Волновое уравнение для частиц с высшими целыми спинами
Поскольку волновые уравнения A4.3, 14.4) следуют непосред- ственно из задания массы и спина частицы, практическое ис- пользование лагранжиана сводится не столько к выводу этих уравнений, сколько к построению выражений для энергии, им- пульса и заряда поля. Для этой цели, как уже отмечалось, можно пользоваться вме- сто A4.5) выражением A4.7), а последнее можно преобразовать еще дальше. Использовав A4.1), переписываем A4.7) в виде В силу A4.3) последний член обращается в нуль, а предпослед- ний есть полная производная. Опустив ее, получим лагранжиан L' = - {д„ф1) (д»ф») + т2ф;ф». A5.1) Он имеет ту же структуру, что и лагранжиан A0.9) частицы со спином 0, отличаясь лишь заменой скаляра ф на 4-вектор ф^ и общим знаком. Последнее связано с тем, что ф^ — простран- ственноподобный вектор, так что ф^ф^* < 0, в то время как для скалярной частицы фф* > 0. Если построить 4-тензор энергии-импульса и 4-вектор тока с помощью лагранжиана A5.1), то мы получим выражения того же вида, что и выражения A0.12) и A0.18) для скалярного поля: A5.2) A5.3) Их отличие от A4.8) и A4.10) тоже сводится к полным произ- водным. Но локальные значения этих величин не имеют (как § 15 ЧАСТИЦЫ С ВЫСШИМИ ЦЕЛЫМИ СПИНАМИ 75 уже подчеркивалось ранее) глубокого физического смысла. Су- щественны лишь объемные интегралы Р^ A0.15) и Q A0.19), которые будут совпадать при обоих выборах Т^ и j^. Такой способ описания непосредственно обобщается на части- цы с произвольным (целым) спином. Волновая функция части- цы со спином s есть неприводимый 4-тензор ранга s, т. е. тензор, симметричный по всем своим индексам и обращающийся в нуль при упрощении по любой паре индексов: Ф..Ф...и... = Ф...и..Ф..., Ф...»./... = 0. A5.4) Этот тензор должен удовлетворять дополнительному условию 4-поперечности: Р»Ф...»... = 0, A5.5) а каждая из его компонент — уравнению второго порядка: (р2 -т2)ф„, = 0. A5.6) В системе покоя условие A5.5) приводит к обращению в нуль всех компонент 4-тензора, среди индексов которых есть 0. Дру- гими словами, волновая функция в системе покоя (т. е. в нере- лятивистском пределе) сводится, как и следовало, к неприводи- мому 3-тензору ранга s, число независимых компонент которого равно 2s + 1. Лагранжиан, тензор энергии-импульса и вектор тока для по- ля частиц со спином s отличаются от A5.1)—A5.3) лишь заменой Ф\ на W..- Нормированная плоская волна: ^^-е-^\ ^„...^"- = -1, A5.7) причем амплитуда волны удовлетворяет условиям и-^-Р/1 = 0. A5.8) Имеется 2s + 1 независимых состояний поляризации. Квантование поля производится очевидным обобщением слу- чаев спина 0 или 1. Изложенная схема вполне достаточна для поставленной це- ли— описания поля свободных частиц. Иное дело, если ставить задачу об описании взаимодействия частиц с электромагнитным полем. Это взаимодействие должно было бы вводиться в ла- гранжиан, из которого все уравнения могли бы быть получе- ны без необходимости постановки дополнительных условий. Од- нако фактически оказывается, что такое описание взаимодей- ствия применимо только для электронов — частиц со спином 1/2 (см. § 32). Поэтому для других спинов эта задача могла бы иметь лишь методический интерес. 76 БОЗОНЫ ГЛ. II Отметим, что для всех (целых и полуцелых) спинов s > 1 ока- зывается невозможным сформулировать вариационный принцип с помощью одной только функции (тензорной или спинорной), ранг которой соответствует данному спину. Для этой цели ока- зывается необходимым ввести в качестве вспомогательных так- же тензорные или спинорные величины более низкого ранга. При этом лагранжиан подбирается таким образом, чтобы эти вспомо- гательные величины автоматически обращались в нуль в силу следующих из вариационного принципа уравнений поля свобод- ных частиц .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновое уравнение для частиц с высшими целыми спинами» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 