Статистические наблюдения в социально-экономических исследованиях обычно проводятся регулярно через равные отрезки времени и представляются в виде временных рядов xt, где t = 1, 2, ..., п. В качестве инструмента статистического прогнозирования временных рядов служат трендовые регрессионные модели, параметры которых оцениваются по имеющейся статистической базе, а затем основные тенденции (тренды) экстраполируются на заданный интервал времени. Методология статистического прогнозирования предполагает построение и испытание многих моделей для каждого временного ряда, их сравнение на основе статистических критериев и отбор наилучших из них для прогнозирования. При моделировании сезонных явлений в статистических исследованиях различают два типа колебаний: мультипликативные и аддитивные. В мультипликативном случае размах сезонных колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда и отражается в статистической модели множителем. При аддитивной сезонности предполагается, что амплитуда сезонных отклонений постоянна и не зависит от уровня тренда, а сами колебания представлены в модели слагаемым. Основой большинства методов прогнозирования является экстраполяция, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы, или — в более широком смысле слова — это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему. Наиболее известны и широко применяются трендовые и адаптивные методы прогнозирования. Среди последних можно выделить такие, как методы авторегрессии, скользящего среднего (Бокса — Дженкинса и адаптивной фильтрации), методы экспоненциального сглаживания (Хольта, Брауна и экспоненциальной средней) и др. Для оценки качества исследуемой модели прогноза используют несколько статистических критериев. Наиболее распространенными критериями являются следующие. Относительная ошибка аппроксимации:
(54.1)
где et = хt - — ошибка прогноза; хt — фактическое значение показателя; — прогнозируемое значение. Данный показатель используется в случае сравнения точности прогнозов по нескольким моделям. При этом считают, что точность модели является высокой, когда < 10%, хорошей — при = 10—20% и удовлетворительной — при = 20—50%. Средняя квадратическая ошибка:
(54.2)
где k — число оцениваемых коэффициентов уравнения. Наряду с точечным в практике прогнозирования широко используют интервальный прогноз. При этом доверительный интервал чаще всего задается неравенствами
(54.3)
где tα — табличное значение, определяемое по t-распределению Стьюдента при уровне значимости α и числе степеней свободы п - k. В литературе представлено большое число математико-статистических моделей для адекватного описания разнообразных тенденций временных рядов. Наиболее распространенными видами трендовых моделей, характеризующих монотонное возрастание или убывание исследуемого явления, являются:
(54.4)
Правильно выбранная модель должна соответствовать характеру изменений тенденции исследуемого явления; При этом величина еt должна носить случайный характер с нулевой средней. Кроме того, ошибки аппроксимации et должны быть независимыми между собой и подчиняться нормальному закону распределения et ( N (0, σ). Независимость ошибок et, т.е. отсутствие автокорреляции остатков, обычно проверяется по критерию Дарбина—Уотсона, основанного на статистике:
(54.5)
где et = xt - . Если отклонения не коррелированы, то величина DW приблизительно равна двум. При наличии положительной автокорреляции 0 ≤ DW ≤ 2, а отрицательной — 2 ≤ D W ≤ 4. О коррелированности остатков можно также судить по коррелограмме для отклонений от тренда, которая представляет собой график функции относительно τ коэффициента автокорреляции, который вычисляется по формуле
(54.6)
где τ = 0, 1, 2 ... . После выбора наиболее подходящей аналитической функции для тренда его используют для прогнозирования на основе экстраполяции на заданное число временных интервалов. Рассмотрим задачу сглаживания сезонных колебаний, исходя из ряда Vt = хt - , где xt — значение исходного временного ряда в момент t, а — оценка соответствующего значения тренда (t = 1, 2, ..., п). Так как сезонные колебания представляют собой циклический, повторяющийся во времени процесс, то в качестве сглаживающих функций используется гармонический ряд (ряд Фурье) следующего вида:
Оценки параметров αi и βi модели определяют из выражений
(54.7)
где k = п / 2 — максимально допустимое число гармоник; ωi = 2πi / п — угловая частота i-й гармоники (i = 1, 2, ..., т). Пусть т — число гармоник, используемых для сглаживания сезонных колебаний (т < k). Тогда оценка гармонического ряда имеет вид
(54.8)
а расчетные значения временного ряда исходного показателя определяются по формуле
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Трендовые модели прогнозирования» з дисципліни «Курс соціально-економічної статистики»
