Перейдем теперь к выводу основного уравнения кинетиче- ской теории газов — уравнения, определяющего функцию рас- пределения /(?, г, Г). Если столкновениями молекул можно было бы пренебречь вовсе, то каждая молекула газа представляла бы собой замкну- тую подсистему и для функции распределения молекул была бы справедлива теорема Лиувилля, в силу которой | = 0 C.1) (см. V, § 3). Полная производная означает здесь дифференци- рование вдоль фазовой траектории молекулы, определяемой ее уравнениями движения. Напомним, что теорема Лиувилля име- ет место для функции распределения, определенной именно как плотность в фазовом пространстве (т. е. в пространстве пере- менных, являющихся канонически сопряженными обобщенными Квадрат |5т|2 при больших временах пропорционален t и после деле- ния на t дает вероятность перехода, отнесенную к единице времени (ср. IV, § 64). Если волновые функции начальных и конечных частиц нормированы «на 1 частицу в единичном объеме», то эта «вероятность» будет иметь ту же размерность (см3/с), что и определенная согласно B.1) величина wdTdT\. 22 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I координатами и импульсами). Это обстоятельство не мешает, ко- нечно, тому, что сама функция / может быть затем выражена и через любые другие переменные. В отсутствие внешнего поля величины Г свободно движущей- ся молекулы остаются постоянными и меняются только ее коор- динаты г; при этом U = ^Z + + vV/. C.2) dt dt J v } Если же газ находится, например, во внешнем поле f7®, дей- ствующем на координаты центра инерции молекулы (скажем, в поле тяжести), то где F = — X7U — сила, действующая на молекулу со стороны поля. Учет столкновений нарушает равенство C.1); функция рас- пределения перестает быть постоянной вдоль фазовых траекто- рий. Вместо C.1) надо писать | = St/, C.4) dt где символ St / означает скорость изменения функции распреде- ления благодаря столкновениям: dVdT • St/ есть отнесенное к единице времени изменение за счет столкновений числа молекул в фазовом объеме dV dT. Написанное в виде % = -W/ + St/ dt уравнение C.4) (с df /dt из C.2)) определяет полное изменение функции распределения в заданной точке фазового простран- ства; член dV dF(vV'/) есть убыль (в 1 с) числа молекул в задан- ном элементе фазового пространства, связанная с их свободным движением. Величину St / называют интегралом столкновений, а урав- нения вида C.4) называют вообще кинетическими уравнения- ми. Разумеется, кинетическое уравнение приобретает реальный смысл лишь после установления вида интеграла столкновений. К этому вопросу мы сейчас и перейдем. При столкновении двух молекул значения их величин Г ме- няются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой, выводит ее из заданного интервала dT] о таких столкновениях говорят как об актах «ухода». Полное число столкновений с пе- реходами Г, Г*1 —>• Г7, Г^ со всеми возможными значениями Г]_, Г7, Т[ при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме § 3 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 23 dVj равно интегралу dV dY f w(Tf, Г71; Г, Г^/Д rfrx dV dT[. Происходят, однако, и такие столкновения («приход»), в резуль- тате которых молекулы, обладавшие первоначально значениями величин Г, лежащими вне заданного интервала с/Г, попадают в этот интервал. Это — столкновения с переходами Г7, Г[ —>> Г,Гх снова со всеми возможными Fi, Г7, Г[ при заданном Г. Пол- ное число таких столкновений (в единицу времени в объеме dV) равно dV dT J wiT^rXX^ffid^dT' dr'v Вычтя число актов ухода из числа актов прихода, найдем таким образом, что в результате всех столкновений рассматриваемое число молекул увеличивается в 1 с на dv dv /(«//'/{- wf где для краткости обозначено u» = u»(r',ri;r,ri), w' = «;(r,ri;r',ri). C.5) Таким образом, находим следующее выражение для интегра- ла столкновений: St/ = Jiw'f'fi-wff^dTKir'dr^ C.6) Во втором члене в подынтегральном выражении интегрирование по dV dT^ относится только к функции W] множители /, Д от этих переменных не зависят. Поэтому эту часть интеграла мож- но преобразовать с помощью соотношения унитарности B.9). В результате интеграл столкновений примет вид St/ = Jwl(ff[-ff1)dT1dT'dT'1, C.7) в котором оба члена входят с одинаковым коэффициентом wf 1). Установив вид интеграла столкновений, мы тем самым полу- чили возможность написать кинетическое уравнение f + W/ = / w'(f'f[ - fh) <*Ti dV dF'v C.8) Это интегро-дифференциальное уравнение называют также уравнением Больцмана. Оно было впервые установлено основа- телем кинетической теории Людвигом Больцманом в 1872 г. Равновесное статистическое распределение должно удовле- творять кинетическому уравнению тождественным образом. Это Возможность преобразования интеграла столкновений с помощью B.9) указана Штюккельбергом (E.C.G. Stilckelberg, 1952). 24 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I условие действительно выполняется. Равновесное распределение стационарно и (в отсутствие внешнего поля) однородно; поэтому левая часть уравнения C.8) тождественно обращается в нуль. Равен нулю также и интеграл столкновений: в силу равенства B.5) обращается в нуль подынтегральное выражение. Удовле- творяет кинетическому уравнению, конечно, и равновесное рас- пределение для газа во внешнем поле. Достаточно вспомнить, что левая часть кинетического уравнения есть полная произ- водная df /dtj тождественно обращающаяся в нуль для всякой функции /, зависящей только от интегралов движения; равно- весное же распределение выражается только через интеграл дви- жения — полную энергию молекулы б(Г). В изложенном выводе кинетического уравнения столкнове- ния молекул рассматривались по существу как мгновенные ак- ты, происходящие в одной точке пространства. Ясно поэтому, что кинетическое уравнение позволяет в принципе следить за из- менением функции распределения лишь за промежутки време- ни, большие по сравнению с длительностью столкновений, и на расстояниях, больших по сравнению с размерами области столк- новения. Последние порядка величины радиуса действия моле- кулярных сил d (для нейтральных молекул совпадающего с их размерами); время же столкновения порядка величины d/v. Эти значения и устанавливают нижний предел расстояний и длитель- ностей, рассмотрение которых допускается кинетическим урав- нением (к происхождению этих ограничений мы вернемся еще в § 16). Но фактически обычно нет необходимости (да и воз- можности) в столь детальном описании поведения системы; для этого понадобилось бы, в частности, и задание начальных усло- вий (пространственного распределения молекул газа) с такой же точностью, что фактически неосуществимо. В реальных физи- ческих вопросах существуют характерные параметры длины L и времени Т, навязываемые системе условиями задачи (характер- ные длины градиентов макроскопических величин газа, длины и периоды распространяющихся в нем звуковых волн и т. п.). В таких задачах достаточно следить за поведением системы на расстояниях и за времена, малые лишь по сравнению с этими L и Т. Другими словами, малыми лишь по сравнению с L и Т должны быть физически бесконечно малые элементы объема и времени. Усредненными по таким элементам задаются и началь- ные условия задачи. Для одноатомного газа величины Г сводятся к трем ком- понентам импульса атома р, а согласно B.8) функция w' в интеграле столкновений может быть заменена функцией w = = w(pf, р[; р, pi). Выразив затем эту функцию через дифферен- циальное сечение столкновений da согласно w d3pf d3p[ = v0TU da § 3 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 25 (где г>Отн — lv ~~ vih CM- B-2)), получим St/ = /«отн(/71 - ffi)dad3Pl. C.9) Функция kj, ас нею и сечение da, определенное согласно B.2), содержат в себе E-функционные множители, выражающие зако- ны сохранения импульса и энергии, в силу которых переменные Pi5 Р7; Pi (ПРИ заданном р) в действительности не независимы. Но после того, как интеграл столкновений выражен в виде C.9), можно считать, что эти E-функции уже устранены соответствую- щим интегрированием; тогда da будет обычным сечением рассе- яния, зависящим (при заданном г>0Тн) только от угла рассеяния. Для качественного рассмотрения кинетических явлений в газе используется грубая оценка интеграла столкновений с по- мощью понятия длины свободного пробега I — некоторого сред- него расстояния, проходимого молекулой между двумя после- довательными столкновениями 1). Эта величина имеет, конечно, лишь качественный характер; самое ее определение зависит от того, какое именно кинетическое явление в газе рассматривает- ся. Длина свободного пробега может быть выражена через сече- ние столкновений а и плотность числа молекул в газе N. Пусть молекула в своем движении прошла 1 см; на этом пути она столк- нулась с молекулами, находящимися в объеме а (объем цилиндра с площадью сечения а и длиной 1 см); в этом объеме имеется aN молекул. Ясно поэтому, что 1 ~ дЬ (ЗЛ°) Сечение столкновений а ~ d2, где d — молекулярные размеры. Написав также N ~ г ~3, где г — среднее расстояние между мо- лекулами, найдем, что _ , , , ,/"^3 г Поскольку в газе г ^> с/, то длина пробега / 3> г. Отношение т ~ l/v называют временем свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений можно положить St/~-^A~-|(/-/0). C.12) Написав в числителе разность / — /о, мы тем самым учли, что ин- теграл столкновений обращается в нуль для равновесной функ- ции распределения. Знак минус в C.12) выражает тот факт, что Это понятие было впервые введено Клаузиусом (R. Clausius, 1858). 26 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I столкновения являются механизмом установления статистиче- ского равновесия, т. е. стремятся уменьшить отклонение функ- ции распределения от равновесной. В этом смысле величина т играет роль времени релаксации для установления равновесия в каждом элементе объема газа.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетическое уравнение Больцмана» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Квадрат |5т|2 при больших временах пропорционален t и после деле- 