Таким образом, в предположении положительности произ- водной (86.2) для ударных волн слабой интенсивности можно весьма просто показать, что условие возрастания энтропии с необ- ходимостью приводит также и к неравенствам Р2>Ри (87.1) vi > с\, V2 < С2. (87.2) Из замечания, сделанного по поводу формулы (85.6) следует, что если р2 > р\, то V2 < Vu (87.3) Последняя аргументация применима только вблизи точки 1, где тангенс угла наклона касательной к ударной адиабате в точке 2 отличается от про- изводной (dp2/dV2)s2, лишь на величину второго порядка малости. 462 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX а поскольку j = ^i/Vi = v2/V2i той1) vi > v2. (87.4) Неравенства (87.1) и (87.3) означают, что при прохождении газа через ударную волну происходит его сжатие —его давле- ние и плотность возрастают. Неравенство v\ > c\ означает, что ударная волна движется относительно находящегося перед ней газа со сверхзвуковой скоростью; ясно поэтому, что в этот газ не могут проникнуть никакие исходящие от ударной волны воз- мущения. Другими словами, наличие ударной волны вовсе не сказывается на состоянии газа впереди нее. Покажем теперь, что все неравенства (87.1)-(87.4) справедли- вы и для ударных волн произвольной интенсивности — при том же предположении о знаке производной (d2V/dp2)s 2) . Величина j2 определяет наклон хорды, проведенной из на- чальной точки ударной адиабаты 1 в произвольную точку 2 {—j2 есть тангенс угла наклона этой хорды к оси V). Покажем, прежде всего, что направление изменения этой величины при перемещении точки 2 вдоль адиабаты однозначно связано с на- правлением изменения энтропии 52 при том же перемещении. Продифференцируем соотношения (85.5) и (85.8) по величи- нам, относящимся к газу 2 при заданном состоянии газа 1. Это значит, что дифференцируются p2l V2l w2 и j при заданных зна- чениях pi, Vi, w\. Из (85.5) получаем ф2 + j2 dV2 = (Vi - V2) d(j2), (87.5) а из (85.8): dw2 + j2V2 dV2 = X- (V? - V22) d(j2) или, раскрыв дифференциал dw2: T2 ds2 + V2 (ф2 + j2 dV2) = \ {V2 - V2) d(j2). Подставив сюда dp2 + j2 dV2 из (87.5), получим соотношение ---(Vi-V2Jd(j2). (87.6) 1) Если перейти в систему отсчета, в которой газ 1 перед ударной волной покоится, а волна движется, то неравенство v\ > V2 означает, что газ позади ударной волны будет двигаться (со скоростью ы — V2) в ту же сторону, куда движется сама волна. 2) Неравенства (87.1)-(87.4) были получены для ударных волн произволь- ной интенсивности в политропном газе Жуге (Е. Jouguet, 1904) и Цемпленом (G. Zemplen, 1905). Излагаемое ниже доказательство для произвольной сре- ды дано Л.Д. Ландау A944). § 87 НАПРАВЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН В УДАРНОЙ ВОЛНЕ 463 Отсюда видно, что d(j2)/ds2>0, (87.7) т. е. j и 52 меняются в одинаковом направлении. Дальнейшие рассуждения имеют своей следующей целью по- казать, что на ударной адиабате не может быть точек, в кото- рых бы она касалась проведенной из точки 1 прямой (как это имело бы место в точке О на рис. 56). В такой точке угол наклона хорды (прове- денной из точки 1) имеет минимум, a j —со- ответственно максимум, и потому d(j2)/dp2 = 0. Из соотношения (87.6) видно, что в таком слу- чае ds2/dp2 = 0. РИС- 56 Далее, вычислим производную d(j2)/dp2 в произвольной точ- ке ударной адиабаты. Подставив в соотношение (87.5) дифферен- циал dV2 в виде АЛГ (дУЛ А . (дУ^ dv2 — ( ) dp2 + ( — взяв для ds2 выражение (87.6) и разделив все равенство на получим d(i') _ (87.8) Отсюда видно, что обращение этой производной в нуль вле- чет за собой также и равенство 4 S2 С% т. е. V2 = С2- Обратно, из равенства V2 = С2 следует, что про- изводная d(j2)/dp2 = 0; последняя могла бы не обратиться в нуль, если бы вместе с числителем в (87.8) обратился бы в нуль также и знаменатель; но выражения в числителе и знаменателе представляют собой две различные функции точки 2 на ударной адиабате, их одновременное обращение в нуль могло бы произой- ти лишь чисто случайно и потому невероятно х) . *) Подчеркнем, во избежание недоразумений, что сама производная d(j )/dp2 не является еще одной независимой функцией точки 2\ выражение (87.8) есть ее определение. 464 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Таким образом, все три равенства dJfl = O, Ji = 0, v2 = c2 (87.9) dp2 dp2 являются следствиями друг друга и имели бы место одновре- менно в точке О на кривой рис. 56 (имея в виду последнее из этих равенств, будем условно называть такую точку звуковой). Наконец, для производной от (V2/C2J в этой точке имеем Ввиду предполагаемой везде положительности производной (d2V/dp2)Sl имеем, следовательно, в звуковой точке: -^ < 0. (87.10) dp2 C2 Теперь уже легко доказать невозможность существования звуковой точки на ударной адиабате. В точках, лежащих вбли- зи начальной точки 1 над ней, имеем V2 < C2 (см. конец пре- дыдущего параграфа). Поэтому равенство V2 = C2 может быть достигнуто лишь при увеличении V2/C2] другими словами, в зву- ковой точке должно было бы быть d(v2/'02)/'dp2 > 0, между тем, как согласно (87.10), мы имеем как раз обратное неравенство. Аналогичным образом можно убедиться в невозможности обра- щения V2/C2 в единицу и на нижней части ударной адиабаты, под точкой 1. Имея в виду доказанную таким образом невозможность су- ществования звуковых точек, можно заключить непосредствен- но из графика ударной адиабаты, что угол наклона хорды 12 уменьшается при передвижении точки 2 вверх по кривой, a j2 соответственно монотонно возрастает; ввиду неравенства (87.7) отсюда следует, что монотонно возрастает и энтропия S2- Таким образом, при соблюдении необходимого условия S2 > s\ будет жр2 > р\. Легко, далее, убедиться в том, что на верхней части ударной адиабаты справедливы также и неравенства V2 < С2, v\ > с\. Первое следует прямо из того, что оно справедливо вблизи точ- ки i, a сделаться равным единице отношение г>2/с2 нигде не мо- жет. Второе следует из того, что ввиду невозможности такого перегиба адиабаты, какой изображен на рис. 56, всякая хорда из точки 1 в находящуюся над ней точку 2 расположена более круто, чем касательная к ударной адиабате в точке 1. Таким образом, на верхней части ударной адиабаты выполня- ются условие 52 > «si и все три неравенства (87.1), (87.2). Наобо- рот, на нижней части адиабаты все эти условия не выполняются. § 88 ЭВОЛЮЦИОННОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 465 Следовательно, все эти условия оказываются эквивалентными друг другу и выполнение одного из них автоматически влечет за собой также и выполнение всех остальных. Напомним лишний раз, что в изложенных рассуждениях все время предполагалось выполненным условие положительности производной (d2V/ldp2)s. Если эта производная могла бы менять знак, то из необходимого термодинамического неравенства S2 > si Уже нельзя было бы сделать никаких универсальных заключений о неравенствах для остальных величин.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Направление изменения величин в ударной волне» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Последняя аргументация применима только вблизи точки 1, где тангенс 