Автомодельность задачи о движении и абляции метеороида
Исследуем более подробно формулу (3.20). Обозначим постоянный множитель в ее правой части через К: к_ 2FA0H*p0secz мУЧ2/3 (4.1) 'о Как нетрудно убедиться, К — величина безразмерная*). Входящие в нее величины #*, ро известны, z определяется из наблюдений, А0 обычно принимается равной соответствующему значению для шара, величина Г заключена, как правило, в весьма узких пределах (см. § 7). Таким образом, параметр К зависит в основном от трех параметров метеороида: его начальной массы, плотности и угла входа z. С учетом (4.1) формула (3.20) перепишется в виде е~и° [Ei Ы - Ei (и)] = Ke~h/H\ (4.2) Параметр щ, как мы уже могли убедиться из сравнения формул (3.8) и (3.9), тоже величина безразмерная. Она является комбинацией трех величин: начальной скорости метеора vo, параметра абляции а и параметра изменения формы \х. Если а и pi фиксированы и постоянны, то uq определяется только значением г;0. Из формулы (4.2) следует, что изменение скорости метеороида v (входящей через переменную и) в функции высоты h, т. е. процесс торможения метеороида, определяется двумя безразмерными параметрами и0 и К. При этом вид кривой v(h) зависит только от щ, а ее нуль- пункт, т. е. привязка к определенным значениям высоты h, только от К. Нетрудно убедиться на основании формулы (3.11), что и ход потери массы, точнее, изменение величины М/М0 *) В работах автора книги [39, 41, 50] величина К обозначалась буквой М. § 4. АВТОМОДЕЛЬЯОСТЬ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ 33 с высотой определяется также этими двумя параметрами. Таким образом, вся задача о движении и потере массы и, км/с О 5 10 15 20 25 30 . 35 40 Рис. 1. Изменение скорости и относительной массы метеороида с высотой при различных значениях параметра и0. метеороида является автомодельной. На это свойство основных уравнений задачи впервые было указано в работе В. А. Бронштэна в 1961 г. [38] *). На рис. 1 изображены кривые изменения скорости и относительной массы метеороида (интегральные кривые) для различных значений параметра щ. Горизонтальные прямые соответствуют положениям уровня земной поверхности (h = 0) при различных значениях параметра К. Шкала высот слева относится к значению К = 2,87. *) На независимость формы кривой торможения от начального радиуса метеороида указал Б. Ю. Левин [147] в 1956 г. 34 ГЛ. I. ПРОСТАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕТЕОРОВ Если принять \х = 2/3 и а =? 10~12 с2/см2, то значения щ можно следующим образом перевести в значения vQ: и0 v0l км/с 0,2 11,0 0,5 17,4 1,0 24,5 1,5 30,0 2 34,6 3 42,5 4 49,0 5 55,0 6 60,0 7 65,0 8 69,3 9 73,6 Для других значений а и |х составление такой же таблички не представляет труда. В соответствии с формулой (3.9) все значения vo должны быть умножены па 10-6/[3о(1-ц)]1/2. . Из сказанного выше и из рис. 1 следует, что два ме- теороида, вошедшие в атмосферу с одинаковыми и0, но отличающиеся массой, или плотностью, или углом входа, будут тормозиться и терять массу по одному закону, но соответствующие интегральные кривые будут сдвинуты одна относительно другой на величину Ah. Рассчитаем эту величину. Логарифмируя (4.2), найдем высоту h, на которой осуществляется торможение от начальной скорости v0 до некоторой заданной скорости v * < v0, которой соответствует определенное значение и*: h = - Я* In {^° [Ei К) - Ei (и*)]}. (4.3) Согласно формуле (3.11) заданному сочетанию и0 и и* соответствует и вполне определенное отношение М/М0. Мы можем исходить и непосредственно из этого отношения, преобразовав (3.11) к виду и* = щ + (1 - ji) In 1Г, (4.4) и подставив полученное и* в формулу (4.3). Как нетрудно убедиться, при заданных и0 и и * (или щ и М/М0) соответствующая значению и* высота h зависит только от К. Двум значениям К\ и К2 соответствует следующая разность высот: М = К - h2 = Я* In J-1. (4.5) 2 Для высот 80—100 км Я* « 6 км. Поскольку начальная масса метеороида входит в К в степени — 1/3, для двух § 4. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ 35 метеороидов, различающихся по М0 вдвое, разность высот, на которых будет достигнуто то же отношение М/М0, составит примерно 1,4 км (более крупный достигнет этого отношения на 1,4 км ниже). Такой_же результат будет для двух тел, различающихся в у 2 раз по плотности или в \f~2 раз по cosz (более плотное тело или тело, летящее более отвесно, потеряет ту же долю массы ниже). Для крупных, метеоритообразующих тел можно рассчитать их скорость и массу в момент достижения земной поверхности. Для этого положим в (4.3) h = 0: -uft е °[EiK)-EiK)] = #. (4.6) Из (4.4) и (4.6) найдем конечную массу Мк: где ик — значение и при h = 0, получаемое непосредственно из (4.6). Покажом теперь, следуя работе [50], что при заданных щ и ик начальная масса М0 и конечная масса метеорита определяются однозначно. Обозначим для краткости АЕ = Ei(uo) — Ei(uK) и учтем, что согласно (4.6) у поверхности Земли %Г = !- (4.8) Введем теперь обозначение к = М0К3 = [21Мр0Я*8-2/3 sec *]». (4.9) , Из (4.8) и (4.9) находим М0: M° = k[uJ- (4Л0> Из (3.11) и (4.10) получаем выражение для Мк: ля и Г«"° I3 -iqi(uo-uK) .. ... Мк = к[ш\е • (4,11> Обозначим для удобства / («к, "о) = [ д^ J е ц • (4-12) 36 ГЛ. I. ПРОСТАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕТЕОРОВ Тогда получим окончательно Мк = &-/(ик, к0). (4.13) Параметр к, в отличие от К, не содержит начальной массы Л/о, а зависит только от плотности метеорита, угла входа и коэффициентов формы и сопротивления. Функция f(uK, и0) зависит только от начальной и конечной скоростей метеорита, показателя закона изменения его формы \i и коэффициента абляции а. Таким образом, действительно, как Л/0, так и МК полностью определяются перечисленными выше параметрами. Физический смысл этого обстоятельства нетрудно понять с помощью рис. 1. Если задано щ, то, в соответствии со сказанным выше, заданы интегральные кривые торможения и потери массы. Задавая ик, мы тем самым фиксируем точку на кривой u(h), определяющую нуль-пункт шкалы высот, а значит, и величину параметра К, и входящую в него начальную массу М0. Значения щ и К определяют Л/к/Л/0, а тем самым и Л/к. Приняв наиболее вероятные значения параметра ^1 = 2/3, Г = 0,5, А = 1,21, подставив в (6.9) р0 = = 1,25 • 10~3 г/см3, Я* = 8 • 105 см, найдем, что /с = 1,8-109 6~2sec3z. Учитывая, что б"2/3 имеет пределы от 0,25 (6 = 8 г/см3, железные метеориты) до 0,54 (6 = 2,5 г/см3, углистые хондриты), a secz для 0<z< ^ 80° может изменяться от 1,0 до 5,8, можно убедиться, что 2,8 • 107 ^ к < 5,6 • 1010. В системе СГС будем иметь Л/к = 2 • 109б-2 sec32 • f(uK, но). (4.14) Рассмотрим теперь поведение функции f{uK, и0). Поскольку ЕКи„) монотонно возрастает с ростом иК, нетрудно показать, что f(uK, щ) (а значит, и Л/к) — монотонно возрастающая функция ик и, следовательно, конечной скорости vK. Поведение f(ul{, щ) в зависимости от щ определяется значением ц. Если \х = 2/3, экспоненциальный множитель вида еаи° исчезает и тогда f(uK, щ) — монотонно убывающая функция от щ. Если же \i < 2/3, то /CwK, щ) имеет минимум при каком-то значении и0, тем меньшем, чем меньше ик. На рис. 2 приведены значения lgf(uK, щ) для различных v, Vq и \х. Функция /(ик, щ) очень сильно зависит от и1{: при возрастании ик на порядок f(uK, щ) растет на § 4. АВТОМОДЁЛЬНОСТЬ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ 37 1—2 порядка (а при малых ик и более). Довольно быстрый рост f(uK, и0), а с ней и конечной массы, с ростом ик отражает то обстоятельство, что большая масса испытывает меньшее торможение и наоборот. Конечная масса Мк при заданной скорости Ц / падения метеорита vK не зависит от начальной массы М$ и убывает с ростом начальной скорости Уо. Зато конечная масса, будучи пропорциональна /(и„, щ), в сильной степени зависит от vK и с приближением ее к и0 стремится к бесконечности. Это означает, что tyf, пролететь сквозь атмосферу, не испытав заметного торможепия, может лишь бесконечно большая масса. Для исследователей метеоритов и метеоритных кратеров может представить интерес определение минимальной массы, могущей достичь земной поверхности с заданной скоростью vK (определяемой хотя бы по степени разрушений). Для решения этой задачи изучим поведение функции фК)=^г + + EiK) = EiK). (4.15) Функция Ф(ио) при О 2 4 £ . 6 uKiKM/c Рис. 2. Значения f(u0, ик) для различных ц, vo и vK. некотором значепии и0 проходит через минимум (иначе говоря, ик и vK в этой точке достигают максимума). Чтобы найти условие для Фт1п, вычислим производную j— и 38 гл. i. простая Физическая теория метеоров приравняем ее пулю. Тогда искомое условие запишется в виде „--во-. (4.16) На рис. 3 представлен ход vK по аргументу v0 для различных значений М0. С ростом М0 положение максимума ик смещается в сторону больших vo. Наличие максимума па кривой vK = ср(уо, М0) объясняется следующим образом. При малых v0 с ростом Vq растет и ук, лишь пемного отставая от vo, поскольку при малых скоростях торможение невелико. Но с переходом к большим скоростям торможение (пропорциональное квадрату скорости) приводит к тому, что рост vK прекращается и сменяется убыванием. Качественно эта 25 и0? мм/с Ряб. 3. Скорость ик в функции начальной скорости vQ и начальной массы М0 (значения М0 — в граммах) для каменных (сплошные линии) и железных метеороидов (прерывистые линии). картина показана на рис. 4. Смещение максимума с ростом М0 объясняется тем, что большие массы тормозятся слабее. Теперь обратим задачу: будем считать vK фиксированным и изучим поведение Ж0 в функции v0. Беря производную правой части (4.10) по и0 и приравнивая ее § 4. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ 39 нулю, получаем условие минимума М0: Ei(«) = V° + Ei(«0). (4.17) О То же самое получится, если мы потребуем одновременного выполнения равенств (4.15) и (4.16), т. е. чтобы максимальная для данного Л/о скорость удара равнялась заданному значению ук. Эффект минимума М0 объясняется аналогично максимуму vK. При Vq = иц торможение равно, нулю, а это возможно лишь для бесконечно большой массы. Поэтому при vQ -*■ ии, Мо -*• °°. По мере увеличения vQ торможение растет, а масса, способная затормозиться от заданной начальной скорости Уо до заданной конечной скорости ук, снижается. Но дальше будет все быстрее расти потеря массы, в соответствии с формулой (3,11). А поскольку конечная масса MKJ достигающая Земли с заданной скоростью vu, не зависит, как мы видели, от М0, а только от vK и Vq, М0 с дальнейшим ростом Vq будет тоже расти. Рис. 4. Качественная картина изменения начальной и конечной скоростей ме- теороида с ростом v0. Подобный эффект (наличие минимума il/0, выраженного в функции Мк) обнаружили ранее М. Ренард и У. Кассиди [4501, изучавшие условия образования метеоритного кратера № 9 в Кампо дель Сиело (Аргентина). Рис. 5. Зависимость начальной массы метеороида от конечной массы Л/к для различных значений а • 1012 (указаны около кривых) при \i=2/3 (по Ренарду 40 ГЛ. I. ПРОСТАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕТЕОРОВ В их расчете варьировался параметр а, что равносильно вариации и0. С увеличением а минимум на кривой М0 (рис. 5) смещается в сторону больших Мк, т. е. меньших vq (это с очевидностью следует из (4.17) и определения iio). При этом само значение Mj1 п возрастает, что столь же очевидно следует из (4.16). Весь приведенный выше анализ может быть применен не только к метеоритам, достигающим поверхности Земли, но и к обычным метеорам, если их можно полагать недробящимися в том смысле, как это было оговорено на стр. 30. В этом случае нужно лишь отсчет высот вести не от поверхности, а от той точки, где мы измеряем vK. Если обозначить высоту этой точки через hKj то в формулу (4.9) вместо ро нужно подставлять р„ = р(Ак).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Автомодельность задачи о движении и абляции метеороида» з дисципліни «Фізика метеоритних явищ»
