Рассмотренные в § 110 физические условия перенормировки позволяют, в принципе, получить однозначным образом конеч- ное значение амплитуды всякого электродинамического процесса при ее вычислении в любом приближении теории возмущений. Ознакомимся прежде всего с характером расходимостей, воз- никающих в интегралах, написанных непосредственно по диа- граммам Фейнмана. Важные указания на этот предмет дает под- счет степеней виртуальных 4-импульсов, входящих в подынте- гральные выражения для этих интегралов. Рассмотрим диаграмму n-го порядка (т. е. содержащую п вер- шин), имеющую Ne электронных и 7V7 фотонных внешних линий. Число Ne четно, и электронные линии образуют Ne/2 непрерыв- ных последовательностей, каждая из которых начинается и за- канчивается внешним концом. Число же внутренних электрон- ных линий в каждой такой последовательности на единицу мень- ше числа вершин на ней; поэтому полное число внутренних элек- тронных линий в диаграмме равно п - Ne/2. В каждую вершину входит одна фотонная линия; в 7V7 вершинах фотонная линия — внешняя, а в остальных п — 7V7 — внутренняя. 554 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Поскольку каждая внутренняя фотонная линия связывает две вершины, полное число таких линий равно (п - Ny)/2. Каждой фотонной внутренней линии сопоставляется множитель D(k), содержащий к в степени —2. Каждой же электронной вну- тренней линии сопоставляется множитель G(p), содержащий р (при р2 ^> т2) в степени — 1. Таким образом, суммарная степень 4-импульсов в знаменателе диаграммы равна 2n-Ne/2-N1. Число же интегрирований (по d^p или d^k) в диаграмме рав- но числу внутренних линий, за вычетом числа п — 1 налагаемых на виртуальные импульсы дополнительных условий (из п зако- нов сохранения в вершинах один связывает импульсы внешних концов диаграммы). Учетверив, получим число интегрирований по всем компонентам 4-импульсов: Наконец, разность между числом интегрирований и степенью импульсов в знаменателе интегрируемого выражения (обозна- чим ее через г) равна г = 4- 3/27Ve-7V7. (П2.1) Отметим, что это число не зависит от порядка диаграммы п. Условия г < 0 для диаграммы в целом, вообще говоря, недо- статочно для сходимости интеграла; необходимо, чтобы были от- рицательны аналогичные числа г' и для внутренних блоков, ко- торые можно было бы выделить из диаграммы. Наличие блоков с г' > 0 привело бы к их расходимости, хотя остальные интегриро- вания в диаграмме и сходились бы при этом даже «с избытком». Условия г < 0, однако, достаточно для сходимости простейших диаграмм, в которых п = Ne + 7V7 и имеется всего одно интегри- рование по d^p. Если же г ^ 0, то интеграл во всяком случае расходится. При этом степень расходимости — не менее чем г, если число г четно, и не менее чем г — 1, если г нечетно (уменьшение степени расхо- димости на 1 в последнем случае связано с обращением п нуль интеграла от произведений нечетного числа 4-векторов при ин- тегрировании по всему 4-пространству). Степень расходимости может увеличиться при наличии внутренних блоков с г' > 0. Отметим, что так как Ne и 7V7 — целые положительные числа, из A12.1) видно, что существует лишь несколько пар значений этих чисел, при которых г ^ 0. Перечислим простейшие диа- граммы каждого из таких типов, но сразу же исключим из них 112 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА 555 случаи Ne = 7V7 = 0 (вакуумные петли) и Ne = О, 7V7 = 1 (сред- нее значение вакуумного тока), поскольку они не имеют физи- ческого смысла и соответствующие диаграммы должны просто отбрасываться, как уже было указано в § 103. Остальные случаи таковы: . —о— Pl-f A12.2) Г = 0 В первом из этих случаев расходимость квадратичная, а во всех остальных (г = 0 или г = 1) —логарифмическая. Диаграмма г — первая поправка к вершинному оператору. Она должна удовлетворять условию A10.19), которое запишем здесь в виде п(р)А»(р, р; 0)и(р) =0, р2 = т2. A12.3) где Л" = Г"-7". (П2.4) Обозначим интеграл Фейнмана, записанный прямо по диа- грамме, через А^{р2, Р\] к). Этот интеграл логарифмически рас- ходится и сам по себе условию A12.3) не удовлетворяет. Мы, од- нако, получим величину, удовлетворяющую этому условию, об- разовав разность 2, pi; к) = Atl(p2, pi; к) - Л"(рь pi; 0)L?=m2. A12.5) |р?=то2 Главный член расходимости в интеграле А.^(р2, р\\ к) полу- чится, если считать в подынтегральном выражении 4-импульс виртуального фотона / сколь угодно большой величиной. Он имеет вид х) ше J РРР и не зависит от значений 4-импульсов внешних линий. Поэтому в разности A12.5) расходимость сокращается и получается конеч- ная величина. О такой операции устранения расходимости путем вычитаний говорят как о регуляризации интеграла. Полное выражение для интеграла записано в § 117 (см. A17.2)). 556 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Подчеркнем, что возможность регуляризации интеграла Л**(р2, pi] к) путем одного вычитания обеспечивается тем, что в данном случае расходимость — лишь логарифмическая, т. е. наи- менее сильная из всех возможных. Если бы в интеграле содержа- лись расходимости различных порядков, то одно вычитание при к = 0 могло бы оказаться недостаточным для устранения всех расходящихся членов. После определения первой поправки в Г^ (первого члена раз- ложения Л^) первая поправка в электронном пропагаторе (диа- грамма A12.2,5)) может быть вычислена по тождеству Уорда A08.8), которое можно записать также и в виде ^ -А^(р,р;0), (П2.6) введя массовый оператор ЛЛ вместо Q и Л^ вместо Г^. Это урав- нение должно быть проинтегрировано с граничным условием п(р)М(р)и(р) = 0, р2 = ш2, A12.7) следующим из A10.20). Наконец, для вычисления первого члена разложения поля- ризационного оператора обратимся к тождеству A08.14); после упрощения по двум парам индексов оно дает уравнение з d2v = 2G 4тг дкадк* связывающее скалярные функции v = ЧзР» и g = g^. Обе эти функции зависят только от скалярной же переменной к2 поэтому находим 2k2V"{k2) + Г'(к2) = —V(k2), A12.8) о где штрихи означают дифференцирование по к2. Ввиду условия 7^@) = 0 из этого уравнения ясно, что должно быть и V@) =0. A12.9) В первом приближении теории возмущений V(k2) определя- ется диаграммой A12.2,д) (с 4-импульсами концов fc, fc, 0, 0). Соответствующий интеграл Фейнмана (обозначим его через О (к2)) расходится логарифмически, и его регуляризация осуще- ствляется одним вычитанием по условию A12.9): G(k2) =Щк2) -0@). § 112 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА 557 После этого V(k2) определяется решением уравнения A12.8) с граничными условиями V@) = О, V'@) = 0. В следующем приближении теории возмущений поправка к вершинному оператору (Л^) определяется диаграммами A06.10,в-^). Из них неприводимая A06.10,г) вычисляется та- кой же регуляризацией интегралов с помощью одного вычита- ния согласно A12.5), как и при вычислении поправки первого приближения Л^ . Содержащиеся же в приводимых диаграммах внутренние собственно-энергетические и вершинные части более низкого порядка сразу заменяются известными уже (регуляризо- Л^ ) ванными) величинами первого приближения после чего получившиеся интегралы регуляризуются снова со- гласно A12.5) . Поправки V^ и Л4^ могут быть затем вы- числены с помощью уравнений A12.6) и A12.8). Описанная систематическая процедура дает, в принципе, воз- можность получить конечные выражения для 'Р, ЛЛ и Л^ в лю- бом приближении теории возмущений. Тем самым становится возможным и вычисление амплитуд физических процессов рас- сеяния, описывающихся диаграммами, в которые блоки V, Л^, Л^ входят как составные части. Мы видим, таким образом, что установленные выше (см. § 111) физические условия оказываются достаточными для одно- значной регуляризации всех встречающихся в теории диаграмм Фейнмана. Это обстоятельство является отнюдь не тривиальным свойством квантовой электродинамики и носит название пере- нормируемости 2) . Для фактического вычисления радиационных поправок опи- санная выше процедура может, однако, оказаться не наиболее простым и рациональным путем. В следующей главе мы уви- дим, в частности, что целесообразный путь может начинаться с вычисления мнимой части соответствующих величин; эти ча- сти даются интегралами, не содержащими расходимостей. Вся величина в целом определяется затем путем аналитического про- должения с помощью дисперсионных соотношений. Тем самым оказывается возможным избежать громоздких вычислений, тре- буемых для прямой регуляризации путем вычитаний.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Регуляризация интегралов Фейнмана» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Полное выражение для интеграла записано в § 117 (см. A17.2)). 