Состояние свободной частицы с определенными значениями импульса и энергии описывается плоской волной, которую пред- ставим в виде фр = ^=?Ще-грх. B3.1) Индекс р указывает значение 4-импульса; амплитуда волны ир — определенным образом нормированный биспинор. При дальнейшем проведении вторичного квантования нам понадобятся, наряду с волновыми функциями B3.1), также и функции с «отрицательной частотой», возникающие в реляти- вистской теории, как было объяснено в § 11, в связи с двузнач- ностью корня =Ь у р2 + т2. Как и в § 11, мы будем везде понимать под е положительную величину е = +л/р2+ш2, так что «отри- цательная частота» есть —е\ изменив также знак р, мы получим функцию, которую естественно обозначить как ф-р: ^-Регрх. B3.2) Смысл этих функций выяснится в § 26. Ниже мы будем парал- лельно выписывать формулы для фр и ф-р. Компоненты биспинорных амплитуд ир и и-р удовлетворяют системам алгебраических уравнений (jp — т)ир = 0, (jp + m)u-p = 0, B3.3) получающимся подстановкой B3.1), B3.2) в уравнение Дирака 108 ФЕРМИОНЫ (что сводится к замене в последнем оператора р на ±р) г) . Со- отношение р2 = т2 является при этом условием совместности каждой из этих систем. Мы будем всегда нормировать биспи- норные амплитуды инвариантными условиями прир = 2m, u_pU-p = — 2m B3.4) (черта над буквой обозначает, как везде, дираковское сопряже- ние: п = г?*7°). Умножив уравнения B3.3) слева на п±р, получим (u±pju±p)p = 2m2 = 2р2, откуда видно, что upjUp = п-pju-p = 2р B3.5) Отметим, что переход от формул для ир к формулам для и-р производится путем изменения знака га. 4-вектор плотности тока: 3 = Ф±р1Ф±Р = — u±pju±p = 2, B3.6) ZS S т. е. j*1 = (l,v), где v = р/е — скорость частицы. Отсюда видно, что функции фр нормированы «на одну частицу в объеме V = 1». В силу уравнений B3.3) компоненты амплитуды волны связа- ны друг с другом некоторыми соотношениями, конкретный вид которых зависит, конечно, от выбора представления ф. Найдем их для стандартного представления. Из уравнений B1.19) имеем для плоской волны (е - т)(р - pax = 0, (е + т)х - рспр = 0. B3.7) Из этих равенств находим соотношение между (р и х в ДВУХ эк~ Бивалентных видах: <Р = ^-Х, Х = -^-^> B3-8) е — т е + т (эквивалентность этих формул очевидна: умножая первую из них слева на рсг/(е + га) и учитывая, что (perJ = р2 и е2 — — гп? = р2, получаем вторую). Общий же множитель в (р и х выбираем таким образом, чтобы удовлетворить условию норми- ровки B3.4). В результате получим для ир (и аналогично для U-p) следующие выражения: B3.9) х) Отметим также аналогичные системы, получающиеся из уравнения Ди- рака B1.9) для комплексно-сопряженной функции: upi'yp — т) = 0, п-р{^р + т) = 0. B3.3а) § 23 ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ 109 (вторая формула получается из первой изменением знака перед т и переобозначением w —>> (na)wf). Здесь п —орт вектора р, dbW — произвольная двухкомпонентная величина, удовлетворяю- щая лишь условию нормировки w*w = 1. B3.10) Для п = u*j° G0 из B1.20)) имеем пр = {у/е + т w*, —yje — т w*(na)), , B3.11) (ncr),-V? + m w ) и перемножением убеждаемся, что действительно п±ри±р= =Ь2га. В системе покоя, т. е. при е = га, имеем B3.12) т. е. и? представляет собой тот 3-спинор, к которому сводятся в нерелятивистском пределе амплитуды каждой из волн. Отметим, что в биспиноре и-р обращаются в нуль в системе покоя пер- вые, а не вторые две компоненты. Это свойство решений уравне- ния Дирака с «отрицательными частотами» очевидно: положив в B3.7) р = 0 и заменив е на —га, получим if = О Х) . Амплитуда плоской волны содержит одну произвольную двух- компонентную величину. Другими словами, при заданном им- пульсе существует два различных независимых состояния в соот- ветствии с двумя возможными значениями проекции спина. При этом, однако, проекция спина на произвольную ось z не может иметь определенного значения. Это видно из того, что гамиль- тониан частицы с определенным р (т. е. матрица Н = ар + /Зга) не коммутативен с матрицей T,z = — гахау. В соответствии со сделанными в § 16 общими утверждениями сохраняется, однако, спиральность А — проекция спина на направление р: гамильто- ниан коммутативен с матрицей nS. Спиральным состояниям отвечают плоские волны, в которых трехмерный спинор w = w^(n)—собственная функция опера- тора пег: B3.13) Явный вид этих спиноров: w sin| (А=1/2)_ е -/ cos 2 (A=-i/2)_ - I /2 f J ™ " 1)~B спинорном же представлении имеем ? = — г\ вместо соотношения ? = т/, справедливого в системе покоя для решений с «положительными частота- 110 ФЕРМИОНЫ где в и ср — полярный угол и азимут направления п относительно фиксированных осей xyz г) . Другой возможный выбор двух независимых состояний сво- бодной частицы с заданным р (более простой, хотя и менее на- глядный) отвечает двум значениям ^-проекции спина в системе покоя; обозначим ее а. Соответствующие спиноры: = (?), wi°=-w = E). B3.15) В качестве же двух линейно независимых решений с «отрица- тельной частотой» мы выберем плоские волны, в которых трех- мерные спиноры w{a)' = -ayw{~a) = 2aiw{a) B3.16) (смысл такого выбора выяснится в § 26). Можно найти такое представление плоской волны, в котором в любой системе отсчета (а не только в системе покоя) она име- ет всего две компоненты, отвечающие определенным значениям той же физической характеристики — проекции спина в системе покоя (L. Foldy, S. A. Wouthuysen, 1950). Отправляясь от амплитуды ир в стандартном представлении B3.9), ищем унитарное преобразование к такому представлению в виде и'р = Uup, U = ew^n, где W — вещественная величина; поскольку 7+ = — 7> ПРИ этом автоматически [7+= U~1. Разлагая в ряд и учитывая, что (^пJ = = — 1, представим U в виде JJ = cos W + 7n sin W (ср. переход от A8.13) к A8.14)). Из условия, чтобы в преобразо- ванной амплитуде и'р вторые две компоненты обратились в нуль, найдем т + г так что Gп)|р| ^ т) В новом представлении ' V^() B3.17) Решение уравнений B3.13) допускает умножение на произвольный фа- зовый множитель, что связано с возможностью произвольного поворота во- круг направления п. § 24 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 111 Гамильтониан частицы в этом представлении принимает вид Н' = f/(ap + Cm)U-1 = /Зе B3.18) (все матрицы /3, а, 7 стандартного представления). Этот гамиль- тониан коммутативен с матрицей которая в новом представлении является оператором сохраняю- щейся величины — спина в системе покоя.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Плоские волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Решение уравнений B3.13) допускает умножение на произвольный фа- 