Из тензора А, ранг которого г ^ 2, можно получить тензор В ранга г — 2, если произвести суммирование компонент тензора А по какой-либо паре индексов. Например, тензор В с компонентами Bijk = Aimi — результат свертывания тензора пятого ранга по последним двум индексам. При другом выборе индексов свертывания получим другой тензор третьего ранга, например, Dijk = Лш/Ь Cijk = Anjikj вообще говоря, D ф В ф С. Свертывание часто сочетается с умножением. Например, в формуле Р/ = dijkojk содержится умножение тензора d на тензор а и последующее двукратное свертывание полученного тензора пятого ранга. § 42] ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ И СООТНОШЕНИЯ ДУАЛЬНОСТИ 251 В каждом из перечисленных определений в доказательстве нуждается слово «тензор»: нужно доказать, что получившийся в результате операций набор величин преобразуется при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону. Иными словами, необходимо проверить, приводят ли следующие два пути к одному и тому же результату: 1) производим соответствующую операцию (сложение, умножение, свертывание и т. д.) над компонентами тензоров в старой системе координат, затем, считая, что получившиеся величины — компоненты тензора, относим их к новой системе координат; 2) относим компоненты всех заданных тензоров к новой системе координат и лишь после этого производим над ними соответствующую операцию. Рассмотрим, например, умножение тензора первого ранга А на тензор второго ранга В: 1-й путь: AlBmn^DlmfC D\Prk^ci4crmck,nDlmn; 2-й путь: Aif^ci4Av Brk,=crmck,nBmnt DJ!),*,-^,^,; требуется доказать, что Dil'j'k' = D<fij'k'' Наряду с тензорами в кристаллофизике находят применение псевдотензоры. Тензор А ранга г — это набор Зг величин Akl ... *г> преобразующихся при переходе от старых координат к новым по закону Ai[^ifr = ci[k1-\ci>r\^kr, D1.15) где || См II — матрица преобразования. Псевдотензор же В отличается от тензора того же ранга А тем, что при переходе к новым координатам его компоненты Bkl ... kf дополнительно умножаются на определитель матрицы преобразования Д — det || d>k II: Я., , =Дс,/. ...с.г.В. . D1.16) Псевдотензоры низших рангов — псевдоскаляр и псевдовектор — рассмотрены в § 23. Псевдотензор нулевого ранга, или псевдоскаляр, — это однокомпо- нентная величина ф, преобразующаяся по закону i|/ = Ao|?; псевдотензор первого о ранга, или псевдовектор,—это аксиальный вектор а, компоненты которого^ преобразуются по формуле aif = kcifkak.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Свертывание тензоров» з дисципліни «Основи кристалофізики»
