Имея дело со скалярными свойствами кристалла — такими, как плотность и теплоемкость, — не представляет никакого труда определить, когда у двух веществ эти свойства совпадают или близки по величине. В этом случае нет никакой проблемы. Если перейти к рассмотрению векторных свойств — скажем, пироэлектрических коэффициентов, — уже можно говорить о проблеме сравнения этих свойств, хотя и в данном случае она легко решается: очевидно, пироэлектрические свойства двух кристаллов одинаковы, если совпадают суммы квадратов пироэлектрических коэффициентов - (85.1) Эти свойства близки, если выражения (85.1), хотя и не равны, но достаточно мало отличаются друг от друга. Так, к турмалину, кристаллу класса 3/п, вектор пироэлектрических коэффициентов которого /7A) = 1,2^з (в ед. СГСЭ), был бы очень близок по пироэлектрическим свойствам гипотетический кристалл класса 1 с вектором пироэлектрических коэффициентов рB) = 0,4^ + 0,8£2 + 0,8#3 (в тех же единицах). Проблема сравнения свойств все еще довольно проста, если интересующее нас свойство описывается симметричным тензором второго ранга: для совпадения таких свойств необходимо и достаточно, чтобы совпали собственные значения сравниваемых материальных тензоров. Рассмотрим вопрос о сравнении произвольного тензорного свойства у двух кристаллов, принадлежащих к одному классу. Точнее, мы будем предполагать, что вид соответствующего материального тензора у обоих кристаллов одинаков. Здесь следует различать два случая. Если у данного тензора независимых инвариантов столько же, сколько независимых компонент, необходимым и достаточным условием совпадения свойств является равенство всех компонент материального тензора одного кристалла одноименным компонентам материального тензора другого кристалла: A i11 ... k = At2'... k. Если же у данного материального тензора числа независимых компонент и независимых инвариантов не совпадают, вопрос значительно усложняется. Как разъяснено в § 47, тензор как геометрический объект характеризуется своими инвариантами. Если независимых компонент больше, чем независимых инвариантов, значит, симметрия кристалла допускает поворот материального тензора данного типа как твердого тела относительно кристаллической 550 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ КРИСТАЛЛОФИЗИКИ [ГЛ X структуры (и связанной с нею кристаллофизической системы координат). При этом может случиться, что несовпадение компонент двух материальных тензоров относительно кристаллофизических систем координат вызывается не различием этих тензоров как геометрических объектов, а просто тем, что они по-разному ориентированы относительно кристаллофизических систем. Отсюда следует, что прежде чем сравнивать такие тензоры, их нужно одинаково сориентировать; если материальные тензоры ориентированы одинаково, то при совпадении соответствующего свойства все компоненты одного тензора тоже равны одноименным компонентам другого. Проблема сравнения тензорных свойств свелась к тому, чтобы добиться одинаковой ориентации двух материальных тензоров. Рассмотрим два примера. Сравниваются пьезоэлектрические свойства двух кристаллов класса т. У тензора пьезоэлектрических коэффициентов d для этого класса 10 независимых компонент, инвариантов же только 9; «лишняя» компонента характеризует поворот тензора в плоскости симметрии т J_ Х2. Рассмотрим вектор d = d : I с компонентами dt = dikkt характеризующий пьезоэлектрический эффект под действием гидростатического сжатия. В этом классе он имеет вид (см. табл. 58.2) d = (dn + d12 + d13) ег + (d31 + d32 + d33) e3 = dxex + d3e3. (85.2) Назовем «собственной» системой координат X[X2Xf3 тензора d такую, у которой ось Х\ направлена по вектору d; угол ф ее поворота относительно кристаллофизической системы ХгХ2Х3 определяется из уравнения dy = dx sin ф + d3 cos ф = 0 (85.3) при дополнительном условии d\> = d1 cos ф — d3 sin ф > 0. (85.4) Отнеся каждый тензор к его собственной системе, можно уже сравнивать компоненты тензоров. Подчеркнем, что собственную систему координат можно ввести и другими способами (например, считать собственной систему Х;'Х2Хз, определяемую условиями d\22 = G, df[22 > 0); любая разумно определенная собственная система пригодна для сравнения материальных тензоров. Следуя Новожилову A958, гл. V, §§ 19, 20), рассмотрим еще проблему сравнения упругих свойств кристаллов триклинной системы. Тензор коэффициентов упругой податливости s имеет 21 независимую компоненту и лишь 18 независимых инвариантов. В качестве его собственной системы координат можно использовать, скажем, систему, построенную на собственных векторах симметричного тензора второго ранга S = s : 1 (его компоненты Sy = siJkk). § 85] СРАВНЕНИЕ ТЕНЗОРНЫХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ 551 Для сравнения компонент тензоров упругой податливости разных кристаллов нужно сначала отнести каждый тензор к его собственной координатной системе. В этом случае собственную систему тоже можно выбрать по-другому, например, построив ее на собственных векторах симметричного тензора второго ранга Z с компонентами Zif = sikjk (см. табл. 53.1 и 54.1). Перейдем к вопросу о сравнении тензорных свойств кристаллов разных классов, когда вид сравниваемых тензоров различен; ограничимся важнейшим для кристаллофизики частным случаем, когда один из классов — подгруппа другого. Обратимся сразу к примерам. Допустим, нужно сравнить упругие свойства кубической и тетрагональной модификаций кристалла титаната бария. Эти модификации отличаются одна от другой лишь небольшим смещением атомов (см. § 64), и, сравнивая их упругие свойства, естественно потребовать, чтобы координатные системы в обеих модификациях были одинаково ориентированы относительно структуры. В данном случае элементарная ячейка тетрагональной модификации отличается от ячейки кубической модификации лишь небольшой деформацией в направлении тетрагональной оси. Поэтому уже стандартные кристаллофизические системы координат одинаково ориентированы относительно структуры, так что можно непосредственно сравнивать табличные значения компонент тензоров упругой податливости обеих модификаций титаната бария. Кристалл трехокиси вольфрама WO3 также имеет кубическую и тетрагональную модификации, и одна из них получается из другой также лишь небольшим смещением атомов, но элементарная ячейка тетрагональной модификации существенно отличается от ячейки кубической модификации: одно ее ребро совпадает с ребром кубической ячейки, а два других — с диагоналями граней кубической ячейки. Поэтому кристаллофизические системы обеих модификаций различно ориентированы относительно структуры; чтобы получить две системы одинаково ориентированные относительно структуры, нужно одну из кристаллофизических координатных систем, скажем, тетрагональную, повернуть на 45° вокруг тетрагональной оси. Хотя в повернутой системе координат тензор коэффициентов упругой податливости будет иметь тот же общий вид, как и в исходной кристаллофизической системе координат, но компоненты его изменяются; как нетрудно подсчитать, компоненты «повернутого» тензора выражаются через компоненты исходного следующим образом: (85.5) sn — я/2 sl2 + я/2 s sn — a/2 S] Si з 0 з 0 » о s44 0 0 0 0 s44 о - 0 0 0 0 552 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ КРИСТАЛЛОФИЗИКИ [ГЛ. X где а = sn — s12 — soe/2. Именно линейные комбинации, приведенные в этой таблице, а вовсе не кристаллофизические коэффициенты упругой податливости тетрагональной модификации трех- окиси вольфрама, следует сравнивать с одноименными компонентами тензора упругой податливости кубической ее модификации. Аналогичная ситуация возникает при сравнении пьезоэлектрических и упругих свойств двух кристаллических модификаций сульфида цинка ZnS — сфалерита (класс 43т) и вюрцита (класса 6mm). Для того чтобы можно было непосредственно сравнивать пьезоэлектрические коэффициенты и коэффициенты упругой податливости обеих модификаций, запишем материальные тензоры кубической модификации в системе координат, в которой ось Х3 направлена по оси третьего порядка, а Х1 — по нормали к одной из проходящих через нее плоскостей симметрии *). Тензор коэффициентов упругой податливости примет при этом вид L — a/2 s12 + a/6 Sj3 + a/3 a 1^2/3 О О Su — a/2 s13 + a/3 — aV2/2> О О Su — 2a/3 0 0 0 3 0 0 s44 + 4a/3 2a/2/3 s44 + 2a/3_ (85.6) где a = sn — s12 — s44/2, а тензор пьезоэлектрических коэффициентов — вид (85.7) где d = d14. Лишь записав тензор коэффициентов упругой податливости сфалерита в форме (85.6), а тензор его пьезоэлектрических коэффициентов — в форме (85.7), имеет смысл сравнивать эти тензоры с соответствующими материальными тензорами вюрцита. Последний пример: сравним диэлектрические, пьезоэлектрические и упругие свойства двух кристаллических модификаций ди- гидрофосфата калия — тетрагональной (класс 42т) и ромбической (класс тт2). Из правил выбора кристаллофизических систем координат (см. приложение А) ясно, что для того чтобы можно было сравнивать тензорные свойства этих двух модификаций, тензоры 0 dlVb -d/2/3 0 — d/Уб -d/2/3 0 0 d//3 0 -d//3 0 — d/УЗ 0 0 2d/l 0 0 *) Таким образом, мы сравниваем класс 43т не с классом бтт, к которому относится вюрцит, а с классом Зт, так как Зт, в отличие от 6mm, — действительно подгруппа группы 43т. Далее, вообще говоря, следовало бы и тензоры гексагональной модификации записать в кристаллофизической системе класса Зт, но этого можно не делать потому, что данные тензоры удовлетворяют условиям теоремы Германа, ! 85] СРАВНЕНИЕ ТЕНЗОРНЫХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ 553 одной из них необходимо отнести к системе координат, повернутой относительно кристаллофизической на 45° вокруг оси Х3. Фазовый переход, связывающий эти две модификации, рассматривается в § 65 (см. также табл. 64.1 и 65.1); для этого рассмотрения удобнее материальные тензоры тетрагональной модификации отнести к кристаллофизической системе координат, а материальные тензоры ромбической модификации — к повернутой. При этом последние принимают вид Ч^ Х22 2 2 (85.8) О' О о — 2 О о о (85.9) 2 S33 о о 2 S44+S55 •+■ $11 i 2 2 : s22 о о See + 2а _ (85.10) где а = V2 (sn + s22 — 2s12 — s66). Выписанные комбинации табличных (кристаллофизических) компонент материальных тензоров ромбической модификации дигидро- фосфата калия можно сравнивать с табличными значениями их для тетрагональной модификации этого вещества. Именно это и сделано в табл. 65.1. Неопределенность знаков у некоторых компонент появляется потому, что плоскости симметрии, эквивалентные в классе 42т, становятся неэквивалентными в классе mm2, и мы пока не знаем, к какой из плоскостей симметрии перпендикулярна кристаллофизическая ось Хг ромбической модификации и к какой — ось Х2; чтобы это выяснить, нужно измерить или по крайней мере 554 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ КРИСТАЛЛОФИЗИКИ [ГЛ X сравнить между собой параметры элементарной ячейки ромбической модификации. В этом параграфе проблема сравнения тензорных свойств кристаллов рассмотрена на примере диэлектрических, пьезоэлектрических и упругих свойств. Другие тензорные свойства кристаллов можно сравнивать, пользуясь теми же методами.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Проблема сравнения тензорных свойств кристаллов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
