Столкновение двух частиц называют упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Соответ- ственно этому при применении к такому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц. Проще всего столкновение выглядит в системе отсчета, в ко- торой центр инерции обеих частиц покоится (д-система); будем отличать, как и в предыдущем параграфе, индексом 0 значе- ния величин в этой системе. Скорости частиц до столкновения в § 17 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ 63 д-системе связаны с их скоростями vi и V2 в лабораторной си- стеме соотношениями 1712 ТП\ V10 = : V, V20 = ; V, 7711+7712 7711+7712 где v = vi — V2 (см. A3.2)). В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противо- положными по направлению, а в силу закона сохранения энер- гии остаются неизменными и их абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в д-системе к поворо- ту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противополож- ными и неизменными по величине. Если обозначить через по единичный вектор в направлении скорости частицы rai после столкновения, то скорости обеих частиц после столкновения (от- личаем их штрихом) будут / 772-2 1 ТПл /1 гч л \ v10 = гто, v2n = — г>пп. A7.1) 1и ггц + m2 U mi+m2 v } Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость V центра инерции. Та- ким образом, для скоростей частиц в л-системе после столкно- вения получаем 1 1712 , TTli Vi + 7712 V2 vl — : ^n0 + ; , 7711+7712 7711+7712 (~\ 7 9) I ТП\ . 7711 Vl + 7712 V2 ' v2 = ¦ г>п0 + ¦ . 7711 + ТП2 7711 + ТП2 Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних только законов сохранения им- пульса и энергии. Что касается направления вектора по, то он зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного рас- положения во время столкновения. Полученные результаты можно интерпретировать геометри- чески. При этом удобнее перейти от скоростей к импульсам. Умножив равенства A7.2) соответственно на rai и Ш2, получим pi = mviiQ + —^—(pi + р2), 771i + ТП2 ( \ (га = raira2/(rai +ГП2) — приведенная масса). Построим окруж- ность с радиусом mv и произведем указанное на рис. 15 построе- 64 СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ ГЛ. IV ние. Если единичный вектор по направлен вдоль ОС, то векторы АС и С В дают соответственно импульсы р[ и р^. При заданных Pi и Р2 радиус окружности и положение точек Ал В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности. Рассмотрим подробнее случай, когда одна из частиц (пусть это будет частица гаг) до столкновения покоилась. В этом случае длина ОВ = + 1712 pi = mv совпадает с радиусом, т.е. точка В лежит на окружности. Вектор же АВ совпадает с импульсом pi первой частицы до рассеяния. При этом точка А лежит внутри (если TTii < ТП2) или вне (если rai > 7712) окружности. Соответ- ствующие диаграммы изображены на рис. 16 а и б. Указанные на них углы 6i и 62 представляют собой углы отклонения частиц mi > m2 АО/OB = mi/m2 + 7712 Рис. 15 Рис. 16 после столкновения по отношению к направлению удара (на- правлению pi). Центральный же угол, обозначенный на рисун- ках через х (дающий направление по), представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунка очевидно, что углы 6i и 02 могут быть выражены через угол х формулами tg 6i = ГП2 A7.4) + 1712 COS X 2 Выпишем также формулы, определяющие абсолютные величи- ны скоростей обеих частиц после столкновения через тот же угол х- cosx mi + 1TI2 sin-. Ш1 + 7712 2 A7.5) § 17 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ 65 Сумма 61 + 62 есть угол разлета частиц после столкновения. Очевидно, что 6i + 62 > 7t/2 при rai < 7712 и 61 + 62 < 7t/2 при 7711 > ГП2. Случаю, когда обе частицы после столкновения движутся по одной прямой («лобовой удар»), соответствует х — тг? т-е- положение точки С на диаметре слева от точки А (рис. ?? а; при этом р[ и Р2 взаимно противоположны) или между А л О (на рис. ?? 5; при этом р^ и р^ направлены в одну сторону). Скорости частиц после столкновения в этом случае равны I 1711—1712 I 2ТП\ /1^_^ч Vi = — v, Vo = —v. A7.6) mi + m2 mi + m2 Значение v^ при этом — наибольшее возможное; максимальная энергия, которую может получить в результате столкновения первоначально покоившаяся частица, равна, следовательно, = (Ш1+Ш2J A7.7) ^^ где Е\ = —^—^ — первоначальная энергия налетающей частицы. При TTii < ТП2 скорость первой частицы после столкновения мож:ет иметь любое направление. Если же TTii > Ш21 угол отклонения летящей частицы не может превышать некото- рого максимального значения, соответ- ствующего такому положению точки С (рис. ??б"), при котором прямая АС касается окружности. Очевидно, что sin6imax = ОС/О А, или = !!*.. A7.8) Ш1 Рис. 17 Особенно просто выглядит столк- новение частиц (из которых одна первоначально покоится) с одинаковыми массами. В этом случае не только точка В, но и точка А лежат на окружности (рис. 17). При этом ei = * е2 = ^, A7.9) |, ^ = t;sin|. A7.10) Отметим, что частицы разлетаются после столкновения под пря- мым углом друг к другу.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Упругие столкновения частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
