Мы видели (см. § 21), что в нерелятивистском пределе (v —>• —>> 0) две компоненты (%) биспинора Ф = [ у ) обращаются в нуль. Поэтому при малых скоростях электрона х ^ <Р- Это да- ет возможность получить приближенное уравнение, содержащее только двухкомпонентную величину <р, путем формального раз- ложения волновой функции по степеням 1/с. Исходим из уравнения Дирака для электрона во внешнем по- ле в виде if№- = {cot (р - -А) + /W + еф} ф. C3.1) В релятивистской энергии частицы содержится также и ее энер- гия покоя тс2. Для перехода к нерелятивистскому приближению она должна быть исключена, для чего вместо ф вводим функцию ф1 согласно ф = ф'е-1тсН1п. Тогда (гП— + тсЛ ф' = [col (р - -А) + рте2 + еф} ф'. Представив ф1 в виде ф1 = ( / ), получим систему уравнений: V X ) (i«| - еф) <р' = са{р- е-А) х\ C3.2) (iHlL - еФ + 2тс2) Х' = са (р - -A] if' C3.3) \ dt J \ с / (ниже будем опускать штрихи у (р и %, что не вызовет недоразу- мений, так как в этом параграфе мы пользуемся только преоб- разованной функцией ф1). В первом приближении в левой стороне уравнения C3.3) ос- тавляем лишь член 2тс2х и получаем х = J-<7 (р - е-А) ^р C3.4) 2тс \ с / (отметим, что х ~ v/c). Подстановка этого выражения в C3.2) дает Для матриц Паули справедливо соотношение (ста)(сгЬ) = ab + гсг[аЬ], C3.5) ) В этом параграфе пользуемся обычной системой единиц. § 33 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ 1/с 149 где a, b — произвольные векторы (см. B0.9)). В данном случае а = Ь = р — ^А, но векторное произведение [ab] не обращается в нуль в силу некоммутативности р и А: [(р - -А) (р - -А)] (р = г —{[AV] + [VA]}<p = i— rot A • ip. Таким образом, (а (р - -А)J = (р- -AY - -сгН C3.6) V V с / / \ с / с (где Н = rot А — магнитное поле), и для (р получается уравнение Иг^ = Н(р=\—(р--А) +еФ-—аЩ(р. C3.7) dt [2т V с J 2mc Jr V J Это — так называемое уравнение Паули. Оно отличается от нерелятивистского уравнения Шредингера наличием в гамильто- ниане последнего члена, который имеет вид потенциальной энер- гии магнитного диполя во внешнем поле (ср. III, § 111). Таким образом, в первом (по 1/с) приближении электрон ведет себя как частица, обладающая наряду с зарядом также и магнитным мо- ментом: /х = —Hs. C3.8) тс При этом гиромагнитное отношение (е/тс) двое больше, чем это было бы для магнитного момента, связанного с орбитальным движением . Плотность р = ф*ф = ^*^ + Х*Х- В первом приближении вто- рой член должен быть отброшен, так что р = |(^|2, как и должно быть для шредингеровского уравнения. Плотность же тока: j = сф*а.ф = с(ср*сгх + ) Согласно C3.4) подставляем сюда X = г^-о- (-iHV - ^а) <р, X* = ^~ (ifiV - ^а) <р*<г, 2гпс \ с / 2тс \ с / а произведения, содержащие по два множителя сг, преобразуют- ся с помощью формулы C3.5), представленной в виде (сга)сг = а + г [ста], cr(cra) = а + г[асг]. C3.9) 1)Этот замечательный результат был получен Дираком в 1928 г. Двух- компонентная волновая функция, удовлетворяющая уравнению C3.7), была введена Паули A927) еще до открытия Дираком его уравнения. 150 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ В результате получается j = ^(ipVip* - (p*Vtp) - —А(р*ср + — Tot((p*a(p), C3.10) 2т тс 2m в согласии с выражением A15.4) (см. III) из нерелятивистской теории. Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение до членов ~ 1/с2 . Будем предполагать при этом, что имеется только электрическое внешнее поле (А = 0). Прежде всего замечаем, что с учетом членов ~ 1/с2 плот- ность Это выражение отличается от шредингеровского. Имея в виду найти (во втором приближении) волновое уравнение, аналогич- ное уравнению Шредингера, мы должны ввести вместо (р другую (двухкомпонентную) функцию ^Шр5 Для которой сохраняющий- ся во времени интеграл имел бы вид J |^шр|2 d3x, как это должно быть для уравнения Шредингера. Для нахождения требуемого преобразования пишем условие = j {^v + -? и производим интегрирование по частям: f(V<p* -a)(crVip)d3x = - I\p*(crV (или то же с переставленными ip и ip*). Таким образом, J\р*шр<ршрё3х = j {^V - J^(ip*Aip + <^Д<Л} d3x, откуда видно, что feb (fe)^- (ЗЗЛ1) Для упрощения записи будем считать, что состояние стаци- онарно, т. е. заменим оператор iHd/dt энергией е (с вычтенной энергией покоя). В следующем (после C3.4)) приближении име- ем из C3.3): 1 Л г-еФ X = — ( 1 - -—~ 2тс \ 2тс2 Это выражение надо подставить в C3.2), после чего заменить ср на <рШр? согласно C3.11), опуская все время члены более вы- сокого порядка, чем 1/с2. После простого вычисления получим 1)Ниже следуем методу В. Б. Берестецкого и Л. Д. Ландау A949). § 34 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ 1/с 151 уравнение для (ршр в виде ?(ршр = Н(ршр, где гамильтониан Я = |1 + еФ--Р^ + -^ {(<тр)Ф(стр) - 1(Р2Ф + Фр2)} . 2m 8m3c2 4m2c2 I 2 J Выражение в фигурных скобках преобразуется с помощью формул (сгр)Ф(сгр) = Фр2 + (сгрФ)(сгр) = Фр2 + i/i(crE)(crp), р2Ф - Фр2 = -П2АФ где Е = —УФ —электрическое поле. Окончательное выражение для гамильтониана: Я = И + еФ - -?— - -^<т[Ер] - -^— div E. C3.12) 2m 8m3c2 4m2c2 L J 8m2c2 v J Последние три члена — искомые поправки порядка 1/с2. Пер- вый из них — следствие релятивистской зависимости кинетиче- ской энергии от импульса (разложение разности сл/р2 + т2с2 — — тс2). Второй член, который может быть назван энергией спин- орбитального взаимодействия, — энергия взаимодействия дви- жущегося магнитного момента с электрическим полем х) . По- следний же член отличен от нуля только в тех точках, где нахо- дятся заряды, создающие внешнее поле; так, для кулонова поля точечного заряда Ze\ АФ = —47rZe5® (С. G. Darwin, 1928). Если электрическое поле центрально-симметрично, то г аг и оператор спин-орбитального взаимодействия можно предста- вить в виде 4m2c2r dr 2m2c2r dr Здесь 1 — оператор орбитального момента, 1з = 1/20* — опера- тор спина электрона, U = еФ — потенциальная энергия электро- на в поле. Введя магнитный момент C3.8) и скорость v = p/m, получим эту энер- гию в виде — ^/x[Ev]. На первый взгляд этот результат может показаться неестественным, так как при переходе в систему отсчета, движущуюся вме- сте с частицей, возникает магнитное поле Н = ^[Ev], в котором магнитный момент должен был бы иметь энергию —/хН. В действительности появле- ние множителя Уг («томасовская половинка», L. Thomas, 1926) связано с общими требованиями релятивистской инвариантности в сочетании со спе- цифическими свойствами электрона как «спинорной» частицы с присущим ей значением гиромагнитного отношения (см. § 41).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Разложение по степеням 1/с 1)» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 