Для обтекания тонких заостренных тел с большими сверх- звуковыми скоростями (большие Mi) линеаризованная теория неприменима, как это уже было упомянуто в конце § 114. По- этому представляет особый интерес простое правило подобия, которое можно установить для таких течений (их называют ги- перзвуковыми). Возникающие при таком обтекании ударные волны наклоне- ны к направлению движения под малым углом — порядка вели- чины отношения толщины тела к его длине F = 8/1). Эти вол- ны, вообще говоря, искривлены и в то же время обладают боль- шой интенсивностью — хотя скачок скорости на них относитель- но мал, но скачок давления (а с ним и энтропии) велик. Поэтому течение газа в общем случае отнюдь не является потенциальным. Будем считать, что число Mi—порядка величины 1/6 или больше. Ударная волна понижает значение местного числа М, но оно во всяком случае остается порядка величины 1/6 (ср. за- дачу 2 § 112), так что число М велико во всем пространстве. Воспользуемся указанной в § 123 «звуковой аналогией»: трехмерная задача о стационарном обтекании тонкого тела с пе- ременным сечением S(x) эквивалентна нестационарной двумер- ной задаче об излучении звуковых волн контуром, площадь кото- рого меняется со временем по закону S(vit)] роль скорости звука играет при этом величина i>i(M2 — I)/2 или при больших Mi просто с\. Подчеркнем, что единственное условие, обеспечиваю- щее эквивалентность обеих задач, заключается в малости от- ношения 8/1, что дает возможность рассматривать небольшие вдоль длины тела кольцевые участки его поверхности как цилин- дрические. При больших Mi, однако, скорость, распространения излучаемых волн сравнима по величине со скоростью частиц га- за в них (ср. конец § 123), и потому задача должна решаться на основе точных, нелинеаризованных уравнений. Возмущение скорости (по сравнению со скоростью vi нате- кающего потока) мало уже при всяком сверхзвуковом обтекании тонкого заостренного тела. При гиперзвуковом обтекании допол- нительно еще возмущение продольной скорости мало по сравне- нию с возникающими поперечными скоростями: vy ~ vz ~ v\6, vx — v\ ~ v\62. A27.1) § 127 ГИПЕРЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ 657 Изменения же давления и плотности отнюдь не малы: P-Pl Pi pi A27.2) причем изменение давления может быть даже (при Mi в ^> 1) сколь угодно большим (ср. задачу 2 § 112). Звуковая аналогия относится, очевидно, только к двумерной задаче о движении в плоскости yz, перпендикулярной направ- лению натекающего потока. В этой двумерной задаче линейная скорость источника звука — порядка величины v\6] кроме нее в задачу входят в качестве независимых параметров еще толь- ко скорость звука с\ и размеры источника 5 (и параметр плот- ности pi) x) . Из них можно составить всего одну безразмерную комбинацию К = Mi0, A27.3) которая и является критерием подобия 2) . В качестве масшта- бов длины для координат yz и масштаба времени надо при этом взять величины соответствующей размерности, составленные из тех же параметров, например, S и S/(vi0) = ljv\\ естественным же параметром для координаты х является длина тела I. Тогда можно утверждать, что Vy = viOv'y, vz = viOv'z, p = piv\62p', p = pip1', A27.4) где vfy, v'zl p', p' — функции безразмерных переменных ж//, у/5, z/5 и параметра К; при этом в виду A27.1), A27.2) можно утвер- ждать, что эти функции — порядка единицы 3) . 1)Мы имеем в виду, конечно, не только уравнения движения газа, но и граничные условия к ним на поверхности тела и условия, которые должны выполняться на ударных волнах. Газ предполагается политропным, так что его газодинамические свойства зависят только от безразмерного парамет- ра 75 получаемое ниже правило подобия не определяет, однако, характера зависимости течения от этого параметра. Следует отметить, что при обтекании с Mi >1 газ сильно нагревается, в результате чего могут существенно измениться его термодинамические свойства. Поэтому количественный смысл формул для политропного газа (т. е. в предположении постоянства его теплоемкости) для гиперзвуковых скоростей фактически ограничен. 2) Если не предполагать Mi большим, то получилось бы правило подо- бия с параметром К = в^/М.\ — 1. Оно, однако, не представляет интереса, поскольку при небольших Mi линеаризованная теория в действительности полностью определяет зависимость всех величин от этого параметра. 3) Закон подобия для гиперзвукового обтекания сформулирован Цянь Сюэ-сэнем (H.S. Tsien, 1946). Его связь со «звуковой аналогией», распро- страненной на нелинейную задачу, указана Хейзом (W.D. Hayes, 1947); в специальной литературе эту аналогию называют «поршневой». 658 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ГЛ. XIII Сила сопротивления Fx вычисляется как интеграл г Fx = (hpdydz, j взятый по всей поверхности тела (в силу граничного условия уп = 0, член vx(vn) в плотности потока импульса обращается в нуль на поверхности тела; п — нормаль к этой поверхности). Перейдя к безразмерным переменным согласно A27.4), получим коэффициент сопротивления Сх (определенный согласно A23.6)) в виде = 2e (f)pfdyfdzf. Оставшийся интеграл — функция безразмерного параметра К. Таким образом, Сх = 94f(K). A27.5) Такой же самый закон подобия получается, очевидно, и в плоском случае — для обтекания тонкого крыла бесконечной про- тяженности. Для коэффициентов сопротивления и подъемной силы получаются при этом формулы вида сх = e3fx(K), су = e2fy(K). A27.6) При применении законов A27.5), A27.6) следует помнить, что подобие течений предполагает, что форма, размеры и ориентация обтекаемых тел относительно натекающего потока получаются друг из друга только изменением масштаба S вдоль осей у, z и масштаба / вдоль оси х. Это значит, в частности, что если отличен от нуля угол атаки а, то для подобных конфигураций отношение а/в должно быть одинаковым. При К\ —>> оо функции этого параметра в A27.5), A27.6) стремятся к постоянным пределам. Это утверждение является следствием существования предельного (при Mi —>• 00) режима обтекания, свойства которого в существенной области течения не зависят от Mi (СВ. Валландер, 1947; К. Oswatitsch, 1951). Под «существенной» подразумевается область течения между перед- ней, наиболее интенсивной, частью головной ударной волны и поверхностью обтекаемого тела, не слишком далеко от его пе- редней части (подчеркнем, что именно эта область, с наиболь- шим давлением, определяет действующие на тело силы). Если описывать течение «приведенными» скоростью v/vi, давлением p/(pivi) и плотностью р/р\ как функциями безразмерных коор- динат, то картина обтекания тела заданной формы в указанной области оказывается в пределе независящей от Mi. Дело в том, что, будучи выраженными через эти переменные, оказываются § 127 ГИПЕРЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ 659 независящими от Mi не только гидродинамические уравнения и граничные условия на поверхности обтекаемого тела, но и все условия на поверхности ударной волны. Ограничение области движения «существенной» частью связано с тем, что пренебре- гаемые в последних условиях величины — относительного поряд- ка 1/(Ш\ sin2 <p), где if — угол между vi и поверхностью разрыва; на больших расстояниях, где интенсивность ударной волны ма- ла, этот угол стремится к углу Маха arcsin A/Mi)«l/Mi, так что параметр разложения перестает быть малым: 1/(М2 sin2 ф)~\ х) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гиперзвуковой закон подобия» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
