонона связана с частотой ио соотношением е = Пои, G1.1) подобно тому, как это имеет место для световых квантов — фо- тонов. Что же касается волнового вектора к, то он определяет так называемый квазиимпульс фонона р: р = Пк. G1.2) Это величина во многом аналогична обычному импульсу. В то же время между ними имеется существенное отличие, связан- ное с тем, что квазиимпульс есть величина, определенная лишь с точностью до прибавления постоянного вектора вида НЬ] зна- чения р, отличающиеся на такую величину, физически эквива- лентны. Скорость фонона определяется групповой скоростью соот- ветствующих классических волн: v = доо/д\а. Написанная в виде Ш G,з, эта формула вполне аналогична обычному соотношению между энергией, импульсом и скоростью частиц. Все сказанное в § 69, 70 о свойствах спектра классических колебаний кристаллической решетки полностью переносится (с соответствующим изменением терминологии) на энергетический спектр фононов — зависимость их энергии от квазиимпульса. В частности, энергетический спектр фононов е(р) имеет Зи вет- вей, в том числе три акустические ветви. Рассмотренная в § 70 плотность числа колебаний становится теперь плотностью числа квантовых состояний фононов. Свободному распространению волн в гармоническом при- ближении соответствует в квантовой картине свободное дви- жение не взаимодействующих друг с другом фононов. В следу- ющих же приближениях появляются различного рода процессы столкновений фононов. Эти столкновения и составляют меха- низм, приводящий к установлению теплового равновесия в фо- нонном газе, т. е. к установлению равновесного теплового дви- жения в решетке. § 71 фононы 253 При всех таких процессах должен соблюдаться закон сохра- нения энергии, а также закон сохранения квазиимпульса. По- следний, однако, требует сохранения суммарного квазиимпульса фононов лишь с точностью до прибавления любого вектора ви- да /ib, что связано с неоднозначностью самого квазиимпульса. Таким образом, начальные (р) и конечные (р7) квазиимпульсы при каком-либо процессе столкновения фононов должны быть связаны соотношением вида1) В решетке может быть возбуждено одновременно сколько угодно одинаковых фононов; другими словами, в каждом кван- товом состоянии фононов может находиться любое их число (в классической картине этому отвечает произвольная интенсив- ность волн). Это значит, что фононный газ подчиняется стати- стике Бозе. Поскольку к тому же полное число частиц в этом газе не является заданным и само определяется условиями рав- новесия, то его химический потенциал равен нулю (см. §63). Поэтому среднее число фононов в каждом квантовом состоя- нии (с квазиимпульсом р и энергией е) определяется в тепловом равновесии функцией распределения Планка Отметим, что при высоких температурах (Т ^> е) это выражение переходит в пр = -^, G1.6) т. е. число фононов в данном состоянии пропорционально темпе- ратуре. Понятие о фононах является частным случаем более общего понятия, играющего основную роль в теории квантовых энерге- тических спектров всяких макроскопических тел. Всякое слабо возбужденное состояние макроскопического тела может рассма- триваться в квантовой механике как совокупность отдельных элементарных возбуждений. Эти элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занима- емом телом объеме. До тех пор, пока число элементарных возбу- ждений достаточно мало, они «не взаимодействуют» друг с дру- гом (т.е. их энергии просто складываются), так что их совокуп- ность можно рассматривать как идеальный газ квазичастиц. х) Процессы, в которых суммарный квазиимпульс не остается постоянным, а меняется на /ib, называют процессами переброса. 254 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI Подчеркнем лишний раз, что понятие элементарных возбужде- ний возникает как способ квантовомеханического описания кол- лективного движения атомов тела, и они ни в какой мере не могут быть отождествлены с отдельными атомами или молеку- лами. В случае фононов их взаимодействию отвечает (в классиче- ской картине) ангармонизм колебаний атомов в решетке. Но, как уже было отмечено в § 64, в твердых телах эти колеба- ния фактически всегда малы, а потому и «почти гармоничны». Поэтому взаимодействие фононов в твердых телах фактически всегда слабо. В заключение выпишем формулы, определяющие термодина- мические величины твердого тела по спектру фононов в нем. Свободная энергия твердого тела в термодинамическом рав- новесии дается формулой F4.1). Перейдя в ней от суммирования к интегрированию по непрерывному ряду фононных состоний, имеем /[(^)]^ G1.7) где суммирование производится по всем ветвям спектра, а ин- тегрирование — по значениям к в одной ячейке обратной решет- ки1). Введя плотности ga(w) числа состояний в каждой ветви спектра и перейдя к интегрированию по частотам, эту формулу можно записать также и в виде G1.8) Неравновесное макроскопическое состояние твердого тела описывается некоторым неравновесным распределением фоно- нов по их квантовым состояниям, подобно тому, как это делается для идеального газа. Энтропия тела в таком состоянии может быть вычислена с помощью полученных в § 55 (для бозе-газа) формул. В частности, если в каждом состоянии имеется много фононов, энтропия равна где Nj — число фононов в группе из Gj близких состояний (см. E5.8)). Этот случай отвечает высоким температурам (Т ^> ^> в). Перепишем эту формулу в интегральном виде, отвечаю- 1) Эта формула была уже использована в § 68 для вклада в свободную энергию от акустических ветвей спектра. § 72 ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ ФОНОНОВ 255 щем классической картине тепловых колебаний. Число состоя- ний фононов (в каждой из ветвей спектра), приходящихся на ин- тервал d3 к значений волнового вектора и элемента dV простран- ственного объема, есть dr = d3kdV/BтгK. Пусть Ua(r, k)dr — энергия тепловых колебаний в том же элементе фазового про- странства dr. Соответствующее число фононов есть Подставляя эти выражения вместо Gj и Nj и переходя к инте- грированию, получим следующую формулу для энтропии твер- дого тела с заданным неравновесным распределением энергии в спектре тепловых колебаний:
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Фононы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
