Сравним два процесса, описываемых диаграммами: (99.1) кружки изображают условно всю внутреннюю часть диаграм- мы). Диаграмма а) изображает столкновение фотона к(к2 = 0) с некоторой частицей с 4-импульсом q (и массой m; q2 = т2). В результате столкновения образуется система (частица или груп- па частиц) с общим 4-импульсом Q. Диаграмма б) изображает столкновение той же частицы q с другой частицей, 4-импульс которой р, а масса М (р2 = М2). В результате столкновения эта последняя частица приобретает 4-импульс р' и образуется та же система Q. Второй процесс можно рассматривать как столкнове- ние частицы q с испущенным частицей р виртуальным фотоном, импульс которого к = р — р1 (к2 < 0). Если при этом \к\2 мало, 490 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X то виртуальный фотон мало отличается от реального. Очевид- но, что с такой ситуацией можно встретиться при столкновени- ях очень быстрых частиц: электромагнитное поле заряженной частицы, движущейся со скоростью v ~ 1, почти поперечно и потому близко по своим свойствам к полю световой волны. В этих условиях сечение процесса б) можно выразить через сече- ние процесса а) :). Итак, будем считать частицу М ультрарелятивистской: ее энергия (в системе покоя частицы га) е ^> М. Если массы стал- кивающихся частиц т и М различны, то для определенности будем считать, что га < М. Амплитуду процесса а) (с участием реального фотона) мож- но представить в виде М$ = -еуД^(е^), (99.2) где е^ — 4-вектор поляризации фотона, a J^ — ток перехода, отвечающий вершине (кружок) диаграммы. Амплитуда же про- цесса б) Mfi = Ze^UnJ»), (99.3) где j^ — ток перехода частицы т (нижняя вершина диаграммы); Ze — заряд этой частицы. Ток J — функция от к = Q — q и потому в этих случаях различен: к2 = 0 в (99.2) и i2 / 0 в (99.3). Но если во втором случае \к2\ <га2, (99.4) то и здесь можно взять J при к2 = 0. Изменение импульса частицы М при испускании виртуально- го фотона, р — р7 = к, мало по сравнению с ее первоначальным импульсом |р| ~ ?; поэтому в токе перехода j можно положить р = р7. Другими словами, рассматриваем движение частицы М как прямолинейное и равномерное. Поскольку такое движение квазиклассично, соответствующий ток не зависит от спина ча- стицы 2) : h = V- (99.5) Излагаемый ниже метод был разработан Вейцзеккером и Вильямсом {К. Weizsacker, E. J. Williams, 1934); основная идея этого метода была еще раньше высказана Ферми (Е. Fermi, 1924). 2) При нормировке волновых функций на одну частицу в единичном объ- еме ток j^ = A, v), где v — скорость. Но мы условились (см. § 6) опускать в волновых функциях нормировочный множитель 1/л/2б\ Соответственно этому в jM надо ввести дополнительный множитель 2s, и мы приходим к выражению (99.5). § 99 МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ 491 Условие поперечности тока (jk = 0) дает теперь еио—рхкх = 0, где ось х выбрана в направлении р. Отсюда ио = vkx, (99.6) где v = px/s— скорость частицы М. Поскольку -k2 = -ио2 + к2х + к\ъоо2A- v2) + к^ (99.7) (k_L — поперечная к оси х составляющая вектора к), условие (99.4) эквивалентно неравенству \\<l±_\ <C m и значительно более слабому неравенству для ио : ио <С ту/1 — v2. Далее, из условия поперечности тока J (Jk = 0) следует при использовании (99.6) Jo = — + • V Ш Поэтому для скалярного произведения j J получим и = 2(Joe - JxPx) « 2е-(j±k± + ^f Jx). (99.8) и \ г1 J Произведение ж:е Je в (99.2) раскроем, выбрав 4-вектор поля- ризации реального фотона в трехмерно поперечной калибровке: ек = —ек = 0, откуда ех « —е±к±/ои. Тогда (99.9) Сравним выраж:ения (99.8) и (99.9). Они окажутся пропорци- ональными друг другу, если можно пренебречь вторыми членами в скобках. Поскольку ток J относится к верхнему узлу диаграм- мы (99.16), он не связан с направлением р; поэтому Jx и J^ надо считать величинами одного порядка. Допустимость указан- ного пренебрежения требует, следовательно, соблюдения условий |к_ь| ^С оо и ио <^ ?2|к^|/М2; они не противоречат предыдущим условиям, уже наложенным на к^ yl ио. Приняв, что в (99.9) фотон поляризован в плоскости хк (так что е^ || kj_), и заметив, что в силу поставленных условий е^ ~ е2 = 1, получим теперь M® = ге^2Л JL — к2 и Согласно сказанному выше при этом предполагаются выполнен- ными условия (99.11) — < |kj_| < m, (99.12) 72 492 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X где для краткости обозначено: /1 - v2 ' Отсюда можно найти связь между соответствующими сече- ниями. Согласно общей формуле F4.18) имеем (в системе покоя ЧаСТИЦЫ 777,) где dpQ — статистические веса частиц Q. Используя (99.10) и (99.7), получаем da = dar-n(k)d3pf, (99.13) где Напомним, что dar —сечение процесса а), вызванного столкнове- нием реального фотона с покоящейся частицей, причем образу- ется система частиц Q в определенных интервалах их импульсов. Сечение же da относится к процессу б) образования той же си- стемы Q при столкновении быстрой частицы (массы М) с той же покоящейся частицей, причем быстрая частица теряет импульс р — р7 = к, оставаясь в интервале d?p' значений р7. Множитель п(к) в (99.13) можно истолковать как плотность (в к-простран- стве) числа фотонов, которым эквивалентно электромагнитное поле быстрой частицы. Интегрирование по d?p' равнозначно интегрированию по d3k = duid2k±. Произведя интегрирование по d2k±, мы получим сечение процесса, в котором полная энергия Е системы частиц Q лежит в заданном интервале dE = duo (E — m = e — е' = о;, где е же' — начальная и конечная энергии частицы М). Интегрирова- ние по направлениям к^ означает усреднение по направлениям поляризации падающего фотона (вместе с умножением на 2тг). После этого получим da = n(uo)darduo, (Л Г п\ о / А1 2^е2 [ kidk± (99.15) 77(ш) = / п к • 2nk±dk± = / j- Интеграл по к_\_ расходится при больших к_\_. Расходимость, однако, всего лишь логарифмическая. Это обстоятельство позво- ляет (в пределах применимости излагаемого метода) получить § 99 МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ 493 ответ в логарифмическом приближении: предполагается, что ве- лик не только аргумент логарифма, но и сам логарифм. С такой точностью достаточно положить для верхнего предела интегри- рования к±тгх ~ т — верхний предел неравенства (99.12). Про- изведя интегрирование, получим для спектрального распределе- ния эквивалентных фотонов (в обычных единицах) п(ш)ёш= *Zaln^^. (99.16) тг Ни) uj Принятое приближение означает, что численный коэффициент в аргументе логарифма остается неопределенным: введение такого коэффициента означало бы прибавление к большому логарифму относительно малой величины (~ 1) и представляло бы собой превышение допустимой точности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Метод эквивалентных фотонов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Излагаемый ниже метод был разработан Вейцзеккером и Вильямсом 