Физический смысл квантовых чисел. Момент количества движения
Выше мы нашли, что квантовое число/ характе- ризует собственное значение >,= ,'(/+1) оператора -У|)Ф [см. § 11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 157 A1.22) и A1.5!)], входящего в квантовое операторное выраже- ние функции Гамильтона (т. е. в гамильтониан): Н = - -к— 4- V (г) = — ~ - -тгЧг + V (г). A1.69) Сравнивая последний гамильтониан с классической функцией Гамильтона ^^ ? + т (П.70) где pr = tnor, а /- = т0г2ф, мы видим, что оператору (—fi2V|f4,) в классическом случае соответствует квадрат момента количества движения L2, а оператору (— b2wf) квадрат радиального импуль- са р2г Исследуем это соответствие более подробно. Как известно из классической механики, момент количества движения L опреде- ляется формулой L = [rp]. A1.71) Заметим, кстати, что если имеется момент М = [rF] внешних сил JF, то изменение L со временем будет происходить по закону ^- = Ж, A1.72) причем в случае центральных сил (F\\r) момент внешних силЛ! обращается в нуль и мы имеем L = const. Этот результат известен в классической механике как закон со- хранения момента количества движения и используется, в част- ности, в проблеме Кеплера как закон сохранения секториальной скорости. Чтобы обобщить классическое выражение момента количе- ства движения на квантовый случай, мы должны в выражении A1.71) классический импульс р заменить оператором импульса р = _- V. Тогда будем иметь: L = [rp] = |[rV], A1.73) ИЛИ (Н.74) Прежде всего заметим, что операторы компонент момента коли- чества движения Lx, Ly и L2 не коммутируют между собой. 8 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В самом деле, определяя, например, перестановочные соотноше- ния между Lx и Ly, находим: L*Ly — LyLx = (ур2 — zpy) (zpx — *р2) — (zpx — xpz) (ypz — zpy). Пользуясь далее перестановочными соотношениями между им- пульсом и соответствующей координатой [см. G.25а)], находим: UL,, — Ly Lx = —ffl (ypx — хру) = »L,. A1.75) Аналогично можно показать, что (Н.76) Чтобы выразить в сферических координатах оператор квад- рата момента количества движения L2 = l4 + l4 + L*, A1.77) вычислим сначала в сферических координатах составляющие Lx, Ly и L2. Принимая во внимание соотношения A1.2) между де- картовыми и сферическими координатами, имеем: dty __ dty djc^ , dty ду . д*ф dz __ = г cos Ф cos ф -^- + г cos d sin ф -~ — г sin ^ -^ = дх ду ду <?ф * dz дф "" yz_ ^ ^ == -y-|*+jf-||-. A1.79) Умножая A1.78) на —, а A1.79) на ( —Щ-) и учитывая, что р2 =- х2 -f у2, после сложения этих двух равенств придем к со- отношению Если же равенства A1.78) и A1.79) умножить соответственно иа I — —) и (—^т), то аналогичным способом получим: § 11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 159 Отсюда, учитывая равенства A1.79) и A1.74), находим, что A1.82) A1.83) L*=!W- (П.84) Вводя переменную #=cosO (эту переменную не следует путать с декартовой координатой х), выражения A1.82) и A1.83) можно представить в виде Чтобы определить действие этих операторов на шаровые функции, воспользуемся тем обстоятельством, что одну и ту же шаровую функцию можно представить двояким образом: либо в виде A1.67), либо в виде (Н.86) Действуя оператором Lz непосредственно на шаровую функцию, находим: UY? = hmY?. A1.87) Отсюда следует, что квантовое число т хар^акте?изует проекцию момента „количества дгаже!Ти5П?аНдаГг: ** ~-—— - При определении же действия оператора Lx + iLy на шаровую функцию подставим вместо YT ее выражение A1.67), а при дей- ствии оператора Lx — iLy — эквивалентное выражение A1.86), Тогда из равенства 1 ± т __ Х2\ 2 следует, что (ЬЛ ± tLy) YT = - й V(Z + 1 ±m)(/=Fm) КГ *!. A1.88) 1 В этом равенстве следует положить А ± т 160 ЧАСТЬ I НЬРСЛЯТИВИСТСКАЯ КЬАНТОВАЯ С помощью последних соотношении находим L2Y? = [±{Lx + iLy)(Lx-iLy) + -i-i- (Lx - iLy) (Lx + iLy) + Щ /? = = -й2?1ФКГ= ///(/ + \)Y?. A1.88a) Отсюда видно, что YT является собственной функцией опе- раторов L2 и L2. Это возможно, так как операторы Lz и L2 ком- мутируют друг с другом, а также с гамильтонианом Н. Посколь- ку же операторы Lx и Ly не коммутируют с L2, то поэтому нельзя подобрать такую волновую функцию, которая являлась бы собственной функцией как оператора L2, так и операторов Lx или Ly. Это, однако, не означает, что произвольное направле- ние z является каким-то преимущественным. Можно записать шаровую функцию таким образом, что она будет собственной функцией операторов Lx и L2. Тогда она не будет собственной функцией оператора L2 [см. ниже A2.38)].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Физический смысл квантовых чисел. Момент количества движения» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
