Если поверхность раздела двух сред искривлена, то вблизи нее давления в обеих средах различны. Для определения этой разности давлений (называемой поверхностным давлением) на- пишем условие термодинамического равновесия обоих тел друг с другом с учетом свойств поверхности их раздела. Пусть поверхность раздела подвергается бесконечно малому смещению. В каждой точке несмещенной поверхности проведем нормаль к ней. Отрезок нормали, заключенный между ее пересе- чениями с несмещенной и смещенной поверхностями, обозначим через 5(. Тогда объем каждого элемента пространства, заклю- ченного между поверхностями, есть 5(df, где df — элемент по- верхности. Пусть р\ и Р2~ давления в первой и второй средах и будем считать 5( положительным, если смещение поверхно- сти раздела производится, скажем, в сторону второй среды. Тог- да работа, которую надо произвести для описанного изменения объема, равна J{-pi+P2)Kdf. Полная работа SR смещения поверхности получится путем прибавления сюда еще работы, связанной с изменением площа- ди самой этой поверхности. Эта часть работы пропорциональна, как известно, изменению Sf площади поверхности и равна aSf, где а — поверхностное натяжение. Таким образом, полная работа равна J F1.1) Условие термодинамического равновесия определяется, как из- вестно, обращением 6R в нуль. Пусть далее R\ и i?2 — главные радиусы кривизны в данной точке поверхности; мы будем считать R\ и i?2 положительны- ми, если они направлены внутрь первой среды. Тогда элементы § 61 ФОРМУЛА ЛАПЛАСА 333 длины dl\ и сЙ2 на поверхности, проведенные в плоскостях ее главных сечений, получают при бесконечно малом смещении по- верхности приращения, равные соответственно —dl\ и —dl2 {dl\ Ri R2 и dl2 надо рассматривать как элементы дуги окружностей с ра- диусами R\ и i?2). Поэтому элемент поверхности df = dl\dl2 будет равен после смещения dh(i + К) diJi + К) « dhdhii + ? + V ill / V Л2 / V R\ X т. е. изменится на величину Отсюда видно, что полное изменение площади поверхности раз- дела есть Подставляя полученные выражения в F1.1) и приравнивая нулю, получим условие равновесия в виде Это условие должно выполняться при произвольном бесконечно малом смещении поверхности, т. е. при произвольном 5(. Поэто- му необходимо, чтобы стоящее под интегралом в скобках выра- жение тождественно обращалось в нуль, т. е. Это и есть формула (формула Лапласа), определяющая по- верхностное давление . Мы видим, что если R\ и i?2 положи- тельны, то pi > р2- Это значит, что из двух тел давление больше в том, поверхность которого выпукла. Если R\ = R2 = 00, т. е. поверхность раздела плоская, то давления в обоих телах, как и должно было быть, одинаковы. Применим формулу F1.3) для исследования механического равновесия соприкасающихся тел. Предположим, что ни на по- верхность раздела, ни на сами тела не действуют никакие внеш- ние силы. Тогда вдоль каждого из тел давление постоянно. Имея в виду формулу F1.3), мы можем поэтому написать условие рав- новесия в виде J- + — = const. F1.4) Ri R2 V J Изложенный вывод отличается от данного в V, § 156, по существу, лишь тем, что здесь рассматривается поверхность раздела произвольной формы, а не только сферической. 334 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ГЛ. VII Таким образом, сумма обратных радиусов кривизны должна быть постоянной вдоль всей свободной поверхности раздела. Если вся поверхность свободна, то условие F0.4) означает, что поверхность должна иметь шарообразную форму (например, по- верхность маленькой капли, влиянием силы тяжести на которую можно пренебречь). Если же поверхность закреплена вдоль ка- кой-нибудь линии (например, у жидкой пленки на твердой рам- ке), то ее форма является более сложной. В применении к равновесию тонких пленок жидкости, за- крепленных на твердой рамке, в условии F1.4) справа должен стоять нуль. Действительно, сумма 1/R\ + I/R2 должна быть одинаковой вдоль всей свободной поверхности пленки и в то же время на двух своих сторонах она должна иметь противополож- ный знак, поскольку если одна сторона выпукла, то другая во- гнута с теми же радиусами кривизны, которые, однако, должны считаться теперь отрицательными. Отсюда следует, что условие равновесия тонкой пленки есть — + — =0. F1.5) Ri R2 V J Рассмотрим теперь условие равновесия на поверхности те- ла, находящегося в поле тяжести. Предположим для простоты, что второй средой является просто атмосфера, давление кото- рой на протяжении размеров тела можно считать постоянным. В качестве самого тела рассмотрим несжимаемую жидкость. Тог- да имеем р2 = const, а давление р\ в жидкости равно согласно C.2) pi = const — pgz (координата z отсчитывается вертикально вверх). Таким образом, условие равновесия приобретает вид JL + J_ + SPZ = const. F1.6) Ri R2 a K J Надо, впрочем, отметить, что для определения равновесной формы поверхности жидкости в конкретных случаях обычно бы- вает удобным пользоваться условием равновесия не в виде F1.6), а непосредственно решая вариационную задачу о минимуме пол- ной свободной энергии. Внутренняя свободная энергия жидкости зависит только от объема, но не от формы поверхности. От фор- мы зависит, во-первых, поверхностная свободная энергия и, во-вторых, энергия во внешнем поле (поле тяжести), равная gpfzdV. Таким образом, условие равновесия можно написать в виде а Г df + gp Г zdV = min. F1.7) § 61 ФОРМУЛА ЛАПЛАСА 335 Определение минимума должно производиться при дополни- тельном условии Г dV = const, F1.8) выражающем неизменность полного объема жидкости. Постоянные а, /э, g входят в условия равновесия F1.6), F1.7) только в виде отношения —. Это отношение имеет размерность gp квадрата длины. Длину а = J— F1.9) называют капиллярной постоянной г) . Форма поверхности жид- кости определяется только этой величиной. Если капиллярная постоянная велика (по сравнению с размерами тела), то при определении формы поверхности можно пренебречь полем тя- жести. Для того чтобы определить из условия F1.4) или F1.6) фор- му поверхности, надо иметь формулы, определяющие радиусы кривизны по форме поверхности. Эти формулы известны из диф- ференциальной геометрии, но имеют в общем случае довольно сложный вид. Они значительно упрощаются в том случае, ког- да форма поверхности лишь слабо отклоняется от плоской. Мы выведем здесь соответствующую приближенную формулу непо- средственно, не пользуясь общей формулой дифференциальной геометрии. Пусть z = ?(ж, у)—уравнение поверхности; мы предполага- ем, что ( везде мало, т. е. что поверхность слабо отклоняется от плоскости z = 0. Как известно, площадь / поверхности опреде- ляется интегралом или приближенно при малых '-/К Определим вариацию Sf: J J \ Интегрируя по частям, находим ^/@+? х) Так, для воды а = 0,39 см (при 20 °С). 6f= [{^d-K + ^d-K J J \дх дх ду ду 336 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ГЛ. VII Сравнив это выражение с F1.2), получаем J. + J. = _(*< + *< Ri R2 \дх2 ду2 Это и есть искомая формула, определяющая сумму обратных радиусов кривизны слабо изогнутой поверхности. При равновесии трех соприкасающихся друг с другом фаз их поверхности раздела устанавливаются таким образом, что- бы была равна нулю равнодействующая трех сил поверхностно- го натяжения, действующих на общую линию соприкосновения трех сред. Это условие приводит к тому, что поверхности разде- ла должны пересекаться друг с другом под углами (так называ- емые краевые углы), определяющимися значениями поверхност- ного натяжения. Наконец, остановимся на вопросе о граничных условиях, ко- торые должны соблюдаться на границе двух движущихся жид- костей при учете сил поверхностного натяжения. Если поверх- ностное натяжение не учитывается, то на границе двух жидко- стей имеем что выражает равенство сил трения, действующих на поверхно- сти обеих жидкостей. При учете поверхностного натяжения на- до написать в правой части этого условия дополнительную силу, определяемую по величине формулой Лапласа и направленную по нормали к поверхности: т. F1.12) Иначе можно написать это уравнение в виде ±)г. F1.13) Если обе жидкости можно считать идеальными, то вязкие на- пряжения a'ik исчезают, и мы получаем вновь простое уравнение F1.3). Условие F1.13), однако, еще не является наиболее общим. Де- ло в том, что коэффициент поверхностного натяжения а может оказаться не постоянным вдоль поверхности (например, в ре- зультате непостоянства температуры). Тогда наряду с нормаль- ной силой (исчезающей в случае плоской поверхности) появляет- ся некоторая дополнительная сила, направленная тангенциально к поверхности. Аналогично тому как при неравномерном дав- лении появляется объемная сила, равная (на единицу объема) —Vp, здесь тангенциальная сила, действующая на единицу пло- щади поверхности раздела, f^ = grada. Мы пишем здесь гра- диент со знаком плюс перед ним, а не со знаком минус, как в § 61 ФОРМУЛА ЛАПЛАСА 337 силе — Vp, в связи с тем, что силы поверхностного натяжения стремятся уменьшить площадь поверхности, между тем как си- лы давления стремятся увеличить объем тела. Прибавляя эту силу к правой части равенства F1.13), получим граничное условие / /A) /B)\ , да ,ал П/|ч ,= (a^-40nfc + - F1.14) (единичный вектор нормали п направлен внутрь первой жид- кости). Отметим, что это условие может быть выполнено толь- ко у вязкой жидкости. Действительно, у идеальной жидкости a'ik = 0; тогда левая часть равенства F1.14) будет представлять собой вектор, направленный по нормали, а правая — вектор, на- правленный по касательной к поверхности. Но такое равенство невозможно (за исключением, разумеется, тривиального случая, когда эти величины равны нулю каждая в отдельности).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Формула Лапласа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Мы видим, что если R\ и i?2 положи- 