Радиационные поправки к рассеянию электрона во внешнем поле
Перейдем к вычислению радиационных поправок к рассея- нию электрона во внешнем поле (J. Schwinger, 1949). Соответствующая часть амплитуды рассеяния изображает- ся двумя диаграммами A21.2). Диаграмма а дает в амплитуду вклад 4тг где 7^(—q2)—поляризационный оператор, отвечающий петле в диаграмме. Вклад диаграммы б: где Л° — поправочный член в вершинном операторе (Г^= § 122 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ 599 согласно A16.6) Сложив оба вклада, получим Мл / /—I 0/^) fi = \^ T Ц/рад^ QPfl(q) /(q) 2П?) ^g( q2 2m Обсудим прежде всего вопрос об инфракрасной расходимо- сти, содержащейся в формфакторе /(—q2), а тем самым и в ам- плитуде рассеяния A22.1). Уже было указано (см. § 98), что точная амплитуда чисто упругого рассеяния сама по себе равна нулю, т. е. не имеет смыс- ла. Физическим смыслом обладает лишь амплитуда рассеяния, определенного как процесс, в котором может быть испущено лю- бое число мягких фотонов с энергией каждого, меньшей некото- рого заданного значения а;тах, удовлетворяющего условиям при- менимости теории излучения мягких фотонов. Другими словами, имеет смысл лишь сумма da = daynp + daynp / dwu + daynp — / dwUl I dwU2 + ... , J J J 0 0 0 A22.2) где dayup — сечение рассеяния без испускания фотонов, dw^ — дифференциальная вероятность испускания электроном фотона частоты ио. При этом предполагается, что dayup само вычисля- ется в виде ряда теории возмущений, т. е. в виде разложения по степеням а 2) . Тогда после сведения вместе членов каждого порядка по а из всех слагаемых в A22.2) мы получим da в виде разложения по а, каждый из членов которого будет конечным. В первом борновском приближении dayup ~ а2. Этот член, естественно, имеет смысл сам по себе. Если же мы хотим учесть следующую поправку в dayup (член ~ а3), то наряду с ней надо взять также и второй член в сумме A22.2): поскольку dw^ ~ а, при умножении на dayup ~ а2 отсюда тоже возникает величина При преобразовании надо помнить, что если q^ = @, q), то q^ = @, — q)! Поэтому aOuqu = — 7°Ч7- 2)Что касается вероятности div^, то необходимость учета радиационных поправок в ней зависит от cjmax; предел ио —»¦ 0 отвечает классическому слу- чаю, в котором радиационные поправки исчезают; поэтому выбором доста- точно малого cjmax можно всегда сделать их малыми. 600 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ ~ а3. Покажем, что при сложении этих двух величин инфра- красная расходимость устраняется. Расходящийся член в формфакторе / согласно A17.17) имеет вид х) 2 \2rnJ А Соответствующий член в амплитуде A22.1): а в сечении рассеяния A21.5): Л/ 16тг2 Сравнив это с борновским сечением найдем, что С другой стороны, второй член в A22.2) с f dwu из A20.11) дает Wma Наконец, сложив A22.3) и A22.4), получим 2m A22.4) A22.5) Мы видим, что расходящийся вклад от мягких (|k| ~ А) вирту- альных фотонов действительно сокращается с вкладом излуче- ния таких же реальных фотонов. Та же ситуация имеет место в любом другом процессе рассеяния. В то же время появляется зависимость сечения рассеяния от а;тах. Эта зависимость — следствие того, что величина о;тах, вхо- дит в самое определение рассеяния как процесса, в котором мо- жет быть испущено любое число мягких фотонов. Естественно, В этом легко убедиться, использовав соотношение между |q| и переменной ?, с помощью которой написана формула A17.17). § 122 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ 601 что сечение такого процесса будет тем меньше, чем ниже пре- дел cjmax частот фотонов, испускание которых мы еще относим к данному процессу рассеяния. Найдем теперь полное выражение для радиационной поправ- ки к сечению рассеяния. Поступая по стандартным правилам (см. F5.7)), находим для сечения, усредненного по поляризаци- ям начального и просуммированного по поляризациям конечного электронов: da = A22.6) Согласно A22.1) <2рад = а + bjq, <2Рад = 7°<2+рад7° = О + ^TQ, а = /(-q2) - 1 - ±V(-q2), 6 =-Lg(-q2). q2 2m С точностью до членов, линейных по а и 6, след в A22.6) равен - Sp{... } = 2(е2 - ?-Vl + 2а) - 26mq2. 4 \ 4 / Поэтому Г 2 1 A22.7) где da^ — борновское сечение рассеяния неполяризованных электронов (80.5); формфактору / приписан индекс А для на- поминания о том, что он «обрезан по массе фотона А». Остается прибавить к A22.7) сечение испускания мягких фо- тонов. Если представить f\ в виде /A(-q2) = l-|F(^)ln^ + aF2, A22.8) то согласно A20.11) это добавление сведется к замене в A22.7) /л на -Fi + aF2. A22.9) 2 \2m/ 2cjmax 2 С этой заменой A22.7) дает окончательный ответ. 602 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Отметим, что в нерелятивистском пределе г) Q2 « т\ A22.10) Обратим внимание на то, что специфика внешнего поля вхо- дит в радиационную поправку к сечению только через посред- ство da^'; множитель же в фигурных скобках в A22.7) имеет универсальный характер. В нерелятивистском приближении daw = -da^.f^(\n-^ + f\ q2«m2 A22.11) Зтг т2 \ 2cjmax 30 / (сюда входят вклады от всех членов в A22.7)). В обратном же, ультрарелятивистском, случае основной вклад вносит только член с /cjmax — 1 и получается Жтрад = -da^ • — In ? In -^-, q2 > m2. A22.12) Отметим в заключение, что рассмотренные здесь радиацион- ные поправки не приводят к появлению каких-либо поляризаци- онных эффектов, отсутствующих в первом борновском прибли- жении (в отличие от поправок второго борновского приближе- ния, рассмотренных в § 121). Дело в том, что специфика первого борновского приближения в конечном счете связана с эрмито- востью ^-матрицы. Это свойство, однако, сохраняется и при уче- те рассмотренных радиационных поправок, поскольку в этом приближении отсутствуют какие-либо реальные промежуточные состояния в канале рассеяния (так что правая часть соотноше- ния унитарности обращается в нуль) 2) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Радиационные поправки к рассеянию электрона во внешнем поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
