Большая подвижность частиц в плазме, многообразие различного рода волновых процессов делают все характе- ристики плазменных систем стохастическими величинами. Особенно это касается локальных параметров плазменного объёма. Обычно эти нестабильности называют "шумом", если процесс по макропараметрам идет достаточно регулярно. Если же и макропараметры ведут себя нерегулярно, то обычно говорят о "турбулентности" процесса. До начала 60-х годов считалось, что стохастичными могут быть только системы с большим числом степеней свободы. Например, равновероятность выпадения обеих сторон монеты при бросании есть результат сложной системы вихрей, образующихся 1) Турбулентность — от латинского turbulentus — бурный, беспорядочный. 8.4. О стохастичности процессов в плазме 451 при обтекании летящей монеты. Однако в 60-е годы 0 происходит резкий перелом в общественном мнении. Хотя было несколько событий, приведших к этому, но наиболее впечатляющей была работа Е. Лоренца A963), посвященная модельному описанию тепловой конвекции в кольцевом зазоре между двумя трубами при наличии разности температур между нижней и верхней торцевыми крышками. Используя метод Галеркина, Е. Лоренц свел задачу к системе трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений х = а(у — х)\ у = —у + (Зх — xz\ z = ху — jz. (8.4.1) Здесь x(t) — амплитуда скорости движения жидкости, y(t) — симметричная состав- ляющая температуры, z(t) — несимметричная составляющая температуры, учитыва- ющая разность температур крышек, а — число Прандтля, C = Ra/Rac — приведенное число Релея 2), 7 — параметр, определяющий волновое число возмущения. Система (8.4.1) решается численно. При расчётах обычно полагается а = 10, 7 — 8/3, а переменным является пара- метр C. В зависимости от величины C характер происходящих процессов меняется следующим образом. При /3 < 1 жидкость неподвижна. При 1 < /3 < /% = 13,92 устанавливается циркуляция с постоянной скоростью, направление которой определяется начальными условиями При /3 > /З2 течение становится чувствительным к малым вариациям начальных условий, скорость течения становится нерегулярной, то направленной в одну сторону, то в другую. Так осуществляется переход от устойчивого состояния покоя к "динамическому хаосу", который раньше был бы назван "турбулентностью". Ранее похожее изменение динамики жидкости, налитой тонким слоем на сково- роду и подогреваемую снизу, наблюдал Бенар ("ячейки Бенара" — рис. 8.4.1). Не касаясь глубоких причин такого поведения модели Лоренца и других моделей, отметим только, что в системах с двумя параметрами, а не более, хаотизация решения невозможна 3). Вторым циклом исследований, сыграв- шим важную роль в осознании фундамен- тальной роли динамического хаоса, т. е. ха- оса в системах с малым числом степеней свободы (N > 3) было "наведение науки" на движение частицы в "биллиарде" с кри- выми стенками при условии, что отражение от бортов происходит зеркально (рис. 8.4.2). Здесь большую роль сыграли работы со- а б ветского математика Я. Г. Синая. Но исто- Рис. 8.4.2. Движение шара в биллиардах рически, по-видимому, первыми были ра- с кривыми стенками (а) и между шара- боты Н.С. Крылова A930 годы), который ми (б) 1) Отдельные высказывания о возможной стохастичности систем с малым числом степеней свободы были и раньше, но они не "резонировали" с общим настроением. 2) Число Прандтля: Рг = Срц/к, где ср — теплоёмкость, ц — динамическая вязкость, к — теплопроводность. Это число характеризует отношение тепла, выделяемого за счёт вязкости, к теплу, отводимому теплопроводностью. Для обычного воздуха Рг = 0,7. Число Релея: Ra = gL3f3 АТ/иа, здесь J3 — коэффициент объёмного расширения среды, v — кинематическая вязкость, а — коэффициент температуропроводности, L — масштаб неоднородностей (длина волны), AT — перепад температур. 3) Это связано с появлением в принципиально трёхмерном пространстве параметров (ж, у, z) специфической структуры — "странного аттрактора" (см. [211]). 15* 452 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем Рис. 8.4.1. Упорядоченная структура конвективных ячеек Бенара, возникающая в слое жид- кости при нагревании его снизу (а); схема эксперимента (б); вид экспериментальной установ- ки (в) исследовал необратимость кинетики и под- черкнул стохастичность динамики шаров. А предтечей явно был А. Пуанкаре, изучавший топологию кривых, определяемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Наконец, третий цикл работ был связан с исследованием (автором с сотрудни- ками) магнитных силовых линий вакуумных полей в начале 60-х годов. О возника- ющих здесь структурах уже говорилось в разделе 1.1. Там же отмечалось, что при нарушении симметрии система магнитных поверхностей начинает разрушаться, при- чём наиболее чувствительным к воздействиям оказывается окрестность сепаратрисы и здесь, как уже об этом говорилось, возникает хаос. Отметим интересный факт. Если некий объём до возмущений представлял си- стему магнитных трубок, разделённых сепаратрисами, то при наличии возмущения образующиеся околосепаратрисные слои с хаосом представляют единую систему, и силовая линия из окрестности любого участка "хаотической паутины" рано или поздно (в смысле пройденного пути) попадает в окрестность любой точки паутины. Это явление носит название "диффузии Арнольда" по имени российского математика, установившего этот факт. Итак, мы видим, что уже простейшие дифференциальные уравнения порождают хаос. Ясно, что переход к более сложным моделям будет сопровождаться порожде- нием, как правило, еще более изощренных структур со стохастическими областями. В разделе 6.7 рассматривалась одномерная модель СПД, и там мы видели переход от регулярного течения к хаотическому при изменении только одного параметра — эффективного сопротивления канала. Сказанное позволяет более осмысленно подойти к вопросу о турбулентности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Стохастичность и турбулентность» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
