Задачи физической кинетики всегда связаны с рассмотрени- ем неравновесных состояний. Тем не менее применение описан- ного в предыдущем параграфе метода позволяет в ряде случаев свести задачи о вычислении кинетических величин к вычисле- нию гриновских функций для термодинамически равновесных систем; тем самым появляется возможность использования такой диаграммной техники (как мацубаровская), которая по самому 474 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X своему существу применима именно к равновесным состояниям. Естественно, что такая возможность во всяком случае ограниче- на физическими вопросами, относящимися лишь к слабо нерав- новесным состояниям. Мы приступим теперь к построению диаграммной техники, пригодной в принципе для вычисления гриновских функций си- стем, находящихся в произвольных неравновесных состояниях. Получаемые в этой технике уравнения для гриновских функ- ций по своему смыслу аналогичны кинетическим уравнениям. В применении же к равновесным системам эта же техника позво- ляет получить гриновские функции и обобщенные восприимчи- вости (при отличных от нуля температурах) как функции сразу от непрерывных вещественных частот, без необходимости в ана- литическом продолжении (в этой связи она может оказаться, в сложных случаях, более удобной, чем мацубаровская техника) г). Гриновская функция неравновесной системы определяется так же, как и в равновесном случае: iGaia2(Xi,X2) = t1>t2, h < t2. Разница состоит лишь в том, что усреднение (обозначенное сим- волом (п\ ... \п)) производится теперь по произвольному кван- товому состоянию системы, а не обязательно по стационарному состоянию, как в равновесном случае2). Верхний знак (здесь и везде ниже) относится к статистике Ферми, а нижний — к ста- тистике Бозе; в последнем случае (для системы из бесспиновых частиц) спиновые индексы <ti, а2 надо, конечно, опустить. В слу- чае статистики Бозе предполагается, что конденсация отсутству- ет, т. е. что либо речь идет о системах с несохраняющимся числом частиц (фононы, фотоны), либо система находится при темпера- турах выше точки начала конденсации. В неоднородной нерав- ) Эта техника принадлежит Л. В. Келдышу A964). Она близка в некото- рых отношениях к технике, развитой Миллсом (R. Mills, 1962) для равно- весных состояний. 2) В IX, § 36, в определение функции G равновесной системы при Т/0 включалось также и усреднение по распределению Гиббса. Напомним лиш- ний раз в этой связи, что согласно основным принципам статистики резуль- тат статистического усреднения для равновесной системы не зависит от того, производится ли оно по точной волновой функции стационарного состояния замкнутой системы, или с помощью распределения Гиббса для системы в «термостате». Разница состоит лишь в том, что в первом случае результат усреднения будет выражен через энергию и число частиц в системе, а во втором — через температуру и химический потенциал. § 92 гриновские функции 475 новесной системе функция (92.1) зависит уже от обеих пар пере- менных Х\ = (ti,ri) и Х2 = (^2}Г2) п0 отдельности, а не только от их разности Х\ — Х<2,, как в равновесном случае. Диаграммная техника должна дать возможность выразить гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц че- рез функции идеального газа. При этом, однако, автоматически возникает необходимость во введении наряду с G еще и других функций. С целью не разбивать дальнейшее изложение, дадим сразу же определение этих функций и выясним некоторые их свойства. По причинам, которые выяснятся в следующем параграфе, целесообразно обозначить функцию (92.1) как G ; таким обра- зом, запишем это определение в виде1) п = (Т^Щ) = { И '1><2' (92.2) 12 2 \ т(Ф^1>, h<t2. Определение следующей функции, ) h > *2' (92.3) отличается от (92.2) тем, что вместо Т в нем стоит символ Т, означающий упорядочение расположения операторных множи- телей в обратном хронологическом порядке — справа налево в порядке убывания времен. Еще две функции определяются как средние значения нехро- нологизированных произведений Ф-операторов: (92.4) Разница в знаках в этих определениях для ферми-систем связа- на с общим правилом — необходимостью изменения знака при перестановке Ф-операторов. Отметим, что вторая из функций (92.4) при t\ = ?2 = t C0B~ падает с одночастичной матрицей плотности; в полной записи: +(t,n;t,r2) =Л/>(*,гьг2) (92.5) Для уменьшения громоздкости обозначений условимся ниже подразу- мевать спиновые индексы включенными в условное обозначение переменных X: X = (?,г, о"). Там, где это не может привести к недоразумениям, будем еще больше упрощать обозначения, отмечая значения аргументов X соот- ветствующими индексами: Ф1 = ty(Xi), G12 = G(Xi,X2) и т. д. Наконец, условимся писать символ усреднения просто как (...) вместо (п\ ... \п). 476 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X (ср. IX, G.17), C1.4)); с какой стороны ?2 стремится к преде- лу t\ — здесь все равно, так как функция G h непрерывна при ^2 — t\. Значение же функции iG^ при t\ = ?2 связано со зна- чением %G h формулой i{G+-(t, ri; t, г2) - G-+(t, ri; t, r2)} = <*(n - r2), (92.6) следующей из правила коммутации фермиевских или бозевских Ф-операторов. Определенные таким образом четыре G-функции не незави- симы. Они связаны друг с другом линейным соотношением, оче- видным непосредственно из их определений: в" + G++ = G"+ + G+-. (92.7) Функции G и G++ связаны также и соотношением «антиэр- митовой сопряженности» по отношению к перестановке их аргу- ментов: Gi2~ = -Gtf*. (92.8) Функции же G ^ и G^ «антиэрмитовы» сами по себе: Важную роль в дальнейшем будет играть связь этих функций с запаздывающими или опережающими гриновскими функция- ми. Последние определяются аналогично тому, как это делалось в равновесном случае (ср. IX, § 36): *i > y (92-10) Ч < г2, Эти две функции «эрмитово-сопряжены» друг с другом: Gi2 = &21- (92.11) Прямое сравнение определений (92.2)-(92.4) и (92.10) дает GR = G— - G~+ = G+- - В стационарном, пространственно-однородном случае, когда все функции зависят только от разностей t = t\ — ?2 и г = ri — — Г2, они могут быть подвергнуты фурье-разложению по этим § 92 гриновские функции 477 переменным. Из (92.8) и (92.11) следуют для фурье-компонент равенства G-(uj,p) = -[G++(oo,p)]*, GA(uj,p) = [GR(oo,p)]*, (92.13) а из (92.9) следует, что фурье-компоненты GH (с^,р) и G |"(о;,р) — мнимые. Для системы невзаимодействующих частиц функция G удовлетворяет уравнению - Х2), (92.14) где Gq1 обозначает дифференциальный оператор ^ = i|-?HV) + , = i| + A + , (92.15) (Ф)=р2/Bт)), а ё(Х± - Х2) = 8а1<Т28{и - t2)S(ri - г2); (92.16) индекс @) у G-функции указывает, что она относится к идеаль- ному газу, а индекс 1 у оператора Gq — что дифференцирование производится по переменным t\, ri. Напомним, что E-функция в правой части уравнения (92.14) связана со скачком, который функция G испытывает при t\ = t^ 1). Такой же скачок испы- тывают функции GR и GA, и потому G^R и G^A удовлетворя- ют такому же уравнению. Функция же G++ имеет при t\ = ^2 скачок обратного знака; поэтому S(Xi ~ *2). (92.17) Наконец, функции G^ и G ^ непрерывны при t\ = ?2; поэтому для идеального газа они удовлетворяют уравнениям2) = 0, д^С(^-+ = 0- (92.18) См. IX, § 9. Приведенный там вывод уравнения не связан с подразу- мевавшимся усреднением по основному состоянию системы и остается спра- ведливым при усреднении по любому квантовому состоянию. 2) Если дифференцирование производится не по первым, а по вторым переменным в U-функциях, то должен быть изменен знак перед id/dt, т. е. оператор G~^l изменен на Gq2*: Gm*G<$— = S(Xi - Х2) (92.14а) 478 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X Вычислим все G-функции для стационарного однородного состояния идеального газа, характеризующегося некоторым (не обязательно равновесным) распределением частиц по импульсам пр. Для упрощения формул будем считать, что это распределе- ние не зависит от спина. Тогда спиновая зависимость G-функций (в статистике Ферми) отделяется в виде множителя Sai(T2; вместе со спиновыми индексами будем опускать и этот множитель. Ф-операторы идеального газа пишем в виде обычных разло- жений: и аналогично для Ф^ (ср. IX, (9.3)). При подстановке этих выра- жений в определения G-функций надо помнить, что отличны от нуля диагональные матричные элементы лишь от произведений операторов уничтожения и рождения частиц с одинаковыми р, причем \СЬр ^р/ ~~ ^Ipi \^р^р / = -I- т ^р* Таким образом, найдем, например, G^ } ^(t, г) = ±- / пр ехр {грг - ге(р)* + ^It^i^ где t = ti —^2, г = Г]_ — Г2. Переписав это выраж:ение тож:дественно в виде , г) = ±2т [ пр ехр (фг - J B7Г) мы видим, что G@)"+(o;,p) = ±2тпр5(ш -е + ц). (92.20) Аналогичным образом найдем ;, р) = -2тггA Т np)J(a; - ? + /i). (92.21) Для вычисления G^ удобнее всего исходить прямо из урав- нения [| ] , r) = tf(t)tf®, решая его методом Фурье и учтя, что GR(oo, p) не должна иметь особенностей в верхней полуплоскости uj. Отсюда сразу находим G@)r(lo, р) = [и - е(р) + ц + гО] (92.22) § 92 гриновские функции 479 (функция же G^A(oo,p) получается отсюда, согласно (92.13), просто комплексным сопряжением). Наконец, с помощью (92.12) находим теперь G@)--(o;,p) = [ш-е(р) +/i + iO] ±2тпр5(ш-е + ц) = = Р + гтг(±2пр - 1N(ш -е + ц). (92.23) Обратим внимание на тот факт, что выражение (92.22) вооб- ще не зависит от свойств состояния (т. е. от распределения пр), по которому производится усреднение. Это свойство функции G^R (и G^A) не связано в действительности с заранее предпо- ложенной при выводе (92.22) однородностью и стационарностью состояния системы: функция G°^R(Xi,X2) автоматически ока- зывается зависящей только от разности Х\ — Хъ- В применении к равновесной системе, в выражениях (92.21)— (92.23) надо понимать под пр функцию распределения Ферми или Бозе. При этом G-функции окажутся выраженными через Т и /i; тем самым будет осуществлен переход от усреднения по заданному стационарному квантовому состоянию к усреднению по распределению Гиббса.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гриновские функции неравновесной системы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Для уменьшения громоздкости обозначений условимся ниже подразу- 