В этом параграфе выполняется второй пункт схемы исследования стационарного состояния частицы. Его задача: исследование решений стационарного уравнения Шрёдингера на их соответствие стандартным условиям (то есть физическому смыслу), и определение в итоге энергетического спектра частицы. Как уже сказано в предыдущем параграфе, для того, чтобы завершить решение стационарного уравнения Шрёдингера, осталось решить радиальное уравнение (7.18). Опуская математические выкладки, приведём здесь лишь конечные результаты. 1) Решение радиального уравнения только в том случае является ограниченным, если входящая в него энергия удовлетворяет следующей формуле квантования: (7.21) В эту формулу входят три квантовых числа. Первое – главное квантовое число n, определяющее энергию электрона и равное номеру энергетического уровня. Второе – орбитальное квантовое число l, определяющее величину орбитального момента импульса электрона. Третье – радиальное квантовое число, смысл которого пояснён чуть позже, а значения его – это целые положительные числа: nr = 0, 1, 2, ... Для заданного энергетического уровня, то есть для заданного главного квантового числа n возможные значения l и nr ограничены. Например, для основного состояния (n = 1) возможны только нулевые значения l и nr. Для первого возбуждённого состояния (n = 1) возможны следующие две комбинации значений l и nr: (l = 1, nr = 0) и (l = 0, nr = 1). 2) Радиальная функция выражается следующей формулой: (7.22) Здесь Lnr® – так называемый полином Лагерра, степень которого равна радиальному квантовому числу nr. Выражения для радиальных функций, описывающих два нижних уровня энергии (n = 1 и n = 2), такие: (7.23) (7.24) (7.25) В этих выражениях: (7.26) b – это так называемая атомная единица длины или боровский радиус, численное значение которого b = 0,0529 нм, ( – расстояние от ядра, измеренное в атомных единицах длины. Радиальные функции нормированы на единицу, то есть (7.27)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квантование энергии водородоподобного атома» з дисципліни «Квантова фізика»
