Формула C3.6) качественно определяет корреляцию скоро- стей в локальной турбулентности, т. е. связь между скоростями в двух близких точках потока. Введем теперь функции, кото- рые могут служить количественной характеристикой этой кор- реляции 2) . 1) Эти результаты можно применить к взвешенным в жидкости частицам суспензии, пассивно переносимым вместе с движущейся жидкостью. ) Корреляционные функции были введены в гидродинамику турбулент- ности Л.В. Келлером и А.А. Фридманом A924). 7 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 194 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Первой из таких характеристик является корреляционный тензор второго ранга Bik = ({v2i - vu)(v2k ~ vlk)), C4.1) где vi и V2 — скорости жидкости в двух близких точках, а уг- ловые скобки означают усреднение по времени. Радиус-вектор между точками 1 и 2 (направленный от 1 к 2) обозначим через г = Г2 —1*1. Рассматривая локальную турбулентность, мы счита- ем расстояние малым по сравнению с основным масштабом /, но не обязательно большим по сравнению с внутренним масштабом турбулентности Ао- Изменение скорости на малых расстояниях обусловлено мел- комасштабными пульсациями. С другой стороны, свойства ло- кальной турбулентности не зависят от усредненного движения. Поэтому можно упростить изучение корреляционных функций локальной турбулентности, рассматривая вместо этого идеализи- рованный случай турбулентного движения, в котором изотропия и однородность имеют место не только на малых (как в локаль- ной турбулентности), но и на всех вообще масштабах; усреднен- ная скорость при этом равна нулю. Такую полностью изотроп- ную и однородную турбулентность х) можно представить себе как движение в жидкости, подвергнутой сильному «взбалтыва- нию» и затем оставленной в покое. Такое движение, разумеется, непременно затухает со временем, так что функциями времени становятся и компоненты корреляционного тензора 2) . Выведен- ные ниже соотношения между различными корреляционными функциями относятся к однородной и изотропной турбулентно- сти на всех ее масштабах, а к локальной турбулентности — на расстояниях г <^1. В силу изотропии, тензор В ж не может зависеть ни от какого избранного направления в пространстве. Единственным векто- ром, который может входить в выражение для В^, является ра- диус-вектор г. Общий вид такого симметричного тензора второго ранга есть Bik = A®Sik + В(г)щпк, C4.2) где п — единичный вектор в направлении г. Для выяснения смысла функций А ж В выберем координат- ные оси так, чтобы одна из них совпала с направлением п. Ком- поненту скорости вдоль этой оси обозначим как vri а перпенди- кулярную п составляющую скорости будем отличать индексом t. 1)Это понятие было введено Тэйлором (G.I. Taylor, 1935). 2)Под усреднением в определении C4.1) надо при этом, строго говоря, понимать не усреднение по времени, а усреднение по всем возможным по- ложениям точек 1 л 2 (при заданном расстоянии между ними) в один и тот же момент времени. § 34 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ 195 Компонента корреляционного тензора Вгг есть тогда среднее зна- чение квадрата относительной скорости двух частиц жидкости в их движении навстречу друг другу. Компонента же Btt есть средний квадрат скорости вращательного движения одной ча- стицы относительно другой. Поскольку пг = 1, щ = 0, то из C4.2) имеем Вгг = А + В, Btt = A, Btr = 0. Выражение C4.2) можно теперь представить в виде Bik = Btt®Eik - щпк) + Вгг(г)щпк. C4.3) Раскрыв скобки в определении C4.1), имеем Ввиду однородности, средние значения произведения viv^ в точ- ках 1 и 2 одинаковы, а ввиду изотропии среднее значение (vuV2k) не меняется при перестановке точек 1 ж 2 (т. е. при изменении знака разности г = Г2 — ri); таким образом, Поэтому Bik = \{v2)Sik - 2bik, bik = {vuv2k). C4.4) о Вспомогательный симметричный тензор Ь^ обращается в нуль при г —>• оо; действительно, скорости турбулентного движения в бесконечно удаленных точках можно считать статистически независимыми, так что среднее значение их произведения сво- дится к произведению средних значений каждого множителя в отдельности, равных нулю по условию. Продифференцируем выражение C4.4) по координатам точки 2: ад» = _2 эъш_ = _ д Но в силу уравнения непрерывности имеем dv2k/dx2k — 0, так что дВгк =() дх2к Поскольку В^ являются функциями только от разности г = = Г2 — Г]_, то дифференцирование по %2k эквивалентно диффе- ренцированию по Хк- Подставив для В ж выражение C4.3), полу- чим после простого вычисления: Втт + - \ВТТ — Ви) = О 196 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill (штрих означает дифференцирование по г). Таким образом, про- дольная и поперечная корреляционные функции связаны друг с другом соотношением Ви = ±±(r2Brr). C4.5) 2r dr Согласно C3.6) разность скоростей на расстоянии г в инерци- онной области пропорциональна г1/3. Поэтому корреляционные функции Вгг и Вц в этой области пропорциональны г2/3. При этом из C4.5) получается следующее простое соотношение: Btt = -Brr (Ao«r«0- C4.6) О Для расстояний же г^САо разность скоростей пропорциональ- на г и, следовательно, Вгг и Вц пропорциональны г2. Формула C4.5) приводит теперь к соотношению Btt = 2Brr (r<A0). C4.7) Для этих расстояний Вц и Вгг могут еще быть выражены че- рез среднюю диссипацию энергии е. Пишем Вгг = аг2 (где а — постоянная) и, комбинируя C4.3), C4.4) и C4.7) находим 7 1 / 2\ с 2г , CL Ьгк = -{V )Oik- СЫ Sik + -Х{Хк. о ? Дифференцируя это соотношение, получаем 15 Q / \dxiidx2i/ Поскольку эти равенства справедливы при сколь угодно малых г, можно положить в них ri = Г2, после чего они дают С другой стороны, согласно A6.3) имеем для средней диссипации энергии 2\\дхк дхг) I \\\дхк) I \дхкдх откуда а = е/{\.ЪгУ) х) . В результате находим окончательно сле- дующие формулы, определяющие корреляционные функции че- ) Отметим, что для изотропной турбулентности средняя диссипация свя- зана со средним квадратом завихренности простым соотношением: // j. \2 1 / f dvi dvk\2 (frotv) \2\ 1 / f dvi dvk\2\ s ) ) = -( ) = -. 2\\dxk dxj v § 34 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ 197 рез диссипацию энергии: Btt = ^-r\ Brr = -L- г2 C4.8) 15i/ 15i/ (А.Н. Колмогоров, 1941). Далее, введем корреляционный тензор третьего ранга C4.9) и вспомогательный тензор bik,l = {{^li^lk^l)) = — <(^2г^2А;^1/)>9 C4.10) Последний симметричен по первой паре индексов (второе равен- ство в определении C4.10) связано с тем, что перестановка точек 1 ж 2 эквивалентна изменению знака г, т. е. инверсии координат и потому меняет знак тензора третьего ранга). При г = 0, т. е. при совпадении точек I и2, тензор 6^@) = 0 —среднее зна- чение от произведения нечетного числа компонент пульсирую- щей скорости обращается в нуль. Раскрыв скобки в определении C4.9), выразим тензор В^\ через Ь^^\ Biki = 2(bik,i + bii,k + bik,i)' C4.11) При г —>> оо тензор 6г/с,ь а с ним и Biki, стремятся к нулю. В силу изотропии, тензор bikj должен выражаться через еди- ничный тензор дм и компоненты единичного вектора п. Общий вид такого тензора, симметричного по первой паре индексов, есть bik,i = С(г)81кщ + D®Eunk + 8ыщ) + Р{г)щпкщ. C4.12) Дифференцируя его по координатам точки 2, получим в силу уравнения непрерывности д 7 / dv2i \ п -bik,l = (viiVik-—) = 0. ОХ21 \ ОХ21 Подстановка ж:е сюда выражения C4.12) приводит, после просто- го вычисления, к двум уравнениям [r2CC + 2D + F)]f = 0, С + -(С + D) = 0. г Интегрирование первого дает Но при г = 0 функции С, D, F должны обращаться в нуль, поэтому надо положить const = 0, так что ЗС + 2D + F = 0. Из обоих полученных таким образом уравнений находим D = -C- -rCf, F = rCf - С. C4.13) 198 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Подстановка C4.13) в C4.12) и затем в C4.11) приводит к выражению Biki = -2(гС" + C)Eikni + 5цпк + Skirii) + 6(гС" - С)щпкщ. Направив снова одну из координатных осей по направлению век- тора п, получим для компонент тензора В{к\ Brrr = -12C, Brtt = -2(C + rC), Brrt = Bttt = 0. C4.14) Отсюда видно, что между отличными от нуля корреляционными функциями Вги и Brrr имеется соотношение Brtt = ~(rBrrr). C4.15) 6 dr Ниже нам понадобится также и выражение тензора bikj через компоненты тензора В^. С помощью C4.12)-C4.14) находим bik,i = -—Brrr5ikni + — (rB'rrr + 2Brrr) (Sunk + Skirii) - - ± (rB'rrr - Вггг)гыпкщ. C4.16) Соотношения C4.5) и C4.15)—следствия одного лишь урав- нения непрерывности. Привлечение же динамического уравне- ния движения — уравнения Навье-Стокса — позволяет устано- вить уравнение, связывающее друг с другом корреляционные тензоры Bik и Biki {Th. Kdrmdn, L. Howarth, 1938; A.H. Кол- могоров, 1941). Для этого вычисляем производную dbik/dt (напомним, что полностью однородное и изотропное турбулентное движение не- пременно затухает со временем). Выразив производные dvu/dt и dv2k/dt с помощью уравнения Навье-Стокса, получим — (vuv2k) = --—(viivuv2k) - -—(viiv2kv2i) - --—(piv2k) - at охц 0x21 p охи (P2Vu) + v/±i(viiv2k) + b/\2(viiV2k). C4.17) pdx2k Корреляционная функция давления и скорости равна нулю: (plV2> = 0. C4.18) Действительно, в силу изотропии эта функция должна была бы иметь вид /(г)п. С другой стороны, в силу уравнения непрерыв- ности div2(^iv2) = (pi div2 v2) = 0. Но единственным вектором вида /(г)п и с равной нулю дивер- генцией является вектор const • n/r ; такой вектор не удовлетво- ряет условию конечности при г = 0 и потому должно быть const = 0. § 34 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ 199 Заменив теперь в C4.17) производные по хц и Х2% производ- ными по — Х{ и Xi, получим уравнение ^-bik = ^-(Ьп,к + Ьы,г) + 2uAbik. C4.19) dt dxi Сюда надо подставить Ь^ и Ь^ из C4.4) и C4.16). Производная по времени от кинетической энергии единицы массы жидкости, (г>2)/2, есть не что иное, как диссипация энергии —е. Поэтому = ? dt 3 3 Простое, но довольно длинное вычисление приводит к следую- щему уравнению : _2_е _ 1дВ^ = J_ д_, 4^ , _ ^д_ / ^c^rr ] /34.2O) 3 2 dt 6г4 дг г4 дг\ дг J Величина Вгг как функция времени существенно меняется лишь за время, отвечающее основному масштабу турбулентно- сти {r^l/u). По отношению к локальной турбулентности основ- ное движение может рассматриваться как стационарное (как это было уже отмечено в § 33). Это значит, что в применении к ло- кальной турбулентности в левой части уравнения C4.20) мож- но с достаточной точностью пренебречь производной dBrr/dt по сравнению с е. Умножив остающееся уравнение на г4 и проинте- грировав его по г (с учетом обращения корреляционных функ- ций в нуль при г = 0), получим следующее соотношение между Brrr = -\er + bv^ C4.21) 5 dr (А.Н. Колмогоров, 1941). Это соотношение справедливо при г как больших, так и меньших чем Ао. При г ^> Ао член, содержащий вязкость, мал и мы имеем просто Вттт = --ег. C4.22) о Если же подставить в C4.21) при г <^ Ао выражение C4.8) для ВГГ1 то получится нуль; это связано с тем, что в этом случае должно быть Вттт ос г3, так что члены первого порядка должны сократиться. 1) В результате вычисления это уравнение получается путем умножения обеих частей уравнения на оператор A+ г/2гд/дг). Но поскольку единствен- ное решение уравнения / + г/2гд//дг = 0, конечное при г = 0, есть / = 0, то этот оператор можно опустить. 200 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Одно уравнение C4.20) связывает две независимые функции Вгг и Brrr и потому, само по себе, не дает возможности найти эти функции. Появление в нем корреляционных функций сразу двух порядков связано с нелинейностью уравнения Навье-Стокса. По этой же причине вычисление производной по времени от кор- реляционного тензора третьего ранга привело бы к уравнению, содержащему также и корреляционную функцию четвертого по- рядка, и т. д. Таким образом, возникает бесконечная цепочка уравнений. Получить таким способом замкнутую систему конеч- ного числа уравнений без каких-либо дополнительных предполо- жений невозможно. Сделаем еще следующее общее замечание х) . Можно было бы думать, что существует принципиальная возможность получить универсальную (применимую к любому турбулентному движе- нию) формулу, определяющую величины Brri Btt для всех рас- стояний г, малых по сравнению с /. В действительности, однако, такой формулы вообще не может существовать, как это явству- ет из следующих соображений. Мгновенное значение величины (v2i — vu)(v2k — vik) можно было бы, в принципе, выразить уни- версальным образом через диссипацию энергии е в тот же мо- мент времени. Однако при усреднении этих выражений будет су- щественным закон изменения е в течение периодов крупномас- штабных (масштабы ~1) движений, различный для различных конкретных случаев движения. Поэтому и результат усреднения не может быть универсальным 2) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Корреляционные функции скоростей» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
: 