Вариация значений признака представляет наибольший интерес при исследовании социально-экономических явлений и процессов. Используемые в статистическом анализе показатели вариации можно разделить на три группы: показатели размаха; показатели, характеризующие отклонения от среднего уровня; относительные показатели вариации. К показателям размаха относят: - вариационный размах; - децильный размах; - квартильный размах. К показателям, характеризующим отклонения от среднего уровня, относят: - среднее линейное отклонение; - среднее квадратическое отклонение; - дисперсию. К относительным показателям относят: - относительный квартильный размах; - линейный коэффициент вариации; - коэффициент вариации. Вариационный размах или размах вариации характеризует абсолютную разницу между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: (4.1) Основным недостатком данного показателя является то обстоятельство, что максимальные и минимальные значения признака могут быть обусловлены случайными обстоятельствами и в этой связи могут искажать типичный для изучаемой совокупности размах вариации. Децильный размах (D) характеризует абсолютную разницу между значениями девятой (верхней) и первой (нижней) децилями: (4.2) Таким образом, децильный размах характеризует разброс 80% данных и, является более предпочтительным по сравнению с вариационным размахом, так как практически не зависит от экстремальных значений. Квартильный размах или интерквартильный разбрас (interquartile rang - IQR) характеризует абсолютную разницу между третьим (верхним) и первым (нижним) квартилями: (4.3) Третья или верхняя квартиль (Q3) показывает значение признака больше которого расположено 25% значений. Таким образом квартильный размах характеризует разброс 50% центральных значений. Среди показателей разброса наиболее часто в практическом анализе используют квартильный размах. Показатели разброса графически можно представить в виде секционной диаграммы (boxplot). В секционной диаграмме пунктирная линия представляет медиану, прямоугольник характеризует квартильный разброс, а вертикальные линии, выходящие из прямоугольника (их часто называют «усами»), характеризуют границы разброса. Если в данных нет аномальных значений, то «усы» соответствуют минимальному и максимальному значениям признака. Обычно к аномальным значениям относят данные, отклонения которых от нижнего и верхнего квартиля больше чем в 1,5 раза превышают квартильный разброс. Если такие данные существуют, то они показываются в виде отдельных точек. В этом случае «усы» принимаются равными нижний: (4.4) верхний: (4.5) Среднее линейное отклонение. Для абсолютной количественной оценки различий между всеми без исключения значениями признака в изучаемой совокупности используется оценка отклонений фактических значений от их среднего уровня. Чем больше различия между вариантами признака, тем больше и их отклонения от среднего уровня. Однако, как отмечалось в главе «Средние показатели», сумма отклонений фактических значений от средней всегда равна 0. Существует два основных подхода к усреднению отклонений фактических значений от средней. Первый состоит в том, что используют абсолютные значения отклонений и в результате получают показатель который называется среднее линейное отклонение. Второй состоит в том, что отклонения возводят в квадрат и в результате получают дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Среднее линейное или среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation – ) представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений фактических вариантов признака от среднего значения. В зависимости от характера исходных данных для расчета используют простую или взвешенную форму: - простая форма; (4.6) - взвешенная форма, (4.7) Если данные не сгруппированы, то используют простую формулу, если сгруппированы – то взвешенную. Дисперсия (variance) представляет собой средний квадрат отклонений значений признака от средней величины. В зависимости от характера исходных данных для расчета используют простую или взвешенную формулу: - простая форма; (4.8) - взвешенная форма, (4.9) Для расчета дисперсии в отдельных случаях удобнее использовать формулу, которая представляет собой алгебраическое преобразование выражений (4.8) и (4.9): , где (4.10) - средняя квадратическая. В зависимости от характера исходных данных для расчета средней квадратической используются простая или взвешенная формы: - простая, (4.11) - взвешенная. (4.12) Если данные не сгруппированы, то используют простую форму, если сгруппированы – то взвешенную. Возведение отклонений фактических значений от средней в квадрат приводит к тому, что дисперсия имеет тоже наименования, что и изучаемый признак, но возведенное в квадрат. Это затрудняет экономическую интерпретацию полученных результатов. Поэтому наиболее удобным и широко распространенным на практике показателем вариации является среднее квадратическое отклонение, которое определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак. Среднее квадратическое отклонение характеризует среднее отклонение фактических значений признака в статистической совокупности от их среднего значения и рассчитывается на основе следующих формул: - простая форма, (4.13) - взвешенная форма (4.14) (4.15) Среднее квадратическое отклонение также называют стандартным отклонением (standard deviation). Среднее квадратическое отклонение и среднее линейное отклонение близки друг другу по экономическому смыслу и между ними есть определенная связь. Для симметричных или умеренно ассиметричных распределений . Среднее квадратическое отклонение более широко применяется в статистическом анализе по сравнению со средним линейным отклонением благодаря своим математических свойствам. Так среднее квадратическое отклонение является одним из параметров многих распределений и в первую очередь нормального распределения. В нормальном распределении примерно 2/3 всех значений отклоняются от среднего уровня не больше, чем на одну величину среднего квадратического отклонения. Приблизительно 95% всех значений отклоняются от среднего уровня не более чем на две величины среднего квадратического отклонения. И, наконец, около 99,7% всех значений лежат в пределах трех средних квадратических отклонений. Коэффициенты вариации. Рассмотренные выше показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. Чтобы оценить масштабы вариации используют относительные показатели вариации, которые измеряют изменчивость значений признака в относительном выражении по сравнению со средним уровнем, что во многих случаях является более предпочтительным. Для оценки относительных размеров вариации используют линейный коэффициент вариации и квадратический коэффициент вариации. Последний показатель получил более широкое распространение, поэтому его обычно называют коэффициент вариации, опуская слово квадратический. Относительные показатели вариации, как правило, рассчитывают в процентах. Линейный коэффициент вариации измеряют через соотношение среднего линейного отклонения и средней: (4.16) Коэффициент вариации измеряют через соотношение среднего квадратического отклонения и средней: (4.17) Информативность показателей вариации повышается, если они рассчитываются для целей сравнительного анализа. При этом показатели, рассчитанные по одной совокупности, сопоставляются с показателями, рассчитанными по другой аналогичной совокупности или по той же самой, но относящейся к другому периоду времени. Например, исследуется динамика вариации курса доллара по годам или по месяцам или сравнивается вариация показателей компаний различных отраслей или регионов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Основные показатели вариации» з дисципліни «Бізнес-статистика та прогнозування»
