Значительное внимание было уделено предельному для рабо- работы токамака давлению плазмы, связанному с неидеальными МГД неустойчивостями, такими как эффект от магнитных островов, возбуждаемых бутстрэп-током. При высоком полоидальном бета /?р и низкой столкновительности градиент давления плазмы вы- вызывает возникновение бутстрэп-тока (см. разд. 16.8d). С увеличе- увеличением острова давление плазмы в нем стремится выровняться, тем самым устраняется сама причина генерации бутстрэп-тока. Это приводит к появлению винтовой «дыры» в профиле бутстрэп-тока и к дальнейшему росту размеров острова (см. рис. 16.23). Тиринг-неустойчивость рассматривалась в разд. 9.1 в рамках плоской модели. В нулевом приближении магнитное поле Во зависит только от а; и дается выражением Во = Воу(х)еу + BozeZi \Воу(х)\ <С \Bqz\, Bqz = const. Основные уравнения: ж + (V ' V)V) = ~ дф и дф --g = (vxBy - vyBx) - Vjz = (v • V)^ - rjjz, A6.680 VV = W)Jz- A6.69) Поскольку E x В / Ey Ex n\ / \ дф \ дф ~\ ~ B2 \BOz' BOz/ \ BOzdy' BOzdx' /' то можно ввести функцию потока <?, такую что _ dip _ dip х ду1 у dx' Кроме того, вводя ^-компоненту завихренности, wz = (V х v)^, имеем wz = V2ip. Для вращения, описываемого A6.67), 318 Гл. 16. Токамак = (В • V)j2 - (j • V)BZ = (В • V)jz. A6.70) Мы использовали равенства V • В = 0, V • j = 0. Потоковая функция нулевого порядка -00 и первый порядок возмущения i\> суть 2 (ж) = ^о»у. Bo = (O,B'Oyx,BOz), ^i cos %, Bi = (B\x(t)) sin fcy, 0,0), ф = Мх) + Ф(уЛ) = В^у + ^-cosky. A6.71) Здесь х — 0 — положение сингулярного слоя. Координаты сепа- сепаратрисы острова удовлетворяют уравнению а полная ширина острова w равна Возмущение B\x(t) sin%, нарастающее с инкрементом 7> ПРИ" водит к возникновению тока j\z = E\zjr\ — ^B\xjr\k% который создает линейную силу в направлении х, f\x = —j\zBLx, как изображено на рис. 16.21. Эти силы возбуждают течения в ви- виде узких вихрей. Вне резистивного сингулярного слоя наведен- наведенное электрическое поле возбуждает поток vx = -Ez/By = - —"уВ\х cos ky/(kB'ox). Несжимаемость потока (в сильном равно- равновесном поле Bqz) требует сильного его сдвига vy(x) по ширине слоя х ~ #т, что и показано на рис. 16.21 в виде узора из узких вихрей, так что vx/k, vy ~ vx/kxT Чтобы скручивание линейными силами могло возбудить такое сдвиговое течение, преодолев инерцию, необходимо: ВОу - ВОухт, ^ хт - §16.9. Неоклассическая тиринг-мода 319 Рис. 16.21. Структура тиринг-моды в сингулярном слое поскольку j\z = Ezjr\ = jB\x/r)k. Определенная так ширина воз- возмущения равна [47] ХТ= ,,,»Л,/2- A6-73) Vy Это согласуется с результатами (9.26) и (9.27), полученны- полученными в линейной теории тиринг-моды и описанными в разд. 9.1 (вместо хт в разд. 9.1 использовалось обозначение е). Резерфорд [47] показал, что нелиней- нелинейные эффекты сильно замедляют скорость роста моды, так что возмущение нарас- нарастает во времени лишь линейно. Завих- Завихренное течение будет наводить не зави- зависящий от у краевой ток второго поряд- ка Sjlz = -VyBlx/r, ~ 7В1/(ф*В'Оух1). Направленные вдоль у нелинейные силы третьего порядка, 6fy ~ SjzB\x, изобра- изображенные на рис. 16.22, противодействуют вихревому течению (тормозят поток vy). Ограничимся случаем, когда инерцией в уравнении A6.70) можно пренебречь: Рис. 16.22. Нелинейные силы, тормозящие поток vy в тиринг-моде 320 Гл. 16. Токамак Уравнение A6.68') дает дф dip D/ = в Ж A6.68") Мы можем исключить <р из A6.68/;), разделив на х и усреднив по у вдоль постоянной ^fr. Из A6.71) имеем х = D-(ф - ф)) = (-L) фЦ\\? - ooefcyI/2, A6.74) = 30г(Ф) + - -1 A6.75) где 2w/k 0 Для сшивки с внешним решением потребуем разрывности логарифмических производных в месте особенности: А' = V +0 -0 1 д +о -о Воспользуемся тем, что V2/0 = /xojb, д2ф/дх2 Л Va = 2/хо ( cos fcy Г \ jizdx ) / A6.76) *>:= (-5Г- 1/2 dip B'oyJ (Ф~ФI/Г §16.9. Неоклассическая тиринг-мода 321 Подстановка A6.75) в A6.76) дает д'фА = 2— —оо v 1 /О х cos ky I —— ' 9^А COS fc^//^ V'min Поскольку I' cos fcy \ 1 cos ky x ((W-cosky)-{/2) получаем _ С учетом A6.72) изменение во времени ширины острова сводит- сводится к — -——Ч-А'^Ч-А' тъ---А'г тъ = ^ A6 77) Рассмотрим тороидальную плазму, показанную на рис. 16.23. Магнитное поле соответствует Bqv в плоской модели (вблизи радиуса особенно- особенности). Координаты (x,y,z) отвечают радиальному направлению г — rs, полоидальному направлению г в и направлению магнит- магнитного поля на рациональной поверхности в тороидальной плазме ^ 11. МиямотоК. 322 Гл. 16. Токамак Рис. 16.23. Координаты плоской модели и координаты в тороидальной плазме. Координаты (ж, у, z) соответствуют радиальному направлению г - rSi полои- дальному направлению гв и направлению магнитного поля на рациональной поверхности в тороидальной плазме. Стрелки в острове показывают направле- направление магнитного поля Вр — (nr/mR)Bt (см. 16.79)) соответственно (см. рис. 16.23). Потоковая функция выглядит следующим образом: r-rs I A678) а магнитное поле дается выражениями В\х = -— = Bi *»-ж-(йГ±)й«—т** = я^ A679) A6.78') Выражение A6.78) сводится к Изменение бутстрэп-тока Sj\z вызывает изменение потоковой функции бфъ и электрического поля Ez Разрыв логарифмической производной из-за 5j\z будет равен *b = фк дг I $Г = -~- HQ8j\zdr, Фк J § 16.9. Неоклассическая тиринг-мода 323 где YA к " 16 • так что rs+ д/ 16 Вследствие уплощения (выполаживания) профиля давления при образовании острова величина 5j\ дается выражением (см. A6.65)) Это называется винтовой дырой в бутстрэп-токе. Таким образом, разрыв логарифмической производной из-за 5j\z сводится к 8rs р 1/2Lq w BV2 S Тогда изменение ширины острова во времени описывается урав- уравнением ть±™=А'г& + ае1/2(Зр^, а« 8. A6.81) Первое слагаемое в правой части A6.81) — это слагаемое Ре- зерфорда, а второе — дестабилизирующий член из-за наличия бутстрэп-тока. Таково уравнение неоклассической тиринг-моды. Из-за переносов поперек острова имеет место снижение бутстрэп-тока. С учетом этого член с бутстрэп-током модифици- модифицируется: где wc связана с влиянием переносов поперек острова. Эта ве- величина, параметризующая величину вклада х±/х\\ модели [48], описывается соотношением .1/2 /_ \ 1/4 гус = l,8rs и и* 324 Гл. 16. Токамак = 0 Рис. 16.24. Зависимость — от w, за- dt данная A6.81 ). wth — пороговая ши- ширина острова для установления нео- неоклассической ТИрИНГ-МОДЫ, Wsat — ШИ- рина при насыщении Зависимость dw/dt от w, за- заданная A6.810, показана на рис. 16.24. При учете wc су- существует порог wth для уста- установления неоклассической ти- ринг-моды. Когда w стано- становится большим, дестабилизи- дестабилизирующий член с бутстрэп-то- ком ослабевает, и ширина острова насыщается. Неоклас- Неоклассическую тиринг-моду можно контролировать за счет ло- локальной генерации тока на рациональной (сингулярной) поверхности [49].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неоклассическая тиринг-мода» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
