Начало учения о магнитной симметрии кристаллов можно отнести к 1951 г., когда вышли в свет очередной том курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Статистическая физика» и монография А. В. Шубникова «Симметрия и антисимметрия конечных фигур». В «Статистической физике» было отмечено, что, исследуя симметрию магнитных кристаллов, необходимо принимать во внимание операцию обращения отсчета времени и сочетания ее с трансляциями, обычными, зеркальными и винтовыми поворотами. Ландау и Лифшиц указывали, что при этом получатся новые группы, число которых должно быть очень велико и которые никем еще не выведены, — пространственные группы магнитной симметрии кристаллов. Рассмотрим в этой связи операцию обращения отсчета времени. В основании кристаллофизики лежат законы классической механики и электродинамики. Они инвариантны относительно группы вращений: поворот координатной системы, в которой они записаны, не меняет вида этих законов. Они инвариантны'и относительно ортогональной группы, т. е. совокупности всевозможных собственных и несобственных поворотов; нужно только иметь в виду, что при несобственных поворотах векторы электрического и магнитного поля преобразуются по-разному: первые — как обычные (полярные) векторы, вторые — как аксиальные векторы (псевдовекторы). Мало того, законы механики и электродинамики инвариантны и относительно преобразования f = —t, т. е. обращения отсчета времени, если только одновременно изменить и знаки компонент магнитного вектора: #'• = —#*. Этот закон преобразования естественно вытекает из физической картины явления: при обращении отсчета времени направление всех токов, меняется на обратное, а следовательно, меняются на обратные и направления всех магнитных полей; ведь магнитные поля порождаются только токами. 15 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская 450 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ VIII Преобразование /' = —t называют еще инверсией времени. Мы будем обозначать его /'; группу же, состоящую из единичного элемента и инверсии времени, обозначим Г. Конечно, инверсия времени физически неосуществима, но такова же и обычная инверсия. Мы не только не можем заставить время потечь вспять; мы не можем и преобразовать кристалл кварца в его энантиоморф: для этого нам пришлось бы разобрать кристалл на отдельные атомы, а потом сложить эти атомы в другом порядке *). Определение преобразования симметрии просто не должно включать в себя предположение о физической осуществимости этого преобразования. Если присоединить к ортогональной группе **) оо оо I операцию инверсии времени /' и всевозможные сочетания ее с собственными и инверсионными поворотами, получится расширенная ортогональная группа оо оо I Г. Относительно нее инвариантны основные физические законы. Они инвариантны также и относительно переносов. Всевозможные сочетания переносов с операциями расширенной ортогональной группы составляют в совокупности расширенную евклидову группу. Все преобразования симметрии кристалла составляют в совокупности группу симметрии кристалла. Если она состоит только из преобразований, оставляющих инвариантными физические законы, ее естественно назвать группой физической симметрии кристалла. Таковы все точечные и пространственные кристаллографические группы, а также все кристаллографические подгруппы расширенной ортогональной и расширенной евклидовой групп. Обратимся теперь к идеям антисимметрии. Первая из них — обобщение понятия равенства: наряду с равными фигурами рассматриваются антиравные. Простейший пример антиравных фигур — две геометрически равные, но противоположно окрашенные фигуры: черная фигура антиравна такой же белой, а белая — черной. Так, на рисунке Эшера «День и ночь» (рис. 67.1) черный (ночной) город антиравен белому (дневному) городу, черная река — светлой реке, черные птицы — белым птицам. Вообще антиравньгми, как указывает Шубников, можно считать фигуры одинаковых размеров, взаимно противоположные по какому-то свойству: по окраске, по знаку электрического заряда, по направлению магнитного момента и так далее. Таким образом, черная или белая окраска фигуры — всего лишь условное обозначение того обстоятельства, что помимо геометрических свойств эта фигура обладает еще каким-то свойством и данное свойство *) В общем случае — разделить энантиоморфное тело на неэнантиоморфные составные чисти и заново сложить из них его энантиоморф. Наличие таких не- энантиоморфных частей на каком-то уровне деления — необходимое условие хотя бы принципиальной осуществимости этой операции. **) В данном контексте обозначение оооо! удобнее, чем равносильное, но более привычное оооо/тг, § 67] ОБРАЩЕНИЕ ОТСЧЕТА ВРЕМЕНИ И АНТИСИММЕТРИЯ 451 можно охарактеризовать величиной, принимающей всего два значения, скажем, +1 и —1. В рамках антисимметрии можно рассматривать также свойства, характеризуемые величиной, принимающей три значения: +1, —1 и 0. Это соответствует рассмотрению наряду с черными и белыми также и «серых» фигур или наряду с положительно и отрицательно заряженными также и не заряженных — нейтральных фигур. Наряду с операциями симметрии вводятся операции антисимметрии. В то время как операция симметрии преобразует фигуру Рио. 67.1. Эшер. «День и ночь». в такую же, т. е. равную фигуру, операция антисимметрии преобразует ее в антиравную. Таким образом, в рассмотрение вводится операция антиотождествления и всевозможные ее сочетания о ортогональными преобразованиями. Операция антиотождествления V (Шубников использует для нее символ /, но применяемая им система обозначений вообще отлична от международной, см. §5) в применении к черно-белым фигурам состоит в перекрашивании: все, что до этой операции было белым, после нее становится черным, а все, что было черным, становится белым. Если фигуры мыслятся не окрашенными, а электрически заряженными, действие на них операции антиотождествления состоит в замене заряда на противоположный. Очевидно, никакая белая и никакая черная фигура не может быть инвариантной относительно операции антиотождествления. Поэтому наряду с черными и белыми вводятся в рассмотрение серые фигуры, по определению переходящие в себя в результате антиотождествления. Если принять «электрическую» интерпретацию антисимметрии, т. е. считать, что антиотождествление пре- 15* 452 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ (ГЛ VIII образует тело в такое же, но противоположно заряженное, ясно, что инвариантны относительно антиотождествления все не заряженные, электрически нейтральные, тела. Сочетания антиотождествления с простыми и зеркальными поворотами называются антиповоротами и обозначаются символами соответствующих поворотов, снабженными штрихом (по Шуб- никову — минусом под символом поворота). Антиповорот — это преобразование, состоящее из поворота и перекрашивания; последовательность их выполнения роли не играет. Точечными группами антисимметрии (в широком смысле слова) называются: группа, состоящая из всевозможных простых и зеркальных поворотов и антиповоротов, и все ее подгруппы. Среди последних есть и обычные группы симметрии G; в их состав входят только обычные — простые и зеркальные — повороты. Эти группы изображаются одноцветными, или, как их называет Шубников, полярными фигурами (обычно их рисуют белыми, но с равным успехом они могли бы быть и черными).- Группы, в которых содержится операция антиотождествления сама по себе, обозначаются G1', а изображаются такими же, как G, но серыми фигурами; такие фигуры Шубников называет нейтральными. Наконец, существенно новые группы, т. е. группы G', содержащие в своем составе некоторые антиповороты, но не содержащие антиотождествления, изобразятся фигурами, содержащими как белые, так и черные части, — фигурами смешанной полярности. Эти названия переносятся и на группы: G — полярные, или белые группы; GY — нейтральные, или серые группы; G' — группы смешанной полярности, или черно- белые группы. Заметим, что под группами антисимметрии часто понимают лишь группы смешанной полярности. Фигуры, характеризующие некоторые такие группы, приведены на рис. 67.2. Когда Тавгер и Зайцев A956), следуя идеям, высказанным в «Статистической физике», вывели точечные группы магнитной симметрии кристаллов, оказалось, что они изоморфны точечным группам антисимметрии, описанным в книге Шубникова. Таким образом, группы магнитной симметрии кристаллов только интерпретацией отличаются от групп антисимметрии. Точнее, среди многих мыслимых интерпретаций точечных групп антисимметрии возможна и интерпретация их как групп магнитной симметрии, но именно эта интерпретация приводит к группам физической симметрии кристаллов. Имея ее в виду, мы и обозначили операцию антиотождествления тем же символом /', как и обращение отсчета времени. После того, как Шубников высказал мысль о возможности и — более того — необходимости обобщения классического учения о симметрии и сам сделал первые шаги по этому пути, построив точечные группы антисимметрии, эти исследования привлекли внимание многих ученых. Вскоре были выведены пространственные г 68Т ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ МАГНИТНОЙ СИММЕТРИИ 453 группы антисимметрии (Заморзаев, 1957; Белов, Неронова, Смирнова, 1955, 1957) и предложено дальнейшее обобщение классической симметрии — цветная симметрия (Белов и Тархова, 1956; е) Рис. 67.2. Простейшие симметричные (а, б, в) и антисимметричные (г, д, е) фигура пв А. В. Шубникову. Симметрия фигур: а) плоскость симметрии т, б) ось симметрии 2, $) центр симметрии I, е) плоскость антисимметрии т', д) ось антисимметрии 2', е) центр антисимметрии 1*. Инденбом, Белов, Неронова, 1960; Заморзаев, 1967, 1970). Разнообразные обобщения классической теории симметрии можно подвергнуть классификации и вывести с единых позиций, пользуясь методами теории расширений групп (Шубников и Копцик, 1972).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обращение отсчета времени и антисимметрия» з дисципліни «Основи кристалофізики»
