Исчерпывающей теории возникновения турбулентности в раз- личных типах гидродинамических течений в настоящее время еще не существует. Был выдвинут, однако, ряд возможных сце- нариев процесса хаотизации движения, основанных главным об- разом на компьютерном исследовании модельных систем диф- ференциальных уравнений, и частично подтвержденных реаль- ными гидродинамическими экспериментами. Дальнейшее изло- жение в этом и следующем параграфах имеет своей целью лишь дать представление об этих идеях, не входя в обсуждение соот- ветствующих компьютерных и экспериментальных результатов. Отметим лишь, что экспериментальные данные относятся к гид- родинамическим движениям в ограниченных объемах; именно такие движения мы и будем иметь в виду ниже 2) . Прежде всего сделаем следующее общее важное замечание. При анализе устойчивости периодического движения интерес- ны лишь те мультипликаторы, которые по модулю близки к 1 — именно они при небольшом изменении R могут пересечь еди- ничную окружность. Для течения вязкой жидкости число та- ких «опасных» мультипликаторов всегда конечно по следующей причине. Допускаемые уравнениями движения различные ти- пы (моды) возмущений обладают разными пространственными масштабами (т. е. длинами расстояний, на которых существенно меняется скорость V2). Чем меньше масштаб движения, тем 1)По английской терминологии — frequency locking. ) Фактически речь идет о тепловой конвекции в ограниченных объемах и о куэттовском движении между двумя коаксиальными цилиндрами конеч- ной длины. Теоретические представления о механизме турбулизации погра- ничного слоя и следа за обтекаемым конечным телом в настоящее время еще слабо развиты, несмотря на накопленный значительный экспериментальный материал. § 31 СТРАННЫЙ АТТРАКТОР 163 больше градиенты скорости в нем и тем сильнее оно тормозится вязкостью. Если расположить допустимые моды в порядке убы- вания их масштабов, то опасным может оказаться только неко- торое конечное число первых из них; достаточно далекие в этом ряду заведомо окажутся сильно затухающими, т. е. им будут отвечать малые по модулю мультипликаторы. Это обстоятель- ство позволяет считать, что выяснение возможных типов потери устойчивости периодическим движением вязкой жидкости мо- жет производиться по существу так же, как и анализ устойчиво- сти периодического движения диссипативной дискретной меха- нической системы, описываемой конечным числом переменных (в гидродинамическом аспекте этими переменными могут, на- пример, быть амплитуды компонент разложения поля скоростей в ряд Фурье по координатам). Соответственно этому становится конечномерным и пространство состояний. С математической точки зрения речь идет об исследовании эволюции системы, описываемой уравнениями вида x(t)=F(x), C1.1) где х(?) — вектор в пространстве п величин х^1\ х^2\ ... , х^п\ описывающих систему; функция F зависит от параметра, изме- нение которого может приводить к изменению характера дви- жения х) . Для диссипативной системы дивергенция вектора х в х-пространстве отрицательна, чем выражается сокращение объ- емов х-пространства при движении 2) : divx(t) = divF(x) = dF^/дх^ < 0. C1.2) Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодей- ствия разных периодических движений. Явление синхронизации упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить ква- зипериодичность также и в направлении существенного услож- нения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что при потере устойчивости периодическим движением возникает в до- полнение к нему другое периодическое движение. Логически же это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства состояний, внутри которого располагаются траектории, соответ- ствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ни- чего сказать нельзя. Траектории могут стремиться к предельному 1) По математической терминологии функцию F называют векторным по- лем системы. Если оно не зависит явно от времени (как в C1.1)), систему называют автономной. ) Напомним, что для гамильтоновой механической системы эта диверген- ция равна нулю согласно теореме Лиувилля; компонентами вектора х явля- ются при этом обобщенные координаты q и импульсы р системы. 164 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill циклу или к незамкнутой намотке на торе (соответственно об- разам периодического или квазипериодического движений), но могут вести себя и совершенно по-иному — сложно и запутанно. Именно эта возможность чрезвычайно существенна для понима- ния математической природы и выяснения механизма возникно- вения турбулентности. Представить себе сложное и запутанное поведение траекто- рий внутри ограниченного объема, куда траектории только вхо- дят, можно, если предположить, что все траектории в нем неус- тойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые циклы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означа- ет, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекто- риям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченно- сти области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное пове- дение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости. Эта картина имеет еще и другой аспект — чувствительная зависимость течения от малого изменения начальных условий. Если движение устойчиво, то малая неточность в задании на- чальных условий приведет лишь к аналогичной неточности в определении конечного состояния. Если же движение неустойчи- во, то исходная неточность со временем нарастает и дальнейшее состояние системы уже невозможно предвидеть (Н.С. Крылов, 1944; М. Вот, 1952). Притягивающее множество неустойчивых траекторий в про- странстве состояний диссипативной системы действительно мо- жет существовать (Е. Lorenz, 1963); его принято называть сто- хастическим, или странным аттрактором г) . На первый взгляд, требование о неустойчивости всех тра- екторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, что- бы все соседние траектории при t —>> оо к нему стремились, кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает разбегание траекторий. Это кажущееся противоречие устраня- ется если учесть, что траектории могут быть неустойчивыми по одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми (т. е. притягивающими) по другим. В n-мерном пространстве Х)В отличие от обычных аттракторов (устойчивые предельные циклы, предельные точки и т. п.); название, аттрактора «странный» связано со сложностью его структуры, о которой будет идти речь ниже. В физиче- ской литературе термином «странный аттрактор» обозначают и более слож- ные притягивающие множества, содержащие помимо неустойчивых также и устойчивые траектории, но со столь малыми областями притяжения, что ни в физическом, ни в численном экспериментах их нельзя обнаружить. §31 СТРАННЫЙ АТТРАКТОР 165 Седловая траектория ---... hit) ti@) Рис. 19 состояний траектории, принадлежащие странному аттрактору, не могут быть неустойчивы по всем (п — 1)-направлениям (од- но направление отвечает движению вдоль траектории), так как это означало бы непрерывный рост начального объема в про- странстве состояний, что для диссипативной системы невозмож- но. Следовательно, по одним направлениям соседние траектории стремятся к траекториям аттрактора, а по другим — неустойчивым — от них ухо- дят (рис. 19). Такие тра- ектории называют седловы- ми, и именно множество та- ких траекторий составляет странный аттрактор. Странный аттрактор может появиться уже после нескольких бифуркаций возникновения новых периодов: даже сколь угодно малая нелинейность может разрушить квазиперио- дический режим (незамкнутая обмотка на торе), создав на торе странный аттрактор (D. Ruelle, F. Tokens, 1971). Это, однако, не может произойти на второй (начиная с разрушения стацио- нарного режима) бифуркации. При этой бифуркации появляется незамкнутая обмотка на двумерном торе. Учет малой нелинейно- сти не разрушает тора, так что странный аттрактор должен был бы быть расположен на нем. Но на двумерной поверхности невоз- можно существование притягивающего множества неустойчивых траекторий. Дело в том, что траектории в пространстве состо- яний не могут пересекаться друг с другом (или сами с собой); это противоречило бы причинности поведения классических си- стем: состояние системы в каждый момент времени однозначно определяет ее поведение в следующие моменты. На двумерной поверхности невозможность пересечений настолько упорядочи- вает поток траекторий, что его хаотизация невозможна. Но уже на третьей бифуркации возникновение странного ат- трактора становится возможным (хотя и не обязательным!). Такой аттрактор, приходящий на смену трехчастотному квази- периодическому режиму, расположен на трехмерном торе (S. Newhouse, D. Ruelle, F. Tokens, 1978). Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракто- ров, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна; неясны даже критерии, на которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов осно- ваны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при 166 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill компьютерном решении модельных систем обыкновенных диф- ференциальных уравнений, довольно далеких от реальных гид- родинамических уравнений. О структуре странного аттрактора можно, однако, высказать некоторые общие суждения, следую- щие уже из неустойчивости (седлового типа) траекторий и дис- сипативности системы. Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным вну- три двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению «стационарной» турбулент- ности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее —их следы) заполняют определенную площадь; проследим за изме- нением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом —сжи- мается; ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем ра- стяжение—объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться — в противном случае траек- тории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком боль- шое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющен- ную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каж- дым элементом его площади. В результате сечение пучка разби- вается на систему вложенных друг в друга полос, разделенных пустотами. С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возника- ющий в пределе t —>> оо аттрактор представляет собой несчет- ное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев —поверхностей, на которых располагаются седловые тра- ектории (своими притягивающими направлениями обращенные «наружу» аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с дру- гом; каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блужда- ет по всем слоям и по прошествии достаточно большого времени пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю. По математической терминологии, такие множества по одно- му из направлений относятся к категории канторовых. Именно канторовость структуры следует считать наиболее характерным свойством аттрактора и в более общем случае n-мерного (п > 3) пространства состояний. Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в дру- § 31 СТРАННЫЙ АТТРАКТОР 167 гом пространстве — меньшей размерности. Последнее определя- ется следующим образом. Разобьем все n-мерное пространство на малые кубики с длиной ребра е и объемом еп. Пусть N(e) — минимальное число кубиков, совокупность которых полностью покрывает аттрактор. Определим размерность D аттрактора как предел 2^(?) C1.3) V J Существование этого предела означает конечность объема ат- трактора в D-мерном пространстве: при малом е имеем N(e) ~ « Ve~D (где V — постоянная), откуда видно, что N(e) можно рассматривать как число D-мерных кубиков, покрывающих в D-мерном пространстве объем V. Определенная согласно C1.3) размерность не может, очевидно, превышать полную размер- ность п пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной; именно такова она для канторовых множеств 2) . Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Ес- ли турбулентное движение уже установилось (течение «вышло на странный аттрактор»), то такое движение диссипативной си- стемы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохасти- ческого движения бездиссипативной системы с меньшей размер- ностью пространства состояний. Это связано с тем, что для уста- новившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем за большое время компенсируется энергией, поступающей от сред- него течения (или от другого источника неравновесности). Сле- довательно, если следить за эволюцией во времени принадлежа- щего аттрактору элемента «объема» (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направле- ниях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора. Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установле- ны путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний. 1) Эта величина известна в математике как предельная емкость множества. Ее определение близко к определению так называемой хаусдорфовой (или фрактальной) размерности. 2) Покрывающие множество n-мерные кубики могут оказаться «почти пу- стыми»; именно поэтому может быть D < п. Для обычных множеств опре- деление C1.3) дает очевидные результаты. Так, для множества N изолиро- ванных точек имеем N(s) = N и D = 0; для отрезка L линии: N(s) = L/e, D = 1; для площадки S двумерной поверхности: N(e) = S/e2, D = 2, и т. д. 168 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Другими словами, предполагаем, что индивидуальная траекто- рия воспроизводит свойства аттрактора, если двигаться по ней бесконечно долгое время. Пусть х = xq(?) —уравнение такой траектории, одно из ре- шений уравнений C1.1). Рассмотрим деформацию «сферическо- го» элемента объема при его перемещении вдоль этой траекто- рии. Она определяется уравнениями C1.1), линеаризованными по разности ? = х — xg(t) — отклонению траекторий, соседних с данной. Эти уравнения, написанные в компонентах, имеют вид C1.4) x=xo(t) При сдвиге вдоль траектории элемент объема в одних направле- ниях сжимается, в других растягивается и сфера превращается в эллипсоид. По мере движения вдоль траектории как направ- ления полуосей эллипсоида, так и их длины меняются; обозна- чим последние через /s(t), где индекс s нумерует направления. Ляпуновскими характеристическими показателями называют предельные значения = цт IlnM*) C1.5) - --- t /(о) ' v J где /@) — радиус исходной сферы (в момент времени, условно вы- бранный как t = 0). Определенные таким образом величины — вещественные числа, число которых равно размерности п про- странства. Одно из этих чисел (отвечающее направлению вдоль самой траектории) равно нулю . Сумма ляпуновских показателей определяет среднее вдоль траектории изменение элементарного объема в пространстве со- стояний. Локальное относительное изменение объема в каждой точке траектории дается дивергенцией divx = div? = Aa(t). Можно показать, что среднее вдоль траектории значение дивер- генции 2) ь п lim - fdiv^dt = y^Ls. C1.6) ;^оо t J *^ Для диссипативной системы эта сумма отрицательна — объемы в n-мерном пространстве состояний сжимаются. Размерность же Разумеется, решение уравнений C1.4) (с заданными начальными усло- виями при t = 0) фактически описывает соседнюю траекторию лишь до тех пор, пока все расстояния ls(t) остаются малыми. Это обстоятельство, од- нако, не лишает смысла определение C1.5), в котором используются сколь угодно большие времена: для всякого большого t можно выбрать настолько малое /@), что линеаризованные уравнения останутся справедливыми для всего этого времени. 2) См.: Оселедец В.И. // Тр. Московск. матем. Общества. 1968. Т. 19. С. 179. § 32 ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 169 странного аттрактора определим таким образом, чтобы в «его пространстве» объемы в среднем сохранялись. Для этого распо- ложим ляпуновские показатели в порядке L\ ^ L2 ^ • • • ... ^ Ln и учтем столько устойчивых направлений, сколько на- до для компенсации растяжения сжатием. Определенная таким образом размерность аттрактора (обозначим ее через Dl) будет лежать между т и т +1, где т — число показателей в указанной последовательности, сумма которых еще положительна, но после прибавления Lm+i становится отрицательной . Дробная часть размерности Dl = т + d (d < 1) находится из равенства Е- C1.7) (F. Ledrappier, 1981). Поскольку при вычислении d учитывают- ся лишь наименее устойчивые направления (отбрасываются наи- большие по абсолютной величине отрицательные показатели Ls в конце их последовательности), то даваемая величиной Dl оцен- ка размерности есть, вообще говоря, оценка сверху. Эта оцен- ка открывает, в принципе, путь для определения размерности аттрактора по экспериментальным измерениям временного хода пульсаций скорости в турбулентном потоке.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Странный аттрактор» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
