При деформации сплошной среды — безразлично, изотропной или анизотропной — ее частицы, вообще говоря, смещаются из своих первоначальных положений: частица, находившаяся до деформации в точке г с координатами дг/, оказывается в результате деформации в точке г' с координатами х\. Вектор u = r' — r, Ui = x'i — xi D9.1) называется вектором смещения. Очевидно, задание во всем объеме, занимаемом телом, векторного поля и (г) полностью определяет деформированное состояние тел. Однако для более наглядного описания деформации удобнее воспользоваться другими векторными и тензорными полями, выводимыми из поля смещений. Для того чтобы представить себе деформацию сплошной среды, нужно рассматривать частицу вместе с некоторой бесконечно малой ее окрестностью. Деформацию тела вблизи данной частицы удобно мысленно разложить на три движения: 1) поступательное перемещение частицы вместе с окрестностью из точки г в точку г'; 2) поворот окрестности как твердого тела вокруг некоторой оси, проходящей через частицу, т. е. через точку г'; 3) собственно деформацию, т. е. такое перемещение одних частиц окрестности относительно других, при котором изменяется расстояние между частицами. Поступательное перемещение частицы вместе с окрестностью определяется вектором и (г). Остальные два перемещения определяются производными вектора смещений по координатам. Эти девять производных образуют несимметричный, вообще говоря, тензор дисторсии у = ди/дг с компонентами yik = дщ/дхк. С помощью транспонированного тензора \ * = Grad и можно разложить тензор дисторсии на симметричную часть 302 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VI называемую тензором малых деформаций, и на антисимметричную часть называемую тензором малых вращений. При деформациях кристаллов, не нарушающих их целостности, все компоненты тензора дисторсий обычно малы: | yik | << 1, а следовательно, малы и все компоненты тензоров е и со. Только такие деформации мы и будем рассматривать. В окрестности материальной частицы, находившейся до деформации в точке г, смещения равны D9.4) щ (г + бг) = щ (г) + -Sgl 8*, = щ (г) + (*ikbxk + eik8xfi. Здесь со = со (г) и е = е (г). Смещения Ьи частиц окрестности относительно избранной нами частицы, находившейся до деформации в точке г, равны г) = и(г + Ъг)-и(г) = ъ-Ьг + *.Ъг, xk. Как показано в § 42, антисимметричному тензору со можно поста- о вить в соответствие дуальный ему аксиальный вектор <р, называемый вектором малых вращений, с компонентами Ф/ = — у V°7*. D9-6) о причем <о-8г=фХбг. Поэтому Ьи (г + бг) = ф х Ьг + е • бг. D9.7) Чтобы выяснить геометрический смысл тензора малых вращений, предположим, что е (г) = 0. Если бр — составляющая вектора бг, перпендикулярная к вектору ф, то Но это значит, что смещение каждой точки г + бг окрестности пропорционально расстоянию бр от точки г + бг до оси, параллельной о вектору ф и проходящей через точку г. Кроме того, направление этого смещения перпендикулярно как к оси, так и к вектору бр, соединяющему эту ось с данной точкой окрестности. Ясно, что это означает поворот всей окрестности как целого вокруг оси вращения. Нетрудно убедиться также, что угол (в радианах) и направление § 49] МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 303 этого поворота совпадают соответственно с длиной и направлением о аксиального вектора <р. Подставив в D9.6) компоненты тензора малых вращений D9.3), получим \ (duj duk\ I duk 1 duj Во втором слагаемом переименуем немые индексы, а затем воспользуемся тождеством б^у =— 6/уЛ: 1 duj 1 . duk I duk Итак, *4V^« Ф-yrote. D9.8) Для выяснения геометрического смысла тензора е положим со (г) = 0. Тогда Ьи (г + бг) = е • бг. Как и всякий симметричный тензор второго ранга, е можно представить в виде е = г{1)р1р1 + + г{2)р2р2 + е(з)РзРз» гДеР/ • Р] = б/у- Рассмотрим сначала случай, когда г{1) = е =£ 0, еB) == еC) = 0. Обозначим рх • бг = 8xv Очевидно, в этом случае 8и (г + бг) = гбх1р1. Это значит, что смещения всех точек окрестности параллельны вектору рг и пропорциональны расстояниям соответствующих точек от перпендикулярной к этому вектору плоскости Ьхг = 0. Таким образом, в этом случае происходит удлинение в направлении, параллельном ръ в отношении A + е) : 1. В общем случае, когда все собственные значения тензора е отличны от нуля, происходит наложение таких удлинений в трех взаимно перпендикулярных направлениях, как показано на рис. 49.1. Рассмотрим, как изменяются расстояния в направлении произвольного единичного вектора п. Для этого нужно рассчитать, как изменяется в результате деформации расстояние от точки г до точки г + бг при бг = n8s. До деформации это расстояние равно 6s. В результате деформации точка г + п bs сместится относительно точки г на вектор Ьи = е • п 6s. Составляющая этого вектора в направлении п равна п-8и = nenbs. Относительное изменение расстояний в направлении п в результате малой деформации г составляет, таким образом, JL^L = пг.п = гшЩпк% D9.9) где п — единичный вектор. 304 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VI Интересно подсчитать также относительное изменение объема при деформации. Если в окрестности точки г выделить малый прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными собственным векторам *) тензора е и равными 1Ъ /2, /3, то в результате \ \ \ М / / / — — - О ♦ — —- о *• —»• * л* / / / I \ \ \ а) б) м \\\ ч ' / у > - ч N ^ X / / " ~ ^ \ \ \ \ Рис. 49.1. Поля вектора смещений и (г) при различных однородных деформациях; а) е = 0,2*1*1, б) е = 0,2 (*i*, + £2*2)» *) е = 0,2 (etei — ete2), г) е = 0,2 (etet + егех). деформации он превратится в прямоугольный же параллелепипед со сторонами 1\ = A + еA)) 119 Г% = A + сB)) /2, /{ = A + еC)) /3, так что относительное изменение объема *) Это предположение сделано только для упрощения расчетов. Можно было бы рассмотреть совершенно произвольный малый параллелепипед и получить тот же результат. § 49] МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 305 Если пренебречь квадратичными и кубичными по е(/) членами, то AV -у = ed) + еB) +8(з) = е**« D9.10) Это выражение, как и следовало ожидать, не зависит от выбора координатной системы, являясь инвариантом тензора деформаций. Легко выразить его и через вектор смещений: ■тг=«»-|*—<nv«. <49Л1) Поучительно подсчитать также изменение в результате деформации угла между двумя единичными векторами р и q, которые до деформации были взаимно ортогональны (pq = 0). После деформации косинус угла между ними приблизительно равен cos ft ^ (р + в • р) • (q + е • q) ^ 2р • е • q (мы воспользовались здесь не только малостью, но и симметричностью тензора е). Таким образом, ft^y-2p.e.#. D9.12) Шаровая часть 1/3е/гЛ1 тензора деформаций 8 описывает такое же изменение объема, как и сам тензор деформаций, но форма под действием шарового тензора не изменяется: все прямые, которые были ортогональны до деформации, останутся таковыми и после нее: если pq = 0, то ир • 1l^kk\-q = 1l&kkP-Q = 0. Девиатор тензора деформаций е = е - -3 8,^1, eif = гч - ~ъ г,^6ф D9.13) напротив, описывает деформацию, происходящую без изменения объема (так как ekk = 0); изменения же формы, т. е. перекосы прямых углов между первоначально ортогональными векторами при деформациях 8 и еу одинаковы: если pq = 0t то pe-q = p-tq. Если задано любое поле смещений и(г), можно найти поле деформаций 8 = Def и. Возникает вопрос: по любому ли тензорному полю 8 (г) можно восстановить векторное поле и (г), иными словами, всякое ли тензорное поле является деформацией некоторого векторного поля *). С аналогичным положением мы встречаемся в электростатике: любой скалярной функции ф (г) соответствует векторное поле Е = —grad cp, но вовсе не всякое векторное поле является градиентом некоторого скалярного поля; как известно, для этого векторное поле должно быть безвихревым: rot E = 0. Можно ожидать, что и тензорное поле, чтобы служить деформацией *) Предполагается, что щ и ejk — достаточно гладкие функции координат, 306 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ ГГЛ VI какого-то векторного поля, должно удовлетворять определенным условиям. Выведем их. Рассмотрим Rot e. По определению (Rote),y = 8/fe/|^. D9.14) Выразим компоненты этого псевдотензора через производные вектора смещений: 08// bikl ^Ш; = Второе слагаемое тождественно равно нулю, поскольку функции Uj ® удовлетворяют требованиям теоремы о перемене порядка дифференцирования. Действительно, в этом случае тензор d2uj/dxkdxi симметричен по индексам k и /. Тензор же 8Ш антисимметричен по этим индексам. Отсюда ясно, что bikld2Ujldxkdxi = 0. Но Sikid2uj/dxkdxi = (Rot Grad и)у, так что мы получили формулу тензорного анализа Rot Grad =0. D9.15) Заметив, что 8Ш дщ1дхк = (rot u)ti запишем D9.14) в виде . D9.16) О С другой стороны, V2 rot и = ф. Так получаем важную формулу |g = ^. D9.17) Эта формула имеет самостоятельное значение, и мы будем еще ею пользоваться. Искомые соотношения теперь легко выводятся. Транспонируем обе части равенства D9.17). Получим (Rote) * = о = Grad ф. Теперь подвергнем обе части полученного равенства операции Rot. Так как Rot (Rot e) * = Ink e *) и, как уже отмечалось, Rot Grad = 0, получим окончательно Ink е = 0, 8ikm8Jln ^^ = 0. D9.18) Итак, доказано, что если тензорное поле является деформацией некоторого векторного поля, то его несовместность обращается в нуль. Уравнения D9.18) называются уравнениями совместности Сен-Венана. *) Дифференциальная операция второго порядка, выражаемая соотношением D9.18), называется несовместностью и обозначается Ink, § 501 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 307 Мы доказали только необходимость этих уравнений. Их достаточность следует из того, что если Ink е = 0, то по тензорному полю е (г) можно определить и поле смещений. Для однозначного определения смещений нужно еще зафиксировать положение тела, т. е. исключить возможность движения его как целого. Закрепим с этой целью произвольную точку тела г@), т. е. зададим в этой точке смещения и (г<0)) и вращения <р (г@)). Преобразованием координат можно добиться того, чтобы г@) = 0, и (г@)) = 0 и ф (г@)) = 0. Тогда смещения в любой точке г вычисляются по формуле Кирхгоффа — Вольтерра — Чезаро, которая для этого случая принимает вид (приводим ее без вывода) Криволинейный интеграл в формуле A9) берется по любой линии, проходящей внутри деформируемого тела и связывающей точку г@) = 0 с точкой г. Аргументом подынтегральной функции служит переменный вектор г' с координатами х\, пробегающий всевозможные значения вдоль этой линии. Уравнения совместности Сен-Венана представляют собой условия интегрируемости уравнений е = Def и, т. е. обеспечивают независимость криволинейного интеграла в формуле Кирхгоффа — Вольтерра — Чезаро от пути интегрирования. Рассмотрим уравнения совместности деформаций для случая, когда тензор деформаций зависит только от одной координаты, скажем, от х3. Тогда dx\ ~ dx\ - dx\ ~u' l^y.iyj а остальные три уравнения совместности удовлетворяются тождественно. Из уравнений D9.19) следует, что еш е22 и е12 линейно зависят от х3: eap = 4aP + BapX3 (a, p = l, 2; Аа^ = А^ BaP = BPa). D9.20) К соотношениям D9.20) и сводятся все уравнения совместности при зависимости тензора деформаций только от одной координаты.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Малые деформации сплошной среды» з дисципліни «Основи кристалофізики»
