Теоретико-ігрова модель вибору структури портфеля при заданому розподілі ймовірності
Вважатимемо, що N — кількість різних видів активів, обтяжених ризиком, n — кількість станів (сценаріїв) економічного середовища (ринку), qj ― ймовірність настання j-го стану rij ― норма прибутку активу і-го виду при наявності j-го стану економічного се-редовища ― матриця, елементами якої є можливі значення норм прибутку ак-тивів. Якщо через Ri позначити і-й рядок матриці R, то згідно з введеними раніше позначеннями Ri ― це дискретна випадкова величина, що описує норму прибутку і-го активу. У свою чер-гу, стовпчики матриці R характеризують стани економічного середовища (ринку), а саме: j-й стовпчик утворюється зі зна-чень норм прибутку всіх активів, що відповідають стану . Тому ймовірність настання j-го можливого значення дискретної випадкової величини Ri збігається з імові-рністю стану θj, тобто
Згідно з класифікацією перша інформаційна ситуація І1 харак-теризується відомим розподілом щодо станів економічного сере-довища. Тому в полі І1 стає можливим обчислення для і-го активу сподіваної норми прибутку mi, дисперсії а також коваріації для кожної пари випадкових величин Ri та Rl за формулами: (7.43) (7.44) (7.45) Визначивши ці числові характеристики активів, за формулами (7.3) та (7.4) можна визначити відповідно сподівану норму при-бутку та дисперсію (ступінь ризику) портфеля, що має структуру . Компонента хі вектора Х є часткою початкового капіталу, що інвестується в актив і-го виду . Ці компо-ненти мають задовольняти основному обмеженню (7.2) та вимозі щодо невід’ємності (7.16). Формально економіко-математичну модель класичної моделі Марковіца можна подати у вигляді такої двокритеріальної задачі вибору оптимального рішення: (7.46) (7.47) за обмежень (7.48) (7.49) Згідно з [123] портфель зі структурою назива-ється ефективним в моделі Марковіца, якщо Х* є вектором Паре-то задачі (7.46)—(7.49) і при цьому множина структур усіх ефек-тивних портфелів збігається з множиною Парето задачі (7.46)— (7.49). Інакше кажучи, згідно з моделлю Марковіца мета інвесто-ра полягає у визначенні таких значень часток хі, які б задавали для задачі (7.46)—(7.49) вектор оптимальний за Парето. Цей вектор прийнято називати структурою ефективного портфеля. Серед усіх ефективних портфелів виокремимо портфель зі структурою який є розв’язком задачі мінімізації ризику портфеля на множині всіх допустимих портфелів (так звану задачу збереження капіталу [57]). Формально ця однокри-теріальна задача задається співвідношеннями: (7.50) (7.51) (7.52) Визначивши структуру портфеля з мінімальним ступенем ри-зику, обчислюють його дисперсію та його сподівану норму прибутку за формулами: (7.53) (7.54) (7.55) Проаналізуємо випадки, коли розв’язок задачі теорії гри і структура Х* портфеля збігаються. Як зазначалось раніше, норма прибутку портфеля зі структурою є випадковою ве-личиною Тоді випадкова величина є нор-мою прибутку портфеля з мінімальним ступенем ризику. Очеви-дно, що Розглянемо задачу створення портфеля активів як парну гру з нульовою сумою, що визначається матрицею , і нехай ця гра не має сідлової точки. Позначимо оптимальну змішану стратегію першого гравця через (їй відповідає розподіл ), оптимальну змішану стратегію другого гравця через (їй відповідає розподіл ), через ― ціну гри. Виявляється [123], що у ви-падку, коли всі компоненти вектора строго більші нуля ( ), вектор Р*, що визначає оптимальну змі-шану стратегію першого гравця, збігається з вектором Х*, тобто виконується рівність (або ж ) і при цьо-му де Зауважимо, що у розрізі зазначених умов з урахуванням того, що існує можливість створення портфеля (який і є оптимальною змішаною стратегією першого гравця) з нульовим ступенем ризику, тобто існує можливість уникнення ризику портфеля. Розглянемо тепер задачу створення портфеля активів як парну гру з нульовою сумою, що задається матрицею де і нехай ця гра не має сідлової точки, а розподіли, що визначають оптимальні змішані стратегії та відповідно першого та другого гравців, за-даються векторами , V* ― ціна гри. Виявляється [123], що за умови, коли всі компоненти векторів P* та Q* строго більші нуля ( ), век-тори P*, Q* та X* збігаються, тобто (або ж ) і при цьому портфель зі структурою Х* має мінімальний ступінь ризику, рівний за величиною ціні гри:
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теоретико-ігрова модель вибору структури портфеля при заданому розподілі ймовірності» з дисципліни «Ризикологія в економіці та підприємстві»
