Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
Финансовая эквивалентность обязательств. На практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Ясно, что такие изменения не могут быть произвольными. Неизбежно возникает вопрос о принципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи "приведенными" к одному моменту времени {focal date), оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить. 73
Применение принципа финансовой эквивалентности не ограничено рамками задач изменения контрактов. Он лежит в основе преобладающего числа методов количественного финансового анализа. По существу, принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р и S. Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две суммы денег S{ и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена S{ на S2 в этих условиях формально не изменяет отношения сторон. ПРИМЕР 4.8. На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей. Покажем это на примере. Имеются два обязательства. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; условия второго: выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными? Так как платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало срока применим простую ставку, равную, допустим, 20 %. Получим 400 РА = = 375,00; 1+^0.2 450 Р2 = = 397,06 тыс. руб. 1+40-2 Как видим, сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и в силу этого не могут адекватно заменять друг друга. Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, его результат зависит от выбора ее размера. Однако, что практически весьма важно, такая зависимость не столь жестка, как это может показаться на первый взгляд. Допустим, сравниваются два платежа Sx и »У2 со сроками л, и л2, причем Sx < S2 и л, < л2. Соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной ставки (см. рис. 4.2). 74
Рис. 4.2 С ростом i размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при / = /0 наблюдается равенство Рх = Рт Для любой ставки / < /0 имеем Р{ < Р2. Таким образом, результат сравнения зависит от размера ставки, равного /0. Назовем эту ставку критической или барьерной. Подробнее о барьерных экономических параметрах будет сказано в гл. 7. Здесь же офаничимся расчетом барьерной ставки. На основе равенства
11 1 + /i,/0
1 + /i2/0
находим i-4
'о S, V2 " "'
(4.31)
ПРИМЕР 4.9. Для данных примера 4.8 получим 400 1 - 450 '° 400 _8_ 450 Х 12
_4_ 12
= 0,428, или 42,8 %.
Таким образом, соотношение Р2 > Р, справедливо при любом уровне процентной ставки, который меньше 42,8 %. Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства 75
$(1 + 4,)""'-s2(u/bP. В итоге /о=я-яе-1. (4.32) Консолидирование (объединение) задолженности. Как уже было сказано выше, принцип финансовой эквивалентности платежей применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм: их объединении, изменении сроков (досрочном погашении задолженности или, наоборот, пролонгировании срока) и т.п. Общий метод решения подобного рода задач заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности (equation of value), в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средне-и долгосрочных — с помощью сложных процентных ставок. Заметим, что в простых случаях часто можно обойтись без разработки и решения уравнения эквивалентности. Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи Sv £2,..., Sm со сроками л,, я2,—, пт заменяются одним в сумме S0 и сроком л0. В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок л0, то находится сумма S0 и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S0, то определяется срок л0. Рассмотрим обе постановки задачи. Определение размера консолидированного платежа. При решении этой задачи уравнение эквивалентности имеет простой вид. В общем случае, когда л,<л2<...<лт, искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей. Так, при применении простых процентных ставок получим S0 = XSj(\ + tjl) + 2^(1 + tki)~\ (4.33) j *• где Sj — размеры объединяемых платежей со сроками лу. < л0, Sk — размеры платежей со сроками пк > л0, /у= До-Лу, tk = пк- п0. 76
ПРИМЕР 4.10. Два платежа 1 и 0,5 млн руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на применении при конверсии простой ставки, равной 20%. Консолидированная сумма долга составит
Консолидацию платежей можно осуществить и на основе сложных процентных ставок. Вместо (4.33) для общего случая (Л, < п0 < пт) получим So-2sj(l*if*2Ml + l)~k- (4-34) ПРИМЕР 4.11. Платежи в 1 и 2 млн руб. и сроками уплаты через 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Искомая сумма составит S0 = 1000 х 1,20-5 + 2000 х 1,2-°-5 = 2921,187 тыс. руб. Определение срока консолидированного платежа. Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа S0, то возникает проблема определения его срока л0. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей. При применении простой ставки это равенство имеет вид SoO+vr1 =25у(1+Лу#г!, откуда * я0 = - h= - 1 . (4.35) Очевидно, что решение может быть получено при условии, что S0 > 2^.(1 + /ly/)"1, иначе говоря, размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Заметим также, что искомый срок пропорционален величине консолидированного платежа. 77
ПРИМЕР 4.12. Суммы в размере 10, 20 и 15 млн руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежом. Современная стоимость заменяемых платежей (обозначим эту величину через Р) при условии, что / = 10% и К = 365, составит Р = Ю(1 + Л- 0,1)"1 + 20(1 + -Ц- 0,1)"1 + 15(1 + ~|| 0,1)-' = 43,844 млн руб. Согласно (4.35) находим п0 = ~QV 43^44 " Ч = 1,4°4 Г0Да' ИЛИ 512 ДНвЙ* Продолжим пример. Пусть теперь размер заменяющего платежа задан в сумме 45 млн руб. Тогда срок заметно сократится и станет равным 0,264 года, или 96 дням. Перейдем к определению срока консолидированного платежа на основе сложных процентных ставок. Уравнение эквивалентности запишем следующим образом *(|+'П-2 */(!♦')'■'• У Для упрощения дальнейшей записи примем с-2*У(1+'Р. После чего находим К8 "°=ыГ?п- <4-36> Как видим, решение существует, если S0 > Q. Для частного случая, когда S0 = ZtSJ9 при определении срока консолидирующего платежа иногда вместо (4.36) применяют средний взвешенный срок: "о—^ (4-37) 78
Привлекательность этой формулы, помимо ее простоты, состоит в том, что она не требует задания уровня процентной ставки. Однако надо помнить, что она дает приближенный результат, который больше точного. Чем выше ставка /, тем больше погрешность решения по формуле (4.37). ПРИМЕР 4.13. Воспользуемся данными примера 4.11 и определим срок консолидированного платежа в сумме 3 млн руб. Точное значение срока находим по (4.36). Для этого сначала рассчитаем 0= 1 х 1,2-2 +2 х 1,2"3= 1,8518. После чего находим N3/1,8518) лалл По= .Ш,2 =1'646г°Аа- Приближенное решение дает 2,667 года.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей» з дисципліни «Фінансова математика»
