Рассмотрим движение электрона в центрально-симметрич- ном электрическом поле. Поскольку при движении в центральном поле сохраняются момент и четность (относительно центра поля, выбранного в качестве начала координат), к угловой зависимости волновых функций такого движения относится все сказанное в § 24 по по- воду сферических волн свободных частиц. Меняются лишь ради- альные функции. Соответственно этому будем искать волновую функцию стационарных состояний (в стандартном представле- нии) в виде ip = где / = j ± Y2, I' = 2j — /, а степень —1 введена для упрощения последующих формул. Уравнение Дирака в стандартном представлении дает следу- ющую систему уравнений для ср и %: (е - т - U)ip = арх, {е + т ~ и)х = 0"Р<Р, C5.2) где U® = еФ(г) —потенциальная энергия электрона в поле. Вы- числение результата подстановки сюда выражений C5.1) сводит- ся к вычислению правых сторон этих уравнений. Выражая шаровой спинор ?lji'm через Q,jim согласно j m \ rJ J m (cm. B4.8)), пишем: § 35 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 155 Преобразовав теперь произведение (сгр)(сгг) с помощью форму- лы C3.5), найдем после раскрытия векторных операций = {-divr - (rV) - а[гг]}Щ1т = - \gf + 2-g + * Г К. Г Г где 1 = [гр] — оператор орбитального момента; штрих означает дифференцирование по г. Собственные значения произведения а 1 = 211з равны J J\J ) V ) 4 ^_j _ 3/2? / = j + 72• Для единообразия записи формул в обоих случаях (/ = j± Y2) удобно ввести обозначение „ \ (j+V2) +U+1/2)=l, Число ж пробегает все целые значения, исключая значение О (причем положительные числа отвечают случаю j = / — 72, а отрицательные — случаю j = I -\- 1/2)- Тогда \сг = — A + х), так что (сф)х = - (V + ^T^g) °j7m* При подстановке этого выражения в первое из уравнений C5.2) шаровой спинор ftjim в обеих сторонах уравнения сокра- щается. Поступив аналогичным образом и со вторым уравнени- ем, получим в результате следующую систему для радиальных функций: ) C5-4) (s-m-U)f = 0, ИЛИ C5.5) (gry-*(gr) + (s-m-U)fr = O. Г Исследуем поведение / и g на малых расстояниях, предполо- жив, что поле U® возрастает при г —>• 0 быстрее, чем 1/г. Тогда в области малых г уравнения C5.4) принимают вид f' + Ug = О, g'-Uf = 0. 156 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV Они имеют вещественные решения вида /= const • sin I U dr + S) , g = const • cos I U dr + S) , C5.6) где E — произвольная постоянная. Эти функции осциллируют при г —>• 0, не стремясь ни к какому пределу. Легко видеть, что такая ситуация соответствует в нерелятивистской теории «падению» частицы на центр. Прежде всего отметим, что область малых расстояний не на- кладывает в этом случае ограничений на выбор решения: усло- вие при г = 0 для осциллирующей функции отсутствует и выбор постоянной 6 остается произвольным (правильного же поведения волновой функции в области больших г можно добиться при лю- бом е надлежащим выбором 8). Можно устранить эту неопреде- ленность, рассматривая сингулярный (при г = 0) потенциал как предел при г о —>• 0 потенциала, «обрезанного» на некотором г о (т. е. равного U® при г > го и ?У(го) при г < го). При конечном го получается, разумеется, определенная система уровней энер- гии. Однако энергия основного состояния стремится к — оо при го^О. В нерелятивистской теории это как раз и означает «падение» на центр, поскольку частица на глубоком уровне локализована в малой области вокруг г = 0. В релятивистской же теории такая ситуация вообще недопустима, так как означает неустойчивость системы относительно самопроизвольного рождения электрон- позитронных пар. Действительно, если в вакууме для рождения такой пары нужна энергия, превышающая 2га, то в поле доста- точна уже меньшая энергия. При наличии связанного состояния электрона с энергией е < т возможно рождение пары с затра- той лишь энергии е + т < 2т, причем рождаются свободный позитрон и электрон в связанном состоянии. Если же энергия уровня связанного состояния е < —га, то такое поле может рож- дать позитроны (с энергией — е > га) самопроизвольно, без затра- ты энергии от внешнего источника. В рассматриваемом же поле при го —>• 0 имеется бесконечное множество таких «аномальных» уровней с е < —га. Поэтому поля с потенциалом Ф(г), возра- стающим при г —>• 0 быстрее, чем 1/г, в теории Дирака вообще нельзя рассматривать. Подчеркнем, что это относится к потен- циалам обоего знака. «Падение» происходит, конечно, лишь в случае притяжения, но поскольку знак U = еФ зависит также и от знака заряда, то в одном случае аномально ведут себя элек- тронные, а в другом — позитронные уровни; во втором случае поле рождает свободные электроны. Рассмотрим далее поведение волновых функций на больших расстояниях. Если поле U® достаточно быстро убывает при г —>• оо, то при определении асимптотического вида волновых § 35 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 157 функций на больших расстояниях можно полностью пренебречь полем в уравнениях. При е > т, т. е. в области непрерывного спектра, мы возвращаемся тогда к уравнению свободного движе- ния, так что асимптотическая форма волновых функций (сфе- рических волн) отличается от таковой для свободной частицы лишь появлением дополнительных «фазовых сдвигов», значения которых определяются видом поля на близких расстояниях х) . Эти сдвиги зависят от значений J и /, или, что то же, от вве- денного выше числа ус (а также, разумеется, и от энергии е). Обозначив их посредством 5^ и используя выражение свободной сферической волны B4.7), мы можем сразу написать искомую асимптотическую формулу 2 1 ( V^m(^f к) г V2e?\_^/^T^ujVm sin (^ 5) J или, с учетом определения C5.1): + Ч C5" где р = V е1 — га2. Общий коэффициент здесь отвечает норми- ровке радиальных функций согласно B4.5). Волновые же функции дискретного спектра (е < т) при г —>• оо экспоненциально затухают по закону rVm2-?2), C5.9) n — ь i где Aq — постоянная. Как и в нерелятивистской теории, фазовые сдвиги 5^ (точнее, величины е2 * — 1) определяют амплитуду рассеяния в данном поле (об этом будет подробнее идти речь в § 37). Мы не станем исследовать здесь аналитические свойства этих величин (ср. III, § 128). Отметим лишь, что е2 * как функция энергий по-преж- нему имеет полюсы в точках, соответствующих уровням связан- ных состояний частицы. Вычет функции е2г5* в таком полюсе определенным образом связан с коэффициентом в асимптотиче- ском выражении соответствующей волновой функции дискрет- ного спектра. Найдем эту связь, обобщающую нерелятивистскую формулу A28.17) (см. III). Необходимые вычисления вполне ана- логичны произведенным в т. III, § 128. 1)Ср. III, § 33. Как и в нерелятивистской теории, U® должно убывать быстрее, чем 1/г. Случай U ~ 1/г будет рассмотрен особо в § 36. +{? + mu) \ де J r де де 158 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV Продифференцируем уравнения C5.5) по энергии: = rg, ие (drg\ >c drg / TT\^rf -P V де ) т де де Умножим эти два уравнения соответственно на rg и на —г/, а два уравнения C5.5) — соответственно на — rg и на г/, после чего все четыре уравнения сложим почленно. После всех сокращений получим Интегрируем это равенство по г: г2 (#— - после чего переходим к пределу г —>> оо. В силу условия норми- ровки интеграл в правой стороне равенства обращается в еди- ницу. В левой же стороне учтем, что в асимптотической области функции / и g связаны равенством О/У е + т получающимся из C5.5) при пренебрежении членами с U и с 1/г. В результате получим frf()\l. C5.10) де \ е J \ Эта формула лишь коэффициентом (е-\-т вместо 2т) отлича- ется от аналогичной нерелятивистской формулы (для функции %). Поэтому нет необходимости повторять все дальнейшие вы- числения, и мы сразу приведем окончательную формулу, спра- ведливую вблизи точки ? = ?о (^о ~~уровень энергии): /, C5.11) е — so у т + s где Aq — коэффициент в асимптотическом выражении C5.9).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в центрально-симметричном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
