Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Основи кристалофізики

Упругие волны в кристаллах

Распространение упругих (звуковых и ультразвуковых) волн
в кристаллах имеет ряд характерных отличий от
распространения их в изотропных телах. Отличия эти до известной степени
напоминают отличия между распространением света в кристаллах
и в изотропных телах.
Плоская упругая волна (безразлично в кристалле или в
изотропной среде) описывается полем вектора смещения
и (г, t) = Apexp(ik-r — i(dt). E6.1)
Здесь А — амплитуда волны, р — вектор поляризации, т. е.
единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором
смещения, k = BяА) т —- волновой вектор, со = Bп/Х) v —
циклическая частота, к — длина волны, v — фазовая скорость, т —
единичный вектор волновой нормали. Действительные смещения
равны вещественной части этого комплексного выражения. Удобно
переписать формулу E6.1) в виде
и (г, t) = Ар ехр [Bш'Д) (т • г - vt)]. E6.2)
Поле смещений должно удовлетворять уравнениям эластодина-
мики
где Cijui — адиабатические коэффициенты упругости кристалла,
р — его плотность. Подставив выражение E6.2) в уравнение
движения и заметив, что в применении к экспоненциальным
функциям вида E6.2) дифференцирование по / сводится к
умножению на — Bju'A.) и, а по Xj — на BпИ%) rrij, получим основное
уравнение теории упругих волн в кристалле — уравнение Кристоф-
феля
pv2ph E6.3)
Учитывая внутреннюю симметрию тензора с, введем симметричный
тензор Криапоффеля
M = mc-m, E6.4)
352 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VI
Поскольку тензор М зависит не только от материального тензора с,
но и от направления распространения волны, он не является
материальным тензором, и поэтому его внешняя симметрия может быть
и ниже, чем симметрия кристалла *). Подставив его в E6.3),
получим уравнения Кристоффеля в форме
Mupi = pv2ph М р = pv2p. E6.5)
Часто пользуются приведенным тензором коэффициентов
упругости Х^ы = Cijki/p и приведенным тензором Кристоффеля Аи =
= hjkimjmk. Уравнения Кристоффеля принимают при этом вид
v2Pi. E6.5')
Уравнения Кристоффеля показывают, что векторы
поляризации р упругих волн, распространяющихся в кристалле в
направлении т, являются собственными векторами тензора Кристоффеля
М (т) или Л (т). Если тензор Кристоффеля М (т) имеет три
различных собственных значения, то в данном направлении т могут
распространяться три изонормальные взаимно перпендикулярные
упругие волны, фазовая скорость v{fi) каждой из которых
определяется собственным значением **) pv\k)t соответствующим данному
собственному вектору p(k) (у приведенного тензора Кристоффеля Ац
собственные значения равны квадратам фазовых скоростей v(k)).
То, что через кристалл могут распространяться лишь волны строго
определенной поляризации, роднит кристаллоакустику с
кристаллооптикой. В отличие от электромагнитных волн, в заданном
направлении т распространяются три упругие волны, а не две. Та из
них, вектор поляризации которой составляет наименьший угол
с вектором волновой нормали, называется квазипродольной,
остальные две — квазипоперечными. Может оказаться, что вектор
поляризации одной из волн совпадает с вектором волновой нормали,
тогда она продольна, две другие волны в этом случае обязательно
поперечны. Такое направление т называется продольной нормалью.
Может случиться, что только одна волна поперечна; при этом угол
между вектором поляризации квазипродольной волны и волновой
нормалью равен углу между вектором поляризации
квазипоперечной волны и плоскостью волнового фронта. В этом случае т —
поперечная нормаль.
Если два собственных значения тензора М (т) совпадают, то
в направлении т может распространяться квазипродольная волна
с вектором поляризации р(о), фазовая скорость которой v{0) опре-
*) Сводку формул, определяющих тензор Кристоффеля для каждого класса
упругой симметрии, см. Ф. И. Федоров A965).
**) Собственные значения тензоров Кристоффеля при любых т положительны;
это следствие неравенств, которым удовлетворяет тензор с, см. § 63.
Доказательство положительности собственных значений тензора Кристоффеля см. Ф. И.
Федоров A965).
§ 56] УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ 353
деляется однократным собственным значением р0(О), а также
множество квазипоперечных волн с одинаковыми скоростями иA),
векторы поляризации которых имеют всевозможные направления,
перпендикулярные к р@). Одна из этих волн — чисто поперечная;
ее вектор поляризации рщ || (р{0) X т). Направление т
называется в этом случае акустической осью. Если при этом т
оказывается еще и продольной нормалью, т. е. р@) = т, то все волны,
поляризованные перпендикулярно к /;(с), поперечны, и
направление называется продольной акустической осью (см. Хаткевич,
1962).
Чтобы вычислить фазовую скорость упругой волны, следует
найти соответствующее собственное значение тензора Кристоф-
феля. Этот трудоемкий метод необходим, однако, лишь тогда, когда
неизвестно направление вектора поляризации р. Если же оно
известно, скорость волны легко подсчитывается по формуле
v = yjpm: с:тр= у jcifklpttnfmkpi, E6.6)
которую можно записать в удобном для вычислений виде
где
c^i = ci/kl (i, j++X=l, ..., 6; fe, /<^fx=l, ..., b)y
f pitrij (ij++X=l, 2, 3),
(ij++X = 4, 5, 6).
В частности, фазовая скорость продольной волны
/де
(i/«A,= l, 2, 3),
(i/<+A, = 4, 5, 6).
Вывод формул E6.7) и E6.8) дан в приложении Е. Напомним, что
для пользования формулой E6.7) необходимо знать, что данные
векторы тир могут служить волновой нормалью и вектором
поляризации одной и той же упругой волны. Аналогично, пользоваться
формулой E6.8) можно лишь при уверенности, что т —
продольная нормаль данного кристалла.
Когда упругая волна распространяется в анизотропной среде,
поток энергии, вообще говоря, отклоняется от волновой нормали.
12 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
354 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ ГГЛ VI
Скорость и направление потока энергии характеризуются
вектором лучевой, или групповой, скорости *)
ш=я-»' w* = Wr E6-9)
Чтобы связать лучевую скорость с другими характеристиками
упругой волны, скалярно умножим обе части уравнения Кристоф-
феля E6.3) на вектор поляризации р. Получим равенство
CijkiPitnjtnkPi = Р^2» рт : с : тр = pv2. E6.10)
Умножив обе его части еще на 4я2А2> можно представить его
в виде
Cijimpikjkipm = pco2, pk:c:kp = р(о2. E6.11)
Продифференцировав E6.11) по ft, получим
р • с : kp +pk : с • р = 2рсо ||-.
Отсюда, воспользовавшись формулой E6.9) и внутренней
симметрией тензора с, найдем лучевую скорость
Wi = "pST C4lmPiPmK © = -р^ (Р • С • Р) ■ Л;
удобнее представить ее как функцию от v и т:
k ® = -^ (Р • с -р) • m. E6.12)
Симметричный тензор второго ранга
Pfk = cifklpiph P = p с р E6.13)
назовем вторым тензором Кристоффеля. Подставив его в E6.12),
получим
Если направление лучевой скорости упругой волны совпадает
с волновой нормалью, будем называть эту волну (по аналогии с
кристаллооптикой) обыкновенной, в противном случае — необыкно-
*) Выражения E6.9) удобно записывать в форме (о=^—, со. = з—» но эти
от от\
соотношения теряют смысл для тех направлений волновой нормали т, для
которых — = 0. Поскольку при этом -^j- = vm, групповая скорость
определена и для этих направлений. Итак, в направлениях, в которых ^— = 0,
групповая скорость совпадает с фазовой. Волны, для которых со = у/тг, называют
обыкновенными (см. ниже).
§ 56] УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ 355
венной. Из уравнения E6.14) ясно, что упругая волна является
обыкновенной в том и только в том случае, когда вектор волновой
нормали т — собственный вектор второго тензора Кристоффеля Р.
Обыкновенными оказываются, в частности, все продольные волны.
Действительно, у продольной волны т — вектор поляризации и
потому является собственным вектором первого тензора
Кристоффеля М; но по той же причине у продольной волны оба тензора
Кристоффеля совпадают, так что т — собственный вектор и
второго тензора Кристоффеля Р.
Геометрически очевидно, что проекция вектора лучевой
скорости на направление волновой нормали равна фазовой скорости.
Это нетрудно вывести и аналитически. Скалярно умножив обе
части соотношения E6.12) на единичный вектор волновой нормали т
и приняв во внимание E6.10), получим
w-m = v. E6.15)
Итак, лучевая скорость равна фазовой только у обыкновенной
волны, а у необыкновенной превышает фазовую и тем в большей
степени, чем сильнее направление потока энергии отклоняется
от волновой нормали. Угол я|) между направлением потока энергии
и волновой нормалью определяется соотношением
cosi|) = m-s, E6.16)
где 5 = со/со — единичный вектор луча. Из уравнения E6.14)
найдем со/со и, скалярно умножив на т, получим
rns ih= — = w =r. E6.17)
VmP? m VPi/Pikfn/Щ
Следует иметь в виду, что отклонение луча от волновой нормали
достигает иногда десятков градусов (см., например, рис. 56.6,
56.8, 56.11, 56.14, 56.16), так что пренебрегать им недопустимо.
Вообще в кристаллоакустике анизотропия кристаллов проявляется
значительно сильнее, чем в кристаллооптике, особенно в области
видимого света (в инфракрасной области анизотропия оптических
свойств кристаллов выражена несколько ярче, чем в видимой).
В направлении т, не являющемся акустической осью, могут
распространяться три взаимно перпендикулярно поляризованные
волны с векторами поляризации Р@), р^)у р{2) и фазовыми
скоростями и@), v{1) и 0B). Каждой из них соответствует свой вектор
лучевой скорости w{i) = (pv^^P^-m. В направлении же
акустической оси может распространяться, кроме квазипродольной волны
{т, Р@)}, множество квазипоперечных волн {т, Р(ф)}, где ф — угол,
отсчитываемый от некоторого направления в собственной плоскости
тензора М. Им соответствует множество лучей
»№)=р^Р(9)-«. E6-18)
12*
356 Упругость кристаллов [гл vt
Эти лучи, очевидно, образуют некоторый конус, а вся картина
в целом представляет собой акустический аналог известного в
кристаллооптике явления внутренней конической рефракции (см. § 39) *).
Рассмотрим, например, упругую волну, распространяющуюся
в кристалле тригональной системы вдоль его главной оси
симметрии: т = е3. Тогда тензор Кристоффеля Мц = ci33h что для
кристаллов тригональной системы дает (см. табл. Д. 18)
II Ми ||= 0* сА1 О I
У этого тензора есть однократное собственное значение с331
соответствующее собственному вектору /7(о) = е3 = т, т. е. продольной
волне, распространяющейся со скоростью V@) = V^c33/p, и
двукратное собственное значение с44, соответствующее множеству
собственных векторов
Р(ч>) = ^i cos Ф ~Ь ^2 sin Ф>
т. е. всевозможным поперечным волнам (р(ф) J_m),
распространяющимся со скоростью v{l) = ]/rc4i/p. Каждой из таких волн
соответствует свой второй тензор Кристоффеля
Р№ = спи cos2 Ф +С/22/ sin2 ф + (сц21 + ci2u) sin ф cos ф.
Учитывая вид тензора с для кристалла тригональной системы**),
получим
Си cos2 ф + свй sin2 ф (сп — сбб) cos ф sin ф 2с14 sin ф cos ф II
I p|-JP' I = (сп — c6e) cos ф sin ф сп sin2 ф+cee cos2 ф си (cos2 ф — sin2 ф)
2ci4 cos ф sin ф c14(cos2 ф — sin2 ф) с44 |
Поэтому у каждой поперечной волны с вектором поляризации р(ф)
своя лучевая скорость
«>(ф) = V^Jp [е3 + (Си/Си) {ег sin 2Ф + е2 cos 2Ф)].
Таким образом, каждый луч составляет с направлением волновой
нормали т = е3 угол г|э = arctg (cu/cu)t а все они вместе образуют
круговой конус. Сопоставляя поляризацию и направление каждого
луча, получим распределение поляризации по конусу, показанное
на рис. 56.1.
Направления A11) в кристаллах кубической системы
являются осями симметрии третьего порядка и вокруг них также
*) Подробнее о внутренней конической рефракции см. Хаткевич A962а);
Александров и Рыжова A964); Viswanathan A969); Александров A975).
**) Здесь с помощью соотношения си—с12 = 2с6б исключено с12 = си — 2сб6.
Предполагается, что с2б = 0; для кристаллов высшей подсистемы это имеет место
уже в кристаллофизической системе координат, а для низшей подсистемы —
в специальной системе координат (см. § 52),
561
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ
357
происходит коническая рефракция поперечно-поляризованных волн.
Отклонение лучей от волновой нормали в этом случае равно
• Си — С\о — 2сЛл
яЬ = arctg —г=±—- -—.
Коническая рефракция в кристаллоакустике, в отличие от
кристаллооптики, — не малый эффект; приведем угол г|э для
нескольких кристаллов:
Тригональные: сапфир
кварц
17°10'
кремний
12°40'
кальцит
30°45'
флюорит
13°40'
Кубические: NaCl
г|>=8045'
При распространении упругих волн вдоль направлений,
связанных с элементами упругой симметрии кристалла, волны могут
оказаться продольными, поперечными,
обыкновенными и т. д. Исследование
возникающих при этом возможностей
основано на том, что оси симметрии
тензоров Кристоффеля М и Р
совпадают с их собственными векторами;
собственные же векторы тензора М (т)
служат векторами поляризации
упругих волн с нормалью т, а совпадение
одного из собственных векторов
тензора Р (р) с волновой нормалью т
указывает на то, что волна {т, р) обык-
новенна.
Тензор М = т-с-т определяется
тензором с и диадой тт\ согласно
принципу Кюри среди элементов
симметрии этого тензора обязательно
содержатся те, которые являются
общими для с и mm:
G (N) => G (с) П G (mm). E6.19)
Группы G (с), т. е. группы упругой симметрии кристалла,
перечислены в § 52; группа симметрии диады mm G (mm) = oo I mm, причем
главная ось симметрии совпадает с направлением т. Для тензора Р(р)
аналогично получим
G(P)=>G(cHG(pp)- E6.20)
Исходя из этих соотношений, приступим к анализу отдельных
случаев.
1. Пусть вектор т совпадает с одной из осей симметрии
порядка N > 2. Тогда эта ось окажется осью симметрии того же
порядка и для тензора М. Но так как, согласно теореме Германа,
Рис. 56.1. Распределение
направлений поляризации при конической
рефракции вокруг оси симметрии
третьего порядка. Показаны
плоскости симметрии. Оси второго по
рядка следует представлять себе
лежащими ниже плоскости чертежа
(это не стереографическая
проекция).
358 упругость кристаллов Ггл v!
все оси выше второго порядка служат для тензора второго ранга
осями бесконечного порядка, тензор М будет иметь симметрию
оо/mm; два его собственных значения совпадут; один из его
собственных векторов направится по оси оо (т. е. по направлению т),
остальные заполнят перпендикулярную плоскость. Отсюда следует,
что все оси симметрии порядка N > 2 служат продольными
акустическими осями кристалла. Упругие волны, распространяющиеся
вдоль них, или продольны, или поперечны, причем поперечные волны
могут иметь любую поляризацию и скорости всех поперечных волн
одинаковы.
Продольные волны по общему правилу обыкновенны;
поперечные же требуют отдельного исследования. В п. 2 доказывается,
что поперечные волны обыкновенны уже в том случае, когда
волновая нормаль направлена по оси симметрии второго порядка.
Ясно, что для оси шестого (бесконечного) и четвертого порядка
это также справедливо. Так как в изотропном теле любое
направление может служить осью оо, такими же свойствами обладают
все упругие волны в изотропных телах. Поперечные же волны,
распространяющиеся вдоль оси симметрии третьего порядка, как
показано выше, необыкновенны.
2. Пусть вектор т направлен по одной из осей симметрии
второго порядка тензора с. Эта ось оказывается осью симметрии
второго порядка и для тензора М; значит, по ней направлен один из
его собственных векторов, а два других ей перпендикулярны.
Таким образом, оси симметрии второго порядка тензора с служат
продольными нормалями кристалла, но не являются его
акустическими осями. Наряду с продольной волной вдоль оси второго
порядка распространяются две поперечные волны, имеющие
различные фазовые скорости и строго определенные поляризации
Р{\) _L tn и р{2) _]_ т. Если тензор с кроме оси 2 || т имеет
перпендикулярно к ней ось симметрии четного порядка, то один из
поперечных векторов поляризации направлен по этой оси; в этом случае
и направление второго поперечного вектора поляризации окажется
осью второго порядка для тензора с. Если же тензор с не имеет
перпендикулярных к 2 || т осей симметрии четного порядка,
направление поперечных векторов поляризации определяется
коэффициентами упругости кристалла; это имеет место, например, в
кристаллах тригональной и моноклинной систем.
Подчеркнем, что ось второго порядка для тензора с может вовсе
не являться таковой для кристалла; например, кристалл класса т
вообще не имеет никаких осей симметрии, однако его тензор с
наряду с плоскостью симметрии m имеет перпендикулярную к ней
ось второго порядка *); другой пример — кристаллы низших под-
♦) Заметим, что для диады mm любое направление, перпендикулярное к
тг служит осью симметрии второго порядка.
f 56]
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ
359
систем тетрагональной и тригональной систем не имеют осей
второго порядка, перпендикулярных к главной оси симметрии, а их
тензоры с такие оси имеют. Нас же сейчас интересуют именно
элементы симметрии тензора с, а не элементы симметрии кристалла.
Не только продольная волна, но и обе поперечные
оказываются обыкновенными даже в общем случае, когда в G (с) не
входят оси четного порядка, перпендикулярные к оси 2 || т. Это
объясняется тем, что ось 2 || т входит в пересечения групп
W
Рис. 56.2. Графическое доказательство того, что вдоль осей симметрии второго порядка
распространяются продольная и две поперечные упругие волны, и того, что не только
продольная волна, но и поперечные обыкновенны. а) и б) Стереографические проекции
элементов упругой симметрии G (с) и элементов симметрии диады волновой нормали
G (mm) с учетом их взаимного расположения; в) пересечение этих групп; оно входит
в группу G (М) тензора М; г) элементы симметрии G (М); по осям 2 направлены векторы
поляризации р^, один из них (р0) совпадает с т, ему соответствует продольная волна;
д) элементы симметрии G (pipi); е) пересечение групп G (plt pt) и G (с); оно входит
в группу G (Pi); ж) элементы симметрии тензора Рь одна из осей 2 совпадает с т, что
и показывает, что волна [т, pt] обыкновенна.
G (с) П G (Pd)P(i)) и G (с) П G (рB)Р{2)) (рис 56.2) и потому служит
осью второго порядка и для тензоров Р (рщ) и Р (рB)).
3. Пусть вектор т перпендикулярен к оси симметрии второго
порядка тензора с или, что то же самое, лежит в одной из его
плоскостей симметрии. Тогда эта ось второго порядка окажется
одновременно и осью второго порядка для диады mm, а следовательно,
и для тензора М (т). Значит, с ней совпадает один из его
собственных векторов. Но так как эта ось перпендикулярна к вектору т,
направленный по ней собственный вектор тензора М является
вектором поляризации чисто поперечной волны. Остальные два
вектора поляризации не являются вообще ни продольными, ни
поперечными. Таким образом, все направления, перпендикулярные
к осям второго порядка тензора с или лежащие в его плоскостях
симметрии, оказываются поперечными нормалями. В данном
360 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VI
случае нет оснований ожидать, что какая-либо из волн (хотя бы
поперечная) окажется обыкновенной
Заметим, что поскольку все оси симметрии четного порядка
заодно являются и осями второго-порядка, все сказанное относится
и к направлениям, которые перпендикулярны к этим осям. Что
касается направлений, перпендикулярных к осям третьего порядка,
то на них это, разумеется, не распространяется.
4. Поскольку оси симметрии шестого (бесконечного) и
четвертого порядков служат одновременно и осями второго порядка,
направления, перпендикулярные к этим осям, также являются
поперечными нормалями. Но, в отличие от направлений,
перпендикулярных к осям симметрии второго порядка, направления,
перпендикулярные к осям шестого (бесконечного) и четвертого порядка,
обладают и другими замечательными свойствами. Очевидно,
достаточно рассмотреть направления, лежащие в плоскости @01)
кристалла тетрагональной системы. Для этих направлений вектор
волновой нормали можно представить в форме т = ег cos ф + е2 sin ср,
и тензор Кристоффеля принимает вид
Ми = cliu cos2 ф + ci22i sin2 ф + (£*i2/ + £/2i/) sin Ф cos ф.
Для кристаллов тетрагональной системы это дает
Icu cos2 ф + свб sin2 ф (с12 + свб) sin ф cos ф 0 |
(с\г + Cqq) sin ф cos ф Сц sin2 ф + cQQ cos2 ф 0 I
0 0 си 1
Отсюда ясно, что направление вектора поляризации поперечной
волны р{1) = е3 и скорость этой волны v{1) = Ус^/р не зависят
от направления волновой нормали к плоскости @01), т. е. от угла ф.
Таким образом, плоскость @01) в кристаллах тетрагональной
системы изотропна относительно упругих волн, поляризованных
перпендикулярно к этой плоскости: все они распространяются
с одинаковой скоростью. В кристаллах гексагональной системы
тем же свойством обладает плоскость @001), в кристаллах
кубической — все плоскости типа {100}.
Второй тензор Кристоффеля таких волн Рц = сш для
кристалла тетрагональной системы принимает вид
IC44 0 0 II
0 с44 0 У.
0 0 сзз||
Совпадение двух его собственных значений показывает, что вся
плоскость ХгХ2, т. е. @01), для него является собственной. Таким
образом, при любом направлении вектора т в изотропной плоскости
он является собственным вектором тензора Р, и следовательно,
волны, распространяющиеся в изотропной плоскости и
поляризованные перпендикулярно к ней, оказываются обыкновенными.
$ 561 УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ 36!
Выше рассмотрены все случаи, когда некоторое направление
в кристалле является продольной нормалью, поперечной нормалью
или акустической осью вследствие своего особенного положения
относительно элементов симметрии тензора коэффициентов
упругости с. Однако это особенное положение относительно элементов
симметрии тензора с — достаточное, но отнюдь не необходимое
условие того, что данное направление представляет собой
продольную или поперечную нормаль или акустическую ось. В
действительности продольные нормали, как показал Ф. И. Федоров A965),
есть в любом кристалле, какова бы ни была его симметрия.
Доказательство основано на том, что вектор ш, если он представляет
собой продольную нормаль, является собственным вектором
тензора М, т. е. удовлетворяет уравнению
тс: mm = pv2m, c'ijkimjmknii = pv2mt. E6.21)
Рассмотрим теперь функцию
F (т) = mm : с : mm = СцМтгт^ткт^ E6.22)
где т — единичный вектор:
f(m) = 2(mm-l) = 2(mimi-l) = 0. E6.23)
Функция F (т) определена на поверхности сферы т • т = 1 и, как
всякая непрерывная функция, определенная на замкнутом
множестве, достигает на этом множестве наибольшего и наименьшего
значений. При соответствующих значениях т удовлетворяются
уравнения условного экстремума в форме Лагранжа:
°т E6.24)
Подставив в E6.24) функции F и /, определяемые формулами E6.22)
и E6.23), получим в точности уравнения продольной нормали
E6.21); неопределенный множитель Лагранжа X оказывается
равным pv2. Таким образом, в любом кристалле существуют по
крайней мере две продольные нормали: одна из них соответствует
наибольшему, а другая — наименьшему значению функции F. На
рис. 56.3 представлена эта функция для триклинного кристалла
медного купороса, ее стационарным точкам соответствуют
продольные нормали.
Чтобы выяснить, в любом ли кристалле найдется хоть одна
акустическая ось, необходимо предварительно познакомиться с
поверхностью фазовых скоростей. Ее образуют концы всевозможных
векторов фазовых скоростей v = vm, отложенных из какой-либо
точки как из центра поверхности. Уравнение этой поверхности
det || cmvjvk - pv%t || = 0 E6.25)
362
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
ГГЛ VI
получается из условия существования ненулевых решений
уравнений Кристоффеля E6.3). Так как E6.25) — уравнение 12-й
степени, оно описывает поверхность 12-го порядка *). Поскольку
каждому направлению т соответствуют, вообще говоря, три
значения vt поверхность имеет три полости. Однако могут найтись
такие направления т, в которых два из трех значений vсовпадают,
и соответственно две полости поверхности фазовых скоростей имеют
общую точку; эти направления
и есть акустические оси (рис.
56.4—56.15). Наиболее
распространенная, а до недавнего
времени — единственно известная
конфигурация поверхности
фазовых скоростей, когда внешняя
полость представляет
квазипродольную волну и охватывает две
полости квазипоперечных волн,
не соприкасаясь с ними,
представлена на рис. 56.4, а, 56.6, а,
56.8, а и г, 56.9, а, 56.11,56.12.
На всех этих рисунках полости
квазипоперечных волн имеют
общие точки, соответствующие
акустическим осям. В
большинстве случаев это изолированные
направления: у гексагональных
и тригональных кристаллов —
@001), у кубических — < 100)
и A11). Но у кристалла
берилла имеется целый конус акустических осей (пересечения его
с плоскостью сечения обозначены на рис. 56.6 буквами D).
То, что при такой конфигурации поверхности фазовых
скоростей у кристалла, независимо от его симметрии, есть но крайней
мере одна акустическая ось, следует из общей топологической
теоремы: если V (т) — непрерывное векторное поле, касательное
к сфере тт= 1, то найдется хотя бы одно значение т = т0
такое, что V (т0) = 0 (Стинрод и Чинн, 1967). С каждой точкой
поверхности фазовых скоростей, не лежащей на акустической оси,
связан единичный вектор поляризации соответствующей волны:
с точками внешней полости — квазипродольной, а с точками
внутренних полостей — квазипоперечной. Разобьем каждое из этих
векторных полей на два: поле p\k) (m) векторов, продолжающих
соответствующий вектор ©(л) = v{k)m, и поле р^ (т) векторов,
Рис 56.3. Стереографическая проекция
линий уровня функции F (т) =
= c.j^.m.m.m^m. для триклинного
кристалла медного купороса; в 10~3 Н/м2.
В направлениях, соответствующих
стационарным точкам этой функции,
распространяются продольные волны.
*) В частных случаях степень уравнения E6.25) и соответственно порядок
поверхности фазовых скоростей может быть значительно ниже.
58J
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ
363
перпендикулярных к соответствующим векторам v^k). Поскольку
внешняя полость не соприкасается с внутренними, она гомеоморфна
(топологически эквивалентна) сфере, и приведенная топологическая
а)
В)
Рис. 56.4. Поверхности фазовых скоростей (а), обратных скоростей, умноженных на
CtJ Р, (о) и лучевых скоростей (в) кристалла цинка, класс 6/ттт. Сечения плоскостью,
проходящей через главную ось симметрии; L — квазипродольные волны, Г, —
поперечные, Г, — квазипоперечные; в км/с (Musgrave, 1954).
теорема еще раз показывает, что по крайней мере при одном
значении т = т0 касательная составляющая квазипродольной волны
p(i (т) обращается в нуль, так что т0 — продольная нормаль
кристалла. Но векторные поля р(|'2)(т), лежащие на внутренних
полостях поверхности фазовых
скоростей, везде отличны от
нуля. Отсюда следует, что эти
полости не могут быть
отдельными одна от другой, так как
тогда они были бы гомеоморфны
сфере и, следовательно, имели бы
г! А
г
0
К
20
0
60
80 ¥
а)
Рис Л6 5 Отклонение лучей (а) и вектора поляризации квазипродольноп волны (б) от
волновой нормали в кристалле цинка. Угол ф отсчитывается от [0001] к @00i); углы Д
и 6 считаются положительными при отклонении в сторону @001); L, Ти Т2 — см
рис. 56.4 (Musgrave, 1954).
хоть одну общую точку. Радиус-вектор этой точки — акустическая
ось. Таким образом, показано, что при данной конфигурации
поверхности фазовых скоростей у каждого кристалла есть по
крайней мере одна акустическая ось *).
*) Точно так же можно доказать, что у любого кристалла есть по крайней
мере одна оптическая ось. Разница только в том, что уравнения оптических по-
364
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
[ГЛ VI
Однако пример парателлурита (ТеО2) показывает, что возможны
и другие конфигурации поверхности фазовых скоростей. На
рис. 56.14, б видна точка соприкосновения внешних полостей этой
а)
Рис. 56.6. Поверхности фазовых скоростей (а), обратных скоростей, умноженных на
c*J Р> (б) и лучевых скоростей (в) кристалла берилла, класс 6/ттт. Сечения плоскостью,
проходящей через главную ось симметрии; L — квазипродольные волны, 7\ —
поперечные, Тг — квазипоперечные; в км/с (Musgrave, 1954).
поверхности; она соответствует направлению, лежащему в
плоскости @10) и составляющему с [100] угол 19,7°. Рис. 56.15, а
показывает, что в этом направлении происходит резкое изменение
го
0
-w
/Л
\^
^^zo^
к
ki
[—.
60
\ 1
M
A
-5
/
r w
6
0
Г 3
к
0
а)
б)
Рис. 56.7. Отклонение лучей (а) и вектора поляризации квазипродольной волны (б) от
волновой нормали в кристалле берилла. Обозначения, как на рио. 56.4 (Musgrave, 1954).
отклонения лучей от волновой нормали. Мало того, внутри
некоторого конуса, окружающего направление [100], — в плоскости @10)
он отстоит от [100] на 19,7°, а в плоскости @01) — на 8,2° —
внешняя полость поверхности фазовых скоростей соответствует
квазипоперечным волнам и лишь следующая за ней — квазипродольным.
верхностей проще и направления оптических осей легко из них находятся, в то
время как аналогичное исследование уравнений акустических поверхностей
затруднительно.
Рис. 56.8. Поверхности фазовых скоростей (а и г), обратных скоростей, умноженных на с44/Р, F и д) и лучевых скоростей (вне)
кристалла никеля, класс m3m; а, б, в — сечения плоскостью A00), г, д, е — сечения плоскостью A10); L — продольные волны,
Тд — поперечные, Tg — квазипоперечные; в км/с (Miller, Musgrave, 1956).
§ 56] УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ Зб5
866
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
Ггл. vi
Это показывают графики отклонения векторов поляризации от
волновой нормали на рис. 56.15,6. Видно, что в плоскости @01)
при переходе квазипродольной волны в квазипоперечную (он
отмечен пунктиром) никаких особенностей не наблюдается.
[010] [010]
41
Рис. 56.9. Сечения поверхностей фазовых скоростей (а) и лучевых скоростей (б)
кристалла КВг, класс тЪт, плоскостью @01). L — направление луча, которому
соответствуют пять волн с различными нормалями (см. рис. 56.10); в км/с (К. С. Александров
1958). '
0,5 10 15 2,0 2,5
Рис. 56.10. Сечения поверхностей фазовых и лучевых скоростей для квазипоперечных
волн, распространяющихся и поляризованных в плоскости @01) кристалла КВг L —
направление луча; wu w2, wz — лучевые скорости трех таких волн, распространяющихся
вдоль луча L; vit v2, vz — их фазовые (нормальные) скорости; Nit N2, Na — направления
волновых нормалей; в км/с (К. С. Александров, 1958).
Вернемся к проблеме существования акустических осей у
кристалла произвольной симметрии. По теореме об обращении в нуль
непрерывного векторного поля, касательного к сфере, любая
полость поверхности фазовых скоростей может не иметь общих точек
с другими полостями лишь в том случае, если некоторая ее точка
f 561
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ
367
соответствует чисто продольной волне (а значит, некоторая
окрестность этой точки — квазипродольным волнам). Для отсутствия
у кристалла акустических осей необходимо и достаточно, чтобы
его поверхность фазовых скоростей состояла из трех полостей, ни
60
Рис. 56.11. Сечения поверхности фазовых скоростей упругих волн в кристалле кварца,
класс 32, координатными плоскостями; в км/с (Farnell, 1961).
У С
Т\ \
; з,о
\ \ч
\
Л \
0,5Щ 2,0 , 3,0
.у-"' / /
ч У
Рис. 66.12. Сечения поверхности фазовых скоростей упругих волн в кристалле висмута,
класс Зт, координатными плоскостями кристаллофизической системы. Штриховые
линии соответствуют квазипродольным волнам, пунктирные и штрих-пунктирные —
квазипоперечным; А — направление продольной нормали; в км/с (Расе, Saunders, 1971).
одна из которых не имеет общих точек с другими. А для этого,
в свою очередь, необходимо (но, конечно, не достаточно), чтобы на
каждой из этих полостей нашлась хотя бы одна точка,
соответствующая чисто продольной волне. Итак, топологический анализ не
исключает возможности существования кристалла, не имеющего ни одной
368
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
[ГЛ. VI
акустической оси, но показывает, что такой кристалл должен
обладать по крайней мере тремя продольными нормалями, причем
продольная волна, соответствующая одной из них, должна иметь
большую фазовую скорость, чем изонормальные ей поперечные,
соответствующая другой — меньшую, а соответствующая третьей —
промежуточную между фазовыми скоростями изонормальных ей
поперечных волн. Однако необходимо подчеркнуть, что
непосредственный анализ уравнения поверхности фазовых скоростей E6.25)
может дать более точные результаты (подобно тому как теорема
Ф. И. Федорова доказывает существование в любом кристалле
30 50 70 90 110 130 150 170
Рис. 56.13. Отклонение (в градусах) вектора поляризации квазипродольной волны (/)
и лучевых векторов квазипродольной

и квазипоперечных C и 4) волн от вектора
волновой нормали для волн, распространяющихся в плоскости симметрии Х3Х2 (ср.
рис. 56.12) кристалла висмута (Расе, Saunders, 1971).
по меньшей мере двух продольных нормалей, в то время как из
топологических соображений вытекает лишь существование по
меньшей мере одной продольной нормали).
Для дальнейшего исследования поверхности скоростей и
других акустических поверхностей кристалла вернемся к
определению лучевой скорости E6.9) и выделим зависимость со от длины
волнового вектора k = km и его направления т (лучевая скорость):
дсо дсо dk дсо dm/
Щ = -зтг- = -лг- -л 1 E6 26)
oki ok ok( dm,- dki ' * >^^j
Рассмотрим отдельные производные, входящие в разложение E6.26).
Из соотношения со = vk находим ды/dk = v и da/dnij = k dv/drrij.
Остальные производные равны соответственно
dk
kt
dm,
dki
д (kj/k)
dkj
dk
\ 56]
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ
Подставив эти выражения в E6.26), получим *)
i /с \ ^ i /I \ dv /ее от\
W( = Vfll( -р (О// — 171A71 А ->: ) IV = Vftt-J-\1—ttlttlj • -х—. (OO.Z/J
Таким образом, вектор лучевой скорости w представляется в виде
суммы вектора фазовой скорости v = vm и той части производной
dvldm, которая
перпендикулярна к волновой нормали т (см.
§ 18). Это вполне согласуется
с формулой E6.15).
Из формулы E6.27) следует,
что в тех направлениях,
которым соответствуют
стационарные точки поверхности
скоростей (в них dvldm = 0, т. е.
радиус-вектор нормален к
поверхности), распространяются
обыкновенные волны. Она также
показывает, что луч отклоняется
от волновой нормали тем
сильнее, чем быстрее изменяется с
направлением фазовая скорость
и, причем отклоняется от нее
в направлении увеличения
скорости. Таким образом, векторы
лучевых скоростей
«концентрируются» в тех направлениях,
в которых соответствующие
полости поверхности скоростей
наиболее удалены от центра.
Стационарные точки на
поверхности фазовых скоростей
цинка (рис. 56.4, а) есть не
только на полюсе и на экваторе, но
и (на полости квазипоперечных
волн Т2) между ними. Рис. 56.5, а
показывает, что отклонение
соответствующего луча от
волновой нормали при О « 37°
действительно обращается в нуль, так что волна Т2 в этом
направлении обыкновенна. На поверхности фазовых скоростей берилла
(рис. 56.6, а) стационарные точки вне полюса и экватора есть
/,
ЦШ]
Рис. 56.14. Сечения поверхности фазовых
скоростей упругих волн в кристалле па-
рателлурита ТеО2, класс 422: а)
плоскостью @01); б) плоскостью @10); в)
плоскостью (НО); в км/с (Ohmachi, Uchida,
Niizeki, 1972).
*) Кажущееся противоречие между формулой E6.27) и приводимой Ф. И.
Федоровым A965, стр. 140) формулой w = dvldm объясняется тем, что в последней
дифференцирование по m проводится без учета того, что m • m = 1, а в E6.27) —
с учетом этого условия.
370
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
Ггл vi
не только на полости квазипоперечных (Г2), но и на полости
квазипродольных (L) волн, и рис. 56.7, а показывает, что
отклонения лучей L и Т2 при соответствующих углах, как и следует,
обращаются в нуль. С другой стороны, квазипродольная волна,
становясь чисто продольной, становится вместе с тем и
обыкновенной, т. ё. вместе с отклонением вектора поляризации
квазипродольной волны от волновой нормали в нуль обращается и отклонение
луча от волновой нормали (графики рис. 56.7 построены,
по-видимому, недостаточно точно, но на рис. 56.13 это представлено очень
наглядно).
С)
Рис. Сб.16. Отклонение в градусах вектора поляризации р и луча * от волновой нормали
в парателлурите: а) в плоскости @01), б) в плоскости (lfO). Индексы соответствуют
рис. 56.14. По Ohmachi, Uchida, Niizeki A972).
На сечениях поверхностей фазовых скоростей кубических
кристаллов плоскостями {001} — рис. 56.8, а и 56.9, а — окружности
характеризуют плоскость {001} как изотропную для поперечных
волн, поляризованных перпендикулярно к этой плоскости.
Стационарные точки на сечениях поверхностей фазовых скоростей
плоскостями {001} (рис. 56.8, а и 56.9, а) и {ПО} (рис. 56.8, г)
соответствуют обыкновенным волнам. Рисунки показывают, что в
направлениях @01) и A10) обыкновенны, как и должно быть, все волны,
а в направлениях A11) — только продольные. На сечении {110}
видны направления, не определяемые симметрией кристалла, в
которых также распространяются обыкновенные волны (поперечные,
р || <110». Сравнение рис. 56.8, а и 56.9, а показывает влияние
знака анизотропии (см. § 52) на характер поверхности скоростей:
у кристалла никеля коэффициент Cw} = B/5) (сп — с12 — 2с44) < 0
и соответственно А = 2с44/(сп — с12) > 1, у кристалла KBr Cj/} > 0
и А < 1. При Cjv * > 0 скорость продольных волн максимальна
§ 56] УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ 371
в направлениях A00) и минимальна в направлениях A11), а при
Cn < 0 — наоборот; нетрудно подметить и другие подобные
закономерности. На рис. 56.11 и 56.12 представлены сечения
координатными плоскостями поверхностей фазовых скоростей двух триго-
нальных кристаллов, а на рис. 56.14 — тетрагонального. На
рис. 56.13 показаны отклонения поляризации квазипродольных
волн и лучевой скорости от волновой нормали; последние показаны
также на рис. 56.15 и достигают 73° (см. рис. 56.15, б).
Наряду с поверхностью фазовых скоростей употребляется
поверхность рефракции (Ф. И. Федоров, 1965); ее называют еще
поверхностью обратных скоростей и поверхностью медленностей (slowness
surface). Это геометрическое место концов всевозможных векторов
рефракции п = m/v9 отложенных из одной точки. Ее уравнение
det || ciJklnfnk - р8и || = 0, E6.28)
как и E6.25), получается из условия существования ненулевых
решений уравнений Кристоффеля, но, в отличие от E6.25), это
уравнение шестой степени. В каждом направлении радиусы-векторы
поверхности рефракции и поверхности фазовых скоростей взаимно
обратны: п (т) = l/v (m); поэтому, зная вид одной из них, нетрудно
представить себе и вторую. Три такие поверхности показаны на
рис. 56.4, б, 56.6, б, 56.8, б и т. д. Они аналогичны применяемым
в кристаллооптике поверхностям показателей преломления.
Если из какой-либо точки О откладывать всевозможные векторы
лучевой скорости w, то концы их образуют поверхность лучевых
скоростей. Ее называют также волновой поверхностью, потому что
она представляет собой, как следует из ее определения,
геометрическое место точек, до которых одновременно дойдет звуковая волна,
испущенная из точечного источника, находящегося в О. Поэтому
нормаль к волновой поверхности является волновой нормалью,
а касательная к ней плоскость — плоскостью волнового фронта.
Перпендикуляр, опущенный из точки О на касательную плоскость,—
вектор фазовой скорости V. Если к каждой точке волновой
поверхности строить касательные плоскости, то концы опущенных на них
из центра волновой поверхности перпендикуляров составят
поверхность скоростей; это означает, что последняя является подерой
волновой поверхности. В тех направлениях, в которых
распространяются обыкновенные волны, соответствующие полости волновой
поверхности и поверхности скоростей соприкасаются и радиус-
вектор служит им общей нормалью. Соотношение между
поверхностями фазовых и лучевых скоростей представлено на рис. 56.10.
В кристаллоакустике нет соотношений двойственности, столь
характерных для кристаллооптики (см. § 36) *). Это проявляется,
*) Вообще об аналогии между кристаллоакустикой и кристаллооптикой см.
К. С Александров A956, 1975) и Henneke and Green A969).
372 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VI
в частности, в том, что уравнение поверхности лучевых скоростей
значительно сложнее, чем уравнения поверхностей фазовых
скоростей E6.25) и рефракции E6.28): степень его, а следовательно,
и порядок поверхности могут достигать 150 (Ф. И. Федоров, 1965).
Соответственно сложнее и сама поверхность. На ней, в отличие от
поверхности скоростей, наряду с точками и линиями
самопересечения (выходы акустических осей) могут быть изломы (линии
возврата). Пока исследованы только сечения этих поверхностей
плоскостями симметрии (Ф. И. Федоров, 1965). Для гексагональных
кристаллов они представлены на рис. 56.4, в и 56.6, в.
Сечения поверхностей лучевых скоростей кубических
кристаллов плоскостями {100} и {110} показаны на рис. 56.8, в и £ и 56.9, б.
Сравним их с сечениями поверхностей фазовых скоростей. Сечение
плоскостью {001} полости, соответствующей чисто поперечным
в этой плоскости волнам, является окружностью и совпадает с
сечением поверхности фазовых скоростей, а сечение ее плоскостью {110}
имеет форму эллипса, полуоси которого равны полуосям овала
фазовых скоростей. Очень сложны формы сечений полости
квазисдвиговых в {100} и {110} волн, на которых есть изломы. Таким
образом, в кубических кристаллах (как и в гексагональных, см.
рис. 56.4, в и 56.6, в) могут существовать направления, вдоль
которых распространяется не три, а пять различных по скорости
упругих волн: квазипродольная, поперечная и три
квазипоперечных, т. е. одному лучу отвечают пять нормалей, хотя одной
нормали всегда соответствует ровно три луча, т. е. три направления
распространения энергии. Это явление подробно исследовано (см.
рис. 56.10) и экспериментально проверено К. С. Александровым
A958) на кристалле КВг.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Упругие волны в кристаллах» з дисципліни «Основи кристалофізики»