Как следует из рассмотрения адиабатической инвариантности в большом (см. раздел 2.1), магнитный момент М частицы в однородном магнитном поле В является точной константой движения только в пределе бесконечно медленного изменения магнитного поля. Определим, как велико отклонение магнитного момента частицы от постоянной величины в том случае, когда изменение магнитного поля В происходит за конечный промежуток времени. Для этого воспользуемся методом, 128 который развит в работе [621. Введем новую переменную у\ при помощи следующего соотношения: t=exp[t f^-^d/x]. D.85) Тогда уравнение D.70) примет вид 1— 2/й + ^.-.-?-A-0?)-О D.86) dti zu3 atx dyi о;. _l 1. А ИЛИ У1-2туг + 4- — A -У?) - 0, D.87) если ввести dt[ = a)dt согласно выражению D.69), а точкой сверху обозначить производную по времени t. Теперь предположим, что магнитное поле остается постоянным в течение начального интервала —оо<;/^^о и конечного интервала времени //</<оо. Оно изменяется только в интервале t0<.t<.tf. В дальнейшем ограничимся малым значением величины у\ по сравнению с единицей. Это предположение достаточно разумно* так как решением уравнения D.70) в однородном и постоянном магнитном поле служит ? = const-exp(±#i), а при медленном изменении магнитного поля выражение D.85) должно лишь ненамного отклоняться от этого решения. Пренебрегая членом у\, получим общее решение уравнения D.87) yi(t) = -P(t0y Оехр BiLdt'\ yi(t0) = 0, D.88) to р('о.0 = y((т) ехр( ~2i f@dr ]dt'm D'89) U \ U J Из уравнений B.139), D.85), D.88), D.89) при помощи полученного решения можно вычислить величину ? при у]<^1. Опустим все детали вычислений, которые приведены в оригинальной работе [62]. Усредняя по всем возможным фазам начального состояния, которое определяется величиной ?i(#-> — оо), можно получить А=1+[1 + с?1 |Р(-оо, + оо)|* D.90) 5 Б Ленерт 129 для перехода из начального в конечное состояние. В работе [63] вычислено точное значение величины с{ из формула D.90). При этом оказалось, что Ci~l. Нетрудно показать, что интеграл Р(—оо, +оо) — трансформанта Фурье некоторой функции. Для этого введем вместо t\ новую переменную Ti = efi и исследуем, как и в разделе 2.1, случай медленно меняющегося (е мало) магнитного поля. Предположим также, что о)(/) меняется от постоянного значения со0 до другого постоянного значения <о/, как это показано на рис. 4.8. Тогда из определения D.89) следует ы, (Of- —I—"ч- —1 i 1 1—»- Рис. 4.8. Изменение величины со во времени. Р(е)^Р(-оо, +оо)=^- j/(Wl)exp(^I-)da1,-:D.91) где L d(el) I J/(Ul) D.92) Ul = f ш (e/') d Ы'), -^- — ш > 0. D.93) Пользуясь только выражением D.91) y трудно решить, чему будет равно Р(е) в пределе е-+0. Теперь дополнительно предположим, что функция f{u\ + iv\) аналитическая и интегрируемая в полосе |fli|<ltJim комплексной плоскости U\V\. Произведем преобразование и\ = = и[—tem, где 0<em<^im, причем ет—постоянная величина. Это означает, что путь интегрирования в интеграле D.91) смещается с линии v{ = 0 на линию Vi = em. 130 10' Так как функция / интегрируема в этой области, получаем i р(о i =4-ехр(-т-)|Т/(«;-^)"р(-^)^ <^макСе>р(~-^), D.94) где 2/\Макс — верхний предел интеграла D.91). Если бы мы выбрали ew<0, то получили бы неравенство, аналогичное неравенству D.94), в правой части Л-7Г которого находится член, А расходящийся в пределе е->0. Однако из такого неравенства нельзя сделать никакого вывода относительно величины Ю'2[ \Р(г)\, хотя оно и не противоречит неравенст- т-з\ ву D.94) при ет>0. Из ш х неравенства D.94) следует, что величина |Я(е)| стремится к нулю при е-^0, по крайней мере, так же быстро, как ехр(—ет/е). Величина е/ет — отношение циклотронного периода К характерному Рис. 4.9. Зависимость величины Времени изменения маг- А—1, характеризующей отклоне- НИТНОГО ПОЛЯ. Поэтому ние от адиабатической инвариант- из соотношений (А 90 ^ и настп' от относительной скоро- "* соотношении * ' сти изменения магнитного поля D.94) следует, что от- е/Шо: клонение от адиабатиче- / — данные вычислены для медленных ГКОЙ инияпиянтнпр'гм ртя. изменений (см. раздел 2 3>; 2 - для LKUH ИНВариаНТНОСТИ СТа- быстрых изменений (см. раздел 2 2); НОВИТСЯ ОЧеНЬ МаЛЫМ, еС- 3~с помошью численного интегриро- ' вания точного уравнения движения. ли это отношение много больше единицы. В работе [62] произведены подробные вычисления для частного случая, когда постоянная сх в формуле D.90) равна нулю, а D.95) 10 г* 10 г5 10 гВ / г I 1 ^ -7 К 0,1 1 10 100 1000 е/ш0 »@-у«*13 ИЬ(е/)]. 5* 131 Результаты этих вычислений йриведены на рис. 4.9, где показано изменение величины Л—1, которая характеризует отклонение от адиабатической инвариантности, в зависимости от относительной скорости изменения магнитного поля e/W Ветвь / этой кривой получена в результате вычислений для медленного изменения магнитного поля, а ветвь 2 иллюстрирует результаты вычислений для мгновенного изменения магнитного поля (см. раздел 2.2). Величина Л—1 становится очень малой по сравнению с единицей, когда е<ео. Теория, развитая Чандрасекаром [19], дает более точное решение настоящей задачи. В заключение отметим, что в работе [84] получено решение задачи о колебаниях одномерного осциллятора для более общего случая, когда действующая на частицу возвращающая сила имеет сингулярности *.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Медленно меняющееся магнитное поле» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
