Нелинейные поправки в уравнениях электромагнитного поля приводят к ряду специфических эффектов при распространении фотонов во внешних полях. С целью придания этим уравнениям более обычного вида (ср. примеч. на с. 646), будем обозначать в этом параграфе напря- женности электрического и магнитного полей буквами Е и В; буквами же D и Н обозначим величины D = Е + 4тгР, Н = В - 4тгМ, Р = —, М = —. Тогда уравнения A29.25)—A29.27) примут вид divB = 0, rotE = - —, да A30.1) divD = 0, rotB= —. dt Рассмотрим распространение фотона в постоянном однород- ном магнитном поле Bq. Обозначив величины, относящиеся к слабому полю электромагнитной волны, буквами со штрихом, будем иметь для них уравнения [кН'] = -сЛУ, [кЕ']=.В', kB' = 0, kD' = 0, V ; причем D'i = eikE'k, В[ = vikH'k; A30.3) тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости вакуума являются функциями внешнего поля Bq. Предполагая это поле слабым в смысле | е {Во/т2 <С 1, найдем из лагранжевой функ- ции A29.21): %: ) 2 / A30.4) = Sik ^l[ ) где b = Bq/Bq. Напомним, что частота фотона предполагается малой: ш <^т (условие A29.29)). Отметим, однако, что характер структуры тензоров sik и цж не связан с этим предположением, а являет- ся следствием уже инвариантности квантовой электродинамики относительно пространственной инверсии и зарядового сопряже- ния. Так, первая запрещает появление в D7 членов вида const-В7 и const • Во(ВоВ7) (инверсия меняет знак Е и D при неизменных Н и В), а вторая запрещает появление в е^ и /^ антисимметрич- ных и нечетных по Bq членов вида е^\В^\ (зарядовое сопряжение меняет одновременно знак всех полей). § 130 РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 649 Ввиду наличия в рассматриваемой задаче избранной плос- кости— плоскости, проходящей через к и Ь, — в качестве двух независимых поляризаций фотона естественно выбрать линей- ные поляризации в этой плоскости и перпендикулярно ей. Будем отмечать индексами _L и || поляризации, при которых вектор В7 соответственно перпендикулярен плоскости k, b или лежит в ней. В случае перпендикулярной поляризации вместе с вектором В7 перпендикулярен плоскости k, b также и вектор Н7: В7 = 45т4 Векторы же Е7 и D7 лежат в плоскости k, b. В этом случае из уравнений A30.2) получаем закон дисперсии фотонов в виде к = = п±_ио с «показателем преломления» (обычные единицы) ^sin2#, A30.5) п± 1 + 90m4c где в — угол между к и Bq х) . Во втором случае векторы В7 и Н7 лежат в плоскости k, b, a векторы Е7 и D7 перпендикулярны ей. Для показателя прелом- ления получается пи = 1 + -**^-В$ sin2 0. A30.6) 11 45т4с7 Отметим, что п_\_ ^ пц. Знак равенства достигается при 6 = 0, когда п± = пц = 1. Наиболее интересным проявлением нелинейности уравнений Максвелла с учетом радиационных поправок является расщепле- ние фотона на два фотона во внешнем магнитном поле (S. L. Adler, J. N. Bahcall, С. G. Callan, М. N. Rosenbluth, 1970). В постоянном и однородном поле этот процесс идет с сохра- нением энергии и импульса 2) . При распаде фотона к на фотоны ki и к2 имеем о;(к) = o;(ki) + о;(к2), ki + k2 = к. A30.7) Для фотонов в вакууме в отсутствие внешних полей ио = к и равенства A30.7) могут выполняться лишь для трех фотонов, движущихся в одном направлении. Но и в таком случае распад *) Выразив В7 через И' во втором из уравнений A30.2), подставим из него Л' в первое уравнение, после чего спроецируем последнее на направление Ь. Произведение кЕ7 выражается через ЬЕ7 из уравнения kD7 = 0. 2) Сохранение импульса связано с пространственной однородностью поля, но имеет место, конечно, лишь для процессов с незаряженными частицами. В лагранжеву функцию заряженных частиц входят не только напряженно- сти, но и потенциалы поля, зависящие от координат и в однородном поле. 650 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ строго запрещен инвариантностью относительно зарядового со- пряжения— в силу теоремы Фарри (см. § 79) сумма диаграмм с тремя фотонными внешними концами обращается в нуль. Наличие внешнего поля делает распад фотона возможным (он изображается диаграммами с тремя фотонными концами и одной или более линиями внешнего поля). Но эта возможность оказывается связанной с характером поляризации фотонов. Эту связь можно установить уже из анализа законов сохранения A30.7) с учетом изменения закона дисперсии фотона в магнит- ном поле. Запишем закон дисперсии в виде ш = к + Р(к), A30.8) где /3(к) — малая (в слабом поле) добавка. Ее наличие делает, в принципе, возможным выполнение равенств A30.7) для импуль- сов ki, k2, лежащих в некотором узком конусе вблизи направле- ния к. Ввиду близости направлений всех трех векторов к, к]_, к2 можно в малых членах /3(к) положить их все направленными вдоль к и считать, что к\ -\-к2 = к. Тогда закон сохранения энер- гии запишется как Р(хк) - /3i(*fci) - РъЫк ~ h)) = h + |k - ki| - к (x = k/fc); поскольку закон дисперсии зависит от поляризации фотона, функции /3, P\,Pi могут быть различными. Учитывая, что |k-ki| = p-fciJ + 2?;?;i(l-cos#)]1/2 « к - кг + kkl $2 2 (к — ki) (# — малый угол между к и ki), имеем ^ > 0. A30.9) ) Это неравенство определяет необходимые для распада свойства закона дисперсии. Для частот ио <^ т закон дисперсии дается формулами A30.5),A30.6), так что /3(к) « —к[п(к) — 1], где функция п(к) зависит от направления, но не от величины вектора к. Тогда должно быть fcini(x) + (k- ki)n2{>c) - кп(*с) > 0. A30.10) Поскольку п_\_ > пц, этим условием сразу исключаются распады 7.1 ->7|| +7|h 7± -^7|| +7±? где символ 7 означает фотон, а индексы _L и || отвечают двум определенным выше поляризациям . Численные расчеты показывают, что неравенство п± > щ верно не толь- ко при и ^С т (когда справедливы выражения A30.5),A30.6)), но и при всех и < 2т (порог для рождения пар фотоном). § 130 РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 651 Для распадов 7.L ~> 7.L + 7-Ь 7|| ~+ 7|| + 7|| левая часть неравенства A30.10) обращается в нуль, поскольку функции п, п\ , П2 одинаковы. Для выяснения вопроса в этом случае необходимо учесть зависимость коэффициента преломле- ния от /с, появляющуюся по мере увеличения ио. Требуемое нера- венство: &]_п(х, к\) + (к — fci)n(x, fc — fci) — кп(н, к) > 0. Уже из общих соображений можно утверждать, что n(x, fc) — возрастающая функция /с, и потому это неравенство не может быть выполнено, так что рассматриваемые распады тоже невоз- можны (действительно, заменив п(к — к\) и п{к{) на п(А;), мы заведомо увеличим всю сумму, между тем как после замены она станет лишь равной нулю). Сделанное утверждение относится к любым прозрачным средам и является следствием формулы Крамерса-Кронига для показателя преломления (ср. VIII, § 84). В данном случае внешнее поле представляет собой «прозрачную среду» для фотонов всех частот ио < 2т — вплоть до порога рож- дения пар, т. е. появления поглощения фотонов. Таким образом, единственными разрешенными процессами распада оказываются 7|| ^7±+7±, A30.11) 7||->7||+7±- A30.12) Уже было отмечено, что импульсы ki и к2 направлены под малы- ми углами # к импульсу начального фотона к. Если пренебречь этими углами, т. е. считать импульсы всех фотонов параллель- ными (будем называть такое приближение коллинеарным), то распад A30.12) окажется невозможным, как это видно из следу- ющих рассуждений. Аналогично A27.14), представим амплитуду распада в виде где е, ei, e2 — 4-векторы поляризации фотонов, определенные, как обычно, по их 4-потенциалам А. Выбрав трехмерную кали- бровку потенциалов, е = @, е), перепишем это выражение в виде Две независимые поляризации определяются ортами х) ем || [kb], e± || [k[kb]]. A30.13) Индексы || и J_ соответствуют определенным выше поляризациям. Надо помнить, что орты е определяют направления векторного потенциала А (и тем самым поля Е7) и перпендикулярны направлению В7. 652 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Легко видеть, что в разложении Мт = AAiA2 (индексы A, Ai, A2 пробегают значения _L, ||; ср. A27.9)) век- торы е^ должны встречаться в каждом члене четное @ или 2) число раз. Действительно, амплитуда Mfi инвариантна относи- тельно преобразования GР, а поскольку потенциалы А (а с ними и е) СР-инвариантны, то должен быть СР-инвариантен также и тензор Mih\. При СР-преобразовании ец —>> ец, е^ —>> —е^ (зарядовое сопряжение меняет знак Ь, а инверсия меняет знак к, оставляя аксиальный вектор b неизменным). Поэтому если в каком-либо члене разложения вектор е^ входит один раз, то соответствующий скаляр М\\1\2 должен быть СР-нечетен. Но из единственных двух (в коллинеарном приближении) векторов k = ki = к2 и Ь, которые оба меняют знак при СР-преобразова- нии, нельзя составить СР-нечетного скаляра, чем и доказывает- ся сделанное утверждение. Таким образом, в коллинеарном приближении распад A30.12) запрещен. Более детальная оценка показывает, что отношение амплитуды этого процесса к амплитуде разрешенного в колли- неарном приближении распада A30.11): ^II±J - $2 ~ a2 (J^j, A30.14) где (углы # оцениваются из A30.9) как #2 ~ п± — пц). Тот факт, что из всех распадов оказывается возможным (в главном приближении) лишь распад 7|| —^ 7-L +7±> означает, что в неполяризованном пучке фотонов, распространяющихся в маг- нитном поле, в конце концов устанавливается перпендикулярная (_L) поляризация. Перейдем к вычислению амплитуды распада Mfi = М^_цц по теории возмущений, т. е. в предположении В о ^С Вкр. Первые (по а и по внешнему полю) неисчезающие фейнма- новские диаграммы имеют вид к2 A30.15) § 130 РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 653 (со всеми возможными перестановками концов), где три конце- вые линии отвечают фотонам, а одна — внешнему полю. Но в коллинеарном приближении соответствующая этим диаграммам амплитуда обращается в нуль. Действительно, в силу калибро- вочной инвариантности внешнее поле может войти в амплитуду процесса лишь в виде 4-тензора его напряженностей F^, а 4-век- торы поляризации фотонов — лишь в антисимметричных комби- нациях с волновыми 4-векторами. Окончательное выражение для ампли- туды строится из тензора внешнего поля F^, тензоров /^ /i/^, Ни,» тРех фотонов и их волновых 4-векторов к^ к\у^ А^; при этом оно должно быть линейным по каждому из тензоров /^, а для диаграмм A30.15) —линейным и по F^v. В коллинеарном приближении 4-векторы к\ и А;2 сводятся к к: к\ = кио\/ио, А;2 = = ксоэ/оо. В этих условиях всякое скалярное произведение, по- строенное указанным образом, обращается тождественно в нуль: легко сообразить, что такое произведение будет содержать по крайней мере один равный нулю множитель к2 или ке. Таким образом, в коллинеарном приближении первый отлич- ный от нуля вклад в амплитуду распада возникает лишь от ше- стиугольных диаграмм вида к A30.16) с тремя линиями внешнего поля г) . Отвечающая таким диаграм- мам амплитуда строится уже с тремя множителями F^v. Такие скалярные произведения могут быть отличны от нуля. Но все от- личные от нуля произведения содержат волновые векторы фото- нов только через посредство тензоров /^; легко сообразить, что добавление еще и других множителей к приведет к появлению в произведении равных нулю множителей к2 или ке. Но компо- ненты тензора /^ совпадают с компонентами напряженностей Е7 и В7 поля фотона. Это значит, что если амплитуду распада, отвечающую диаграммам A30.16), представить как матричный элемент некоторого оператора, то этот оператор, будучи выра- жен через операторы напряженностей полей фотонов, не зависит Поправки же, связанные с учетом неколлинеарности в диаграммах A30.5), дали бы в амплитуде вклад следующего порядка по а по сравне- нию с вкладом от диаграмм A30.16). 654 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ от их частот. В свою очередь, отсюда следует, что вычисление ам- плитуды распада (отвечающей диаграмме A30.16)) с помощью лагранжиана A29.17) даст правильный ответ, не ограниченный условием uj <С т. В конце § 127 было объяснено, каким образом гамильтониан взаимодействия получается из найденной в § 129 лагранжевой функции L. Теперь речь идет о процессе с участием трех фото- нов, и соответствующий оператор взаимодействия получается из членов разложения L, содержащих тройные произведения полей фотонов Е7, В7. При этом надо рассматривать только член вида (В'Во)(Е'ВоJ, A30.17) в который каждый из векторов В7 и Е7 входит умноженным ска- лярно на Bq. Действительно, произведения Е72, В/2,Е7В7 проис- ходят, в четырехмерной записи, от скаляров вида f^f^, кото- рые в коллинеарном приближении тождественно обращаются в нуль. Тот факт, что выбран член именно с одним множителем В7 и двумя Е , связан с тем, что рассматривается процесс с одним ||-фотоном и двумя .L-фотонами; у первого составляющую вдоль Bq имеет поле В7, а у последних — поле Е7. Функция Лагранжа L выражается через инварианты Т = = (В2 — Е2)/2 и Q = ЕВ. Нужный нам член разложения получа- ется из члена ос TQ2. Вычисление с помощью A29.17) дает для последнего выражение 136 630тг2ш8 Положив В = Bq + В7, Е = Е7 и взяв из Т слагаемое BqB7, a из (/—слагаемое BqE7, получим искомый член разложения ви- да A30.17). Таким образом, оператор трехфотонного взаимодей- ствия, приводящего к распаду 7|| —^ 7i-L + 72±> дается выраже- нием |( (BoE'1)(BoE'2)(BoB/) сРх, A30.18) где В7 = и аналогично для Ё72; ср. A27.26),A27.27) . Согласно изложенным в § 64 правилам амплитуда распада Mfi вычисляется по определению Sfi = -i(f\ fv^dt\i) = iB7rL6^(k -h- k2)Mfi x) Удвоение коэффициента в A30.18)—за счет того, что Ei и Er2 могут быть взяты из каждого из двух множителей Е в L. 130 РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 655 и равна Мп = -г 13е6 Dтг) 3/2uouoiuo2Bl sin3 в 1 3157r2m8V J ° (в — угол между к и Во). Вероятность распада в единицу времени (см. F4.11)): dw = BтгL?(к - ki - к2N(ш -u)i- u;2)\Mfi\2 Л3Ш3к2 _ (лишний множитель A/2) учитывает уменьшение фазового объ- ема за счет тождественности двух конечных фотонов). Первая E-функция устраняется интегрированием по d^k2. Для устране- ния второй E-функции замечаем, что при пренебрежении диспер- сией: uj — ио\ — U02 = к — к\ — |к — ki| « — —A — и потому х) ш 1 Г Г J J о о = 2тг / ш\(ш- uoiJduoi = —о;5. 15 Окончательно находим для полной вероятности распада фо- тона в единицу времени (обычные единицы): _ а3 / 13 \2шс2 / Пи / Пи \5/ffosin(9\6 _ Vmc2/ \ BKp ) ~ Как уже упоминалось, применимость этой формулы не тре- бует условия ио ^ т. Она ограничена лишь условием малости членов, отвечающих диаграммам восьмого порядка. Для оцен- ки заметим, что в матричном элементе восьмого порядка может иметься, например, член, отличающийся от членов шестого по- рядка безразмерным инвариантным множителем вида 1)При этом подразумевается, что при учете дисперсии аргумент ^-функ- ции действительно обращался бы в нуль при некотором cos&i < 1. Таким образом, дисперсия требуемого характера необходима для того, чтобы рас- пад был возможным, но сама вероятность распада от дисперсии (если она мала) не зависит. 656 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ ^/m^J. Условие его малости приводит к весьма слабому условию и; < ш(ш2/(|е|Б0)).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Расщепление фотона в магнитном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 