Соотношения неопределенности в релятивистской области
Изложенная в т. III этого курса квантовая теория имеет су- щественно нерелятивистский характер и неприменима к явлени- ям, сопровождающимся движением со скоростями, не малыми по сравнению со скоростью света. На первый взгляд можно бы- ло бы ожидать, что переход к релятивистской теории возможен путем более или менее непосредственного обобщения аппарата нерелятивистской квантовой механики. Внимательное рассмо- трение, однако, показывает, что построение логически замкнутой релятивистской теории требует привлечения новых физических принципов. Напомним некоторые физические представления, лежащие в основе нерелятивистской квантовой механики (III, § 1). Мы виде- ли, что фундаментальную роль в ней играет понятие измерения, под которым понимается процесс взаимодействия квантовой си- стемы с «классическим объектом» («прибором»), в результате которого квантовая система приобретает определенные значения тех или иных динамических переменных (координат, скоростей и т. п.). Мы видели также, что квантовая механика сильно ограни- чивает возможность одновременного существования у электро- на различных динамических переменных. Так, неопределен- ности Aq и Ар, с которыми могут одновременно существовать координата и импульс, связаны соотношением AqAp ~ H 2) ; с чем большей точностью измерена одна из этих величин, с тем меньшей точностью может быть одновременно измерена другая. Существенно, однако, что каждая из динамических перемен- ных электрона в отдельности могла быть измерена со сколь угод- но большой точностью, причем в течение сколь угодно короткого промежутка времени. Это обстоятельство играет фундаменталь- г) Как и в т. III, § 1, мы говорим для краткости об электроне, имея в виду любую квантовую систему. 2) В этом параграфе пользуемся обычными единицами. 16 ВВЕДЕНИЕ ную роль для всей нерелятивистской квантовой механики. Толь- ко благодаря ему можно ввести понятие о волновой функции, основное в аппарате этой теории. Действительно, физический смысл волновой функций ф{д) заключается в том, что квадрат ее модуля определяет вероятность получения, в результате произ- веденного в данный момент времени измерения, того или иного значения координаты электрона. Ясно, что необходимой пред- посылкой для введения понятия о такой вероятности является принципиальная возможность осуществления сколь угодно точ- ного и быстрого измерения координаты; в противном случае это понятие стало бы беспредметным и потеряло бы свой физиче- ский смысл. Существование предельной скорости (скорости света с) приводит к новым принципиальным ограничениям возможно- стей измерения различных физических величин (Л. Д. Ландау, R. Peierls, 1930). В т. III, § 44 было получено соотношение (v' -v)ApAt~H, A.1) связывающее неопределенность Ар измерения импульса элек- трона с продолжительностью At самого процесса измерения; v и vf — скорости электрона до и после измерения. Из этого со- отношения следует, что добиться достаточно точного измерения импульса в течение достаточно короткого времени (т. е. мало- го Ар при малом At) можно лишь ценой достаточно большо- го изменения скорости в результате самого процесса измерения. В нерелятивистской теории это обстоятельство есть проявление неповторимости измерения импульса через короткие промежут- ки времени, но ни в коей мере не затрагивает принципиальной возможности сколь угодно точного однократного измерения им- пульса, поскольку разность vf—v может быть сделана сколь угод- но большой. Наличие же предельной скорости меняет положение вещей коренным образом. Разность vf — г>, как и самые скорости, не может теперь превышать с (точнее, 2с). Заменив в A.1) г>7 — г> на с, мы получим соотношение H/c, A.2) определяющее наилучшую принципиально достижимую точ- ность измерения импульса при данной продолжительности изме- рения At. Таким образом, в релятивистской теории оказывает- ся принципиально невозможным сколь угодно точное и быстрое измерение импульса. Точное измерение импульса (Ар —>• 0) воз- можно лишь в пределе бесконечно большой продолжительности измерения. Есть основания считать, что претерпевает изменения также и вопрос об измеримости координаты электрона самой по себе. В § 1 СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 17 математическом формализме теории это проявляется в несовме- стимости точного измерения координаты с утверждением о поло- жительности энергии свободной частицы. Мы увидим в дальней- шем, что полная система собственных функций релятивистского волнового уравнения свободной частицы включает в себя (наря- ду с решениями с «правильной» зависимостью от времени) так- же решения с «отрицательной частотой». Эти функции войдут, в общем случае, и в разложение волнового пакета, отвечающего электрону, локализованному в небольшом участке пространства. Волновые функции «отрицательной частоты» связаны, как будет показано, с существованием античастиц - позитронов. По- явление этих функций в разложении волнового пакета выра- жает собой неизбежное в общем случае образование электрон- позитронных пар в процессе измерения координат электрона. Неконтролируемое самим процессом возникновение новых ча- стиц лишает смысла измерения координат электрона. В системе покоя электрона минимальная погрешность изме- рения его координат Aq ~ П/тс. A.3) Этому значению (единственно допустимому уже из соображе- ний размерности) отвечает неопределенность импульса Ар ~ тс, которая, в свою очередь, соответствует минимальной пороговой энергии образования пары. В системе отсчета, в которой электрон движется с энергией 6, вместо A.3) имеем Aq~ch/e. A.4) В частности, в предельном ультрарелятивистском случае энер- гия связана с импульсом соотношением е « ср, и тогда Aq~H/p, A.5) т. е. погрешность Aq совпадает с дебройлевской длиной волны частицы г) . Для фотонов всегда имеет место ультрарелятивистский слу- чай, так что справедливо выражение A.5). Это значит, что о координатах фотона имеет смысл говорить только в тех случа- ях, когда характерные размеры велики по сравнению с длиной волны. Но это есть не что иное, как «классический» предель- ный случай, соответствующий геометрической оптике, в которой ) Речь идет об измерениях, для которых из любого результата опыта мож- но сделать заключение о состоянии электрона, т. е. мы отвлекаемся от из- мерений координат с помощью столкновений, когда за время наблюдения результат осуществляется не с вероятностью 1. Хотя из факта отклонения частицы в таком случае можно сделать заключение о местоположении элек- трона, из отсутствия отклонения вообще нельзя сделать никаких выводов. 18 ВВЕДЕНИЕ можно говорить о распространении света вдоль определенных траекторий — лучей. В квантовом же случае, когда длина волны не может рассматриваться как малая, понятие координат фотона становится беспредметным. Мы увидим в дальнейшем (см. § 4), что в математическом формализме теории неизмеримость коор- динат фотона проявляется уже в невозможности составить из его волновой функции величину, которая могла бы играть роль плотности вероятности, удовлетворяющей необходимым требо- ваниям релятивистской инвариантности. На основании всего сказанного естественно думать, что буду- щая теория вообще откажется от рассмотрения временного хода процессов взаимодействия частиц. Она покажет, что в этих про- цессах не существует точно определяемых характеристик (да- лее в пределах обычной квантовомеханической точности), так что описание процесса во времени окажется столь же иллюзор- ным, какими оказались классические траектории в нереляти- вистской квантовой механике. Единственными наблюдаемыми величинами будут являться характеристики (импульсы, поля- ризации) свободных частиц - начальных частиц, вступающих во взаимодействие, и конечных частиц, возникших в результа- те процесса {Л. Д. Ландау, R. Peierls, 1930). Характерная постановка вопроса в релятивистской кванто- вой теории состоит в определении амплитуд вероятности пере- ходов, связывающих заданные начальные и конечные (т. е. при t —>• Т00) состояния системы частиц. Совокупность амплитуд пе- реходов между всеми возможными состояниями составляет ма- трицу рассеяния, или S-матрицу. Эта матрица будет носителем всей информации о процессах взаимодействия частиц, имеющей наблюдаемый физический смысл (W. Heisenberg, 1938). В настоящее время полной, логически замкнутой релятивист- ской квантовой теории еще нет. Мы увидим, что существующая теория вносит новые физические аспекты в характер описания состояния частиц, приобретающего некоторые черты теории по- ля (см. § 10). Она строится, однако, в значительной мере по об- разцу и с помощью понятий обычной квантовой механики. Такое построение теории привело к успеху в области квантовой элек- тродинамики. Отсутствие полной логической замкнутости в этой теории проявляется в существовании расходящихся выражений при прямом применении ее математического аппарата, но для устранения этих расходимостей существуют вполне однозначные способы. Тем не менее эти способы в значительной степени сохра- няют характер полуэмпирических рецептов, и наша уверенность в правильности получающихся таким путем результатов основа- на в конечном счете на их прекрасном согласии с опытом, а не на внутренней согласованности и логической стройности основных принципов теории.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Соотношения неопределенности в релятивистской области» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
различных динамических переменных. Так, неопределен- 