Вращательные степени свободы молекул создают тот меха- низм, через который внешнее магнитное или электрическое по- ле может оказывать влияние на кинетические явления в газе1). Характер этого влияния одинаков в магнитном и электрическом случаях; будем говорить сначала о газе в магнитном поле. Вращающаяся молекула обладает, вообще говоря, магнитным моментом, среднее (в квантовомеханическом смысле) значение которого обозначим через /л. Магнитное поле будем предпола- гать ограниченным по величине настолько, что произведение \iB мало по сравнению с интервалами тонкой структуры молекуляр- ных уровней2). Тогда можно пренебречь влиянием поля на со- стояние молекулы, так что магнитный момент вычисляется по ее невозмущенному состоянию. При не слишком низких темпе- ратурах (которые мы и рассматриваем) величина \iB будет мала также и по сравнению с Т; это позволяет пренебречь влиянием поля на равновесную функцию распределения молекул газа. Магнитный момент направлен вдоль вращательного момента молекулы М; напишем его в виде /1 = 7М. A3.1) Классическому вращению молекулы отвечают большие враща- тельные квантовые числа; при этом можно пренебречь в М раз- личием между полным (включающим спин) и вращательным мо- ментами. Значение постоянного коэффициента j зависит от рода молекулы и природы ее магнитного момента. Так, для двухатом- ) Этот механизм был указан Ю.М. Каганом и Л.А. Максимовым A961); им же принадлежат излагаемые в этом параграфе результаты. 2) Напомним, что в макроскопической электродинамике среднее (по фи- зически бесконечно малым объемам) значение напряженности магнитного поля называется магнитной индукцией и обозначается как В. При малой плотности среды — в газе — ее намагниченностью можно пренебречь, и тогда вектор В совпадает с вектором макроскопической напряженности Н. § 13 ЯВЛЕНИЯ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 61 ной молекулы с отличным от нуля спином S имеем 7«^Мв, A3-2) где \1в — магнетон Бора, а число а = J — К — разность между квантовыми числами полного момента J и вращательного момен- та К (эта разность пробегает значения S, S — 1,... , — S); в знаме- нателе же различие между J ж К несущественно: М ~ HJ ~ НК. В формуле A3.2) предполагается, что взаимодействие спин-ось в молекуле мало по сравнению с интервалами вращательной структуры уровней (случай b по Гунду) 1). В магнитном поле В на молекулу действует момент сил, рав- ный [//В]. Под его влиянием вектор М перестает быть посто- янным в течение «свободного» движения молекулы и меняется согласно уравнению ^ = |)iB] = -7[ВМ] A3.3) — вектор М прецессирует вокруг направления поля с угловой скоростью —7В. В связи с этим в левую часть кинетического уравнения должен быть добавлен член (<9//<ЭМ)М, так что урав- нение принимает вид д± + wd_L + 7[мв] J*L = stf. A3.4) dt дг п }дм J v } В число переменных Г, от которых зависит функция распределе- ния, должна быть включена также и дискретная переменная а, определяющая значение магнитного момента (если таковая име- ется, как в A3.2)). В задачах о теплопроводности и вязкости снова рассматри- ваем распределение, близкое к равновесному, представив его в виде / = /оA + х/П A3.5) Покажем прежде всего, что член с производной dfo/dM в ки- нетическом уравнении выпадает. Действительно, поскольку /о зависит только от энергии молекулы е(Г), а производная де/дМ есть угловая скорость О, то ^|. A3.6) Для молекул типа ротатора и шарового волчка направления М и О совпадают, так что выражение A3.6) обращается в нуль 1) Формула A3.2) получается из точной (для случая Ь) формулы, найден- ной в задаче 3, т. III, § 113, путем перехода к пределу больших J л К при заданной разности J — К. Вклад орбитального момента Л при этом исчезает (он оказывается величиной следующего порядка малости по 1/J). 62 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I тождественно. В других же случаях оно обращается в нуль по- сле усреднения по быстро меняющимся фазам, необходимость которого была объяснена в § 1. При вращении молекул типа сим- метрического или асимметрического волчка быстро меняется как направление осей самой молекулы, так и направление ее угловой скорости О. После указанного усреднения в О может остаться лишь составляющая Qm вдоль постоянного вектора М, но для такой составляющей произведение [МВ]Ом — 0. Остальные члены в кинетическом уравнении преобразуются так же, как это было сделано в § 7 (или § 8). Так, для задачи о теплопроводности находим уравнение е(Т)-срТ = гмв]^ Решение этого уравнения снова надо искать в виде х = g, но для составления векторной функции g(F) мы имеем в своем распоряжении уже не два, а три вектора: v, M, В. Внешнее поле создает в газе избранное направление. В связи с этим процесс теплопроводности становится анизотропным и вместо скалярно- го коэффициента х надо ввести тензор теплопроводности х^, определяющий тепловой поток согласно Яа = -*ар^- A3.8) Тензор хар вычисляется по функции распределения как инте- грал r A3.9) (ср. G.5)). Общий вид тензора второго ранга, зависящего от вектора В, есть хар = х5аC + xi bab[3 + х2еа/з767, A3.10) где b = В/Б, еа^ — единичный антисимметричный тензор, а х, xi, X2 — скаляры, зависящие от абсолютной величины поля В. Тензор A3.10) обладает, очевидно, свойством1) ха/3(В) = яРа(-В). A3.11) Выражению A3.10) отвечает тепловой поток q = -xVT - xib(bVT) - x2[VT • b]. A3.12) Последний член здесь представляет собой, как говорят, нечет- ный эффект: эта часть теплового потока меняет знак при изме- нении знака поля. ) Это свойство выражает собой принцип симметрии кинетических коэф- фициентов в присутствии магнитного поля. В данном случае оно оказывает- ся автоматическим следствием наличия всего одного вектора Ь, с помощью которого строится тензор *сар. § 13 ЯВЛЕНИЯ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 63 Интегральный член I(x) B правой части уравнения A3.7) да- ется формулой F.5). В его подынтегральном выражении содер- жится функция /о, пропорциональная плотности газа N. Выде- лив этот множитель и разделив на него обе части уравнения, найдем, что N входит в уравнение только в комбинациях B/7V и VT/7V с полем и градиентом температуры. Отсюда ясно, что функция /ох = /ogVT будет зависеть от параметров N ж В толь- ко в виде отношения В/N\ только от этой же величины будут за- висеть и интегралы A3.9), а тем самым и коэффициенты х, xi, К2 в A3.12). Плотность N пропорциональна (при заданной тем- пературе) давлению газа Р. Таким образом, теплопроводность газа в магнитном поле зависит от величины поля и от давления только через отношение В/Р 1). При увеличении В первый член в правой части уравнения A3.7) возрастает, а второй не меняется. Отсюда ясно, что в пре- деле В —>• оо решение уравнения должно представлять собой функцию, зависящую только от направления (но не от величи- ны) поля, причем эта функция должна обращать тождественно в нуль член [МВ]<Эх/<ЭМ в уравнении; соответственно коэффи- циенты х, xi, X2 стремятся при В —>> оо к постоянным (не зави- сящим от В) пределам. Аналогичным образом рассматривается задача о вязкости га- за в магнитном поле. Соответствующее кинетическое уравнение имеет вид mvavp - ^а/з) Vap = 1(х) ~ 7[МВ]^ A3.13) (ср. F.19)). Решение этого уравнения надо искать в виде х = = gafiVafi- Вместо двух коэффициентов вязкости т\ и ? надо вве- сти теперь тензор четвертого ранга r]a^Si определяющий тензор вязких напряжений согласно ааC = Va^sV^s; A3.14) по определению тензор r]a^s симметричен по парам индексов а, /3 и 7, 5. По известной функции х ег0 компоненты вычисляются как интегралы г]а{3>у5 = - / mvavpfog7s dY'• A3.15) Вычисленный таким образом тензор вязкости будет автоматиче- ски удовлетворять условию ) = 777(*а/з(-В), A3.16) Изменение теплопроводности газа в магнитном поле называют э том 64 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I выражающему собой принцип симметрии кинетических коэффи- циентов. С помощью вектора b = Л/В (и единичных тензоров дар и еа{з>у) можно составить следующие независимые тензорные ком- бинации со свойствами симметрии тензора т)ар^б: 1) Sа-у 8J36 + 2) 8ap5js, 3) Sajbpbs + 8p7babs + Sasbpbj + pj 4) 8арЬчЬ6 + 8у6ЬаЬр, A3.17) 5) babpb^bs, 6) baj5CS + bpjSas + Ьа$8р7 + Ър$5а1, 7) ba^bpbs + bp7babs + basbpbj + bpSbabj, где 6a/? = —6/3a = еа/#767. Во всех этих комбинациях, за исключе- нием четвертой, свойство A3.16) возникает автоматически как следствие симметрии по парам индексов а, ^ и 7, E; в четвер- том же выражении объединение двух членов вызывается лишь условием A3.16) г). Соответственно числу тензоров A3.17) газ в магнитном поле характеризуется в общем случае семью независимыми коэффи- циентами вязкости. Определим их как коэффициенты в следую- щем выражении тензора вязких напряжений: а^ = 2*7 (уаР - Uap div V) + CSap div V + - 8ap div V - 2Vp1b1bOL + babp div V s + babp div V) A3.18) (Vap определено в F.12)). Оно составлено таким образом, что г/, г/1,... ,7/4 стоят коэффициентами при тензорах, обращающих- ся в нуль при упрощении по индексам а, /3. Коэффициенты же С и (д стоят при тензорах с отличным от нуля следом; их можно назвать коэффициентами второй вязкости. Обратим внимание на то, что они содержат не только скаляр divV, но и ]Ау$Ь>уЬ§. Первые два члена в A3.18) соответствуют обычному выражению тензора напряжений, так что т\ и ? — обычные коэффициенты вязкости. ) Комбинации из членов с двумя множителями Ъар писать не надо: по- скольку произведение двух тензоров еар1 сводится к произведениям тензо- ров 6а/з, такие комбинации сводятся к уже выписанным в A3.17). § 13 ЯВЛЕНИЯ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 65 Отметим, что тензоры кар и г\ар^§ автоматически оказывают- ся истинными тензорами, так что эти выражения удовлетворяют требованию симметрии по отношению к инверсии. Поэтому от- каз от этого требования (для газа стереоизомерного вещества) не привел бы к появлению в них каких-либо новых членов. Такой отказ приводит, однако, к появлению новых эффек- тов — возникновению теплового потока q^ под влиянием гра- диентов скорости и возникновению вязких напряжений а'^ под влиянием градиента температуры. Эти (так называемые пере- крестные) эффекты описываются формулами вида (V) лт /(Г) дТ (ло 1Пч q\ } = Cj,apVap, а^р = -°W3,7;^r> A3.19) где с^^р и аар^ — тензоры третьего ранга, симметричные по па- ре индексов, отделенных запятой. При указанном в § 9 выборе величин ха и Ха кинетическими коэффициентами 7аб и Ъа явля- ются TcjiOip и Т2аарл. Поэтому в силу принципа Онсагера при наличии магнитного поля должно быть Таар^(В)=съар(-В). A3.20) Общий вид таких тензоров: pj + Ьр5а1) + а/±(Ъа1Ър + bp^ba). A3.21) Все члены в этом выражении — псевдотензоры, так что соот- ношения A3.19) с такими коэффициентами не инвариантны по отношению к инверсии. Остановимся коротко на кинетических явлениях в газе в элек- трическом поле. Рассмотрим газ, состоящий из полярных (т. е. обладающих дипольным моментом d) молекул типа симметри- ческого волчка. В электрическом поле на полярную молекулу действует момент сил [dE], так что в кинетическом уравнении появится член M [dE]. Направление d совпадает с осью молекулы и не имеет отношения к ее вращательному моменту М. Однако в результате усреднения по быстрой прецессии оси волчка вокруг направления постоян- ного вектора М в написанном члене останется лишь проекция d на направление М и он примет вид ^ A3.22) где 7 = odjM^ причем переменная о (косинус угла между d и М) пробегает теперь непрерывный ряд значений в интервале от — 1 3 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 66 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I до +1. Выражение A3.22) отличается от соответствующего чле- на в магнитном случае лишь заменой В на Е. Поэтому остаются в силе и все написанные выше кинетические уравнения и след- ствия из них1). Некоторое отличие возникает, однако, в связи с тем, что элек- трическое поле Е — истинный (а не псевдо) вектор и что оно не меняется при обращении времени. В силу последнего обсто- ятельства принцип Онсагера для тензоров теплопроводности и вязкости выразится теперь равенствами хар(Е) = xiae(E), ?7а/з75(Е) = ?77га/з(Е) A3.23) вместо A3.11) и A3.16). Соответственно в выражениях A3.10) и A3.18) (где теперь b = Е/Е) будет Х2 = 0, 773 = Щ = О2). В то же время перекрестные эффекты оказываются возможными не только в газе стереоизомерного вещества (где выражение A3.21) остается в силе целиком), но и в газе из нестереоизомерных мо- лекул: выражение A3.21) с а^ = 0 является теперь истинным тензором.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетические явления в газе во внешнем поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Изменение теплопроводности газа в магнитном поле называют э 