Вычисления, проведенные в § 34, иллюстрируются простым геометрическим построением. Характеристическая поверхность тензора диэлектрической непроницаемости г\ 1 C5.1) — это эллипсоид с центром в начале координат, называемый оптической индикатрисой кристалла (можно доказать, что все собственные значения тензора г\ положительны, см. § 22). Рассмотрим центральное сечение оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта — эллипс, все точки которого удовлетворяют одновременно и уравнению индикатрисы C5.1) и уравнению плоскости волнового фронта, проходящей через начало координат, х3 = 0. Уравнение этого эллипса (в той же специальной координатной системе) Л11*1 + 2ТI2*1*2 + Л22*! = 1 • C5.2) Если направить оси Хх и Х2 специальной системы координат по собственным векторам двумерного тензора Ли Л12 Л12 Л22 то, поскольку собственные значения этого тензора равны /i(~.?), уравнение эллипса примет вид Отсюда ясно, что пA) и /гB) — длины главных полуосей эллипса. По этим же полуосям будут направлены векторы электрической индукции DA) и D{2). Таким образом, чтобы выяснить скорости и поляризации электромагнитных волн, распространяющихся в кристалле в любом заданном направлении, достаточно рассмотреть центральное сечение оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта, т. е. 216 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ ГГЛ IV плоскостью, нормальной к направлению луча. Направления главных полуосей этого сечения совпадают с направлениями векторов электрической индукции заданной волны, а длины этих главных полуосей равны их показателям преломления. Схема оптической индикатрисы приведена на рис. 35.1. S — центральное сечение, нормальное к направлению распространения волны, т — вектор волновой нормали. Полуоси эллипса по величине равны пA) и п^)- Для волн с показателем преломления пA) плоскость коле- баний вектора D^ проходит через DM и w, Рис. 35.1. Централь- - . _ ное сечение оптиче- ДЛЯ ВОЛНЫ С ПB) — Через О{г) И ГП. ской индикатрисы -- - одноосного кристал- Итак, чтобы определить скорость, показате- ла новогоОфро^таВОЛ" ли преломления и плоскости колебаний для волн, распространяющихся в кристалле в любом направлении, нужно знать величины полуосей оптической индикатрисы, ее форму и ее ориентацию в кристалле. Абсолютные величины полуосей оптической индикатрисы Nl9 N2, N3 *) — характерные параметры вещества. Напомним, что они зависят от частоты колебаний электромагнитного поля **). Что же касается формы и ориентации индикатрисы, то она полностью определяется симметрией кристалла (см. § 22). Категория кристалла Высшая Средняя Низшая Значения N wA) = wB)=^yvC> МП)фЫ12)ФЫ<а) Форма оптической индикатрисы Сфера Эллипсоид вращения Трехосный эллипсоид Оптические свойства кристалла Изотропные Одноосные Двухосные В кристаллах высшей категории оптическая индикатриса — сфера радиуса N = 1/]/т). Все центральные сечения круговые, все показатели преломления равны друг другу, нет двупрелом- ления. В отношении оптических свойств кристаллы высшей категории изотропны. В кристаллах средней и низшей категорий проходящий по любому заданному направлению монохроматический свет в об- *) Буквой п обозначаем показатели преломления в произвольном направлении, буквой N — показатели преломления в направлениях главных осей, или главные показатели преломления. **) А также от влияния внешних факторов, как-то — температуры, электрического поля, механического напряжения и т, п„ см гл. IX, § 35] ОПТИЧЕСКАЯ ИНДИКАТРИСА 217 щем случае распадается на две плоскополяризованные волны. Однако во всех этих кристаллах есть особенные направления — оптические оси, или бинормали, характеризующиеся тем, что нормальное к ним сечение оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта оказывается окружностью. При любом выборе осей Хг и Х2 в плоскости волнового фронта, нбрмальной к оптической оси, проекция тензора диэлектрической непроницаемости на эту плоскость имеет компоненты Н" 1, так что оба корня II и Ци II уравнения C4.13) совпадут: щх) = %> = г\п. Любой вектор, лежащий в плоскости волнового фронта, служит для этого двумерного тензора собственным вектором. Поэтому вдоль оптической оси может распространяться свет любой поляризации. У изотропных тел и кристаллов кубической системы, где оптическая индикатриса — сфера и все центральные сечения — круговые, любое направление можно считать оптической осью. У кристаллов средней категории оптическая индикатриса — эллипсоид вращения с уравнением (в кристаллофизической системе координат) ^ + |г=1. C5.4) No Ne Ось вращения эллипсоида совпадает с главной осью симметрии кристалла и является его единственной оптической осью, а его единственное круговое сечение, перпендикулярное к главной оси симметрии кристалла, имеет радиус No. Кристаллы средней категории оптически одноосны. Бинормаль оптической индикатрисы совпадает с главной осью симметрии кристалла. У кристаллов низшей категории оптическая индикатриса — эллипсоид общего вида; в системе координат, построенной на собственных векторах диэлектрических тензоров для данной частоты *), ее уравнение (Xl\*i(X2\*.(X3\* « (ж) +к) +Ы =1- Здесь Nu N2, N3 — главные показатели преломления: их обратные квадраты равны собственным значениям тензора диэлектрической непроницаемости. Эти индикатрисы имеют два круговых сечения и соответственно две бинормали, т. е. две оптические оси Рг и Р2 (рис. 35.2), — кристаллы низшей категории оптически дву- осны Уравнение C5.1) и его геометрическая интерпретация в виде оптической индикатрисы позволяют наглядно характеризовать оптические свойства кристаллов. *) Эта система совпадает с кристаллофизической лишь для ромбических кристаллов, у моноклинных кристаллов она имеет с кристаллофизической системой координат одну общую ось, 218 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ IV В кристаллах средней категории ориентировка оптической оси полностью задана симметрией кристалла: оптическая ось (бинормаль) всегда является направлением [ООП или [0001], т. е. главной осью симметрии кристалла, плоскость базиса @01) или @001) — оптически изотропным сечением. Из C5.4) следует, что в оптически одноосных кристаллах один из показателей преломления яA) не зависит от направления, второй ПB) — в разных направлениях различен. Первый из них принято называть «обыкновенным» и обозначать п0 (или No). Второй называют «необыкновенным» и обозначают пе *). Его значения, в зависимости от направления распространения волны, меняются от No до экстремального значения Ne. Таким образом, п0 = N09 пе меняется от No до Ne. Названия «обыкновенный» и «необыкновенный» обязаны своим происхождением тому, что у волны с показателем преломления п0 луч, как и у обычных волн в изотропной среде, совпадает с волновой нормалью, а у волны с показателем преломления пе луч отклоняется от волновой нормали (см. § 36). Величиной AN = Ne — No измеряется двупреломление кристалла. Если (Ne — No) > 0, одноосные кристаллы считаются оптически положительными; оптическая индикатриса имеет форму эллипсоида вращения, вытянутого вдоль оптической оси. Если (Ne — No) < 0, форма оптической индикатрисы — сплюснутый эллипсоид вращения, кристаллы оптически отрицательны (рис. 35.3). Примером одноосных положительных кристаллов является кварц, одноосных отрицательных — кальцит (исландский шпат), дигидро- фосфат калия или аммония (KDP или ADP). Сплюснутость или вытянутость эллипсоидов на рис. 35.3 сильно преувеличена. Лишь для таких сильно двупреломляющих кристаллов, как кальцит, селитра, рутил, различие Ne и No доходит до ~10%. Колоссальным двупреломлением в инфракрасной области спектра обладают селен, теллур. Для большинства же кристаллов различие Ne и No не превышает долей процента. Рис. 35.2. Центральное сечение оптической ин дикатрисы двуосного кристалла. *) От французских слов ordinaire — обыкновенный и extraordinaire — необыкновенный. $35] ОПТИЧЕСКАЯ ИНДИКАТРИСА 219 В кристаллах низшей категории оба показателя преломления «необыкновенны», т. е. величина их зависит от направления, а луч падающий и луч преломленный не лежат в одной плоскости. Кристаллы оптически двуосны. У оптической индикатрисы есть два круговых сечения. Линия пересечения круговых сечений — средняя главная ось оптической индикатрисы; она перпендикулярна к плоскости оптических осей. Большая и малая главные оси оптической индикатрисы — биссектрисы углов между оптическими осями. Симметрия оптической индикатрисы ттт. В кристаллах ромбической системы главные оси оптической индикатрисы совпадают с кристаллографическими осями, т. е. Оптическая ось Оптическая ось Рис. 35.3 Оптические индикатрисы положительного и отрицательного оптически одноосных кристаллов. с осями 2 или с нормалями к плоскости т, а плоскость оптических осей — с плоскостями A00), @01) или @10). В моноклинных кристаллах одна из осей индикатрисы всегда проходит вдоль оси 2 или по нормали к т, т. е. совпадает с осью Х2, а направления двух других осей, располагающихся в плоскости. @10), не зависят от симметрии кристалла. Плоскость оптических осей либо параллельна единственной плоскости симметрии, либо расположена в плоскости зоны, к которой принадлежит ось Х2. Наконец, в триклинных кристаллах в общем случае ориентация индикатрисы никак не связана с симметрией кристалла и ее приходится определять для каждого вещества. Стереографические проекции оптических осей и главных осей индикатрисы кристаллов низшей категории представлены на рис. 35.4. Для обозначения главных показателей преломления, соответствующих полуосям оптической индикатрисы кристалла, иногда 220 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ ГГЛ TV используют условные стандартные обозначения Ng — наибольший показатель преломления, Nm — средний показатель преломления, Nр — наименьший показатель преломления. В таких обозначениях для одноосного кристалла величина двупреломления ДМ = =^ Ng — Npy а для двуосного Ng — Nmy Ng — Npt Nm — Npt но обычно двуосные кристаллы характеризуют только максимальной разностью AN = Ng — Np. Отметим, что величина двупреломле- ния и показатели преломления измеряются разными методами и с разной точностью. Рио. 35.4. Стереографические проекции осей индикатрисы и плоскостей оптических осей в двуосных кристаллах: ромбических (а, б, в), моноклинных {г, д) и триклинных (е) Угол V между большой главной осью оптической индикатрисы двуосного кристалла и оптической осью определяется формулой /N-p2- "V Nm*- Г" 2> C5.6) а угол между оптическими осями равен 2V. Принято считать двуос- ный кристалл оптически положительным, если 2V <; 90° и большая главная ось индикатрисы является биссектрисой острого угла, а малая — тупого; двуосный кристалл оптически отрицателен, если 2V > 90°, большая главная ось индикатрисы является биссектрисой тупого угла, а малая — острого. Если средний показатель преломления Nm близок к наибольшему Ng или наименьшему Npt то угол V оказывается близок к 0 или 90°, а кристалл по своим оптическим свойствам приближается соответственно к положительным или отрицательным одноосным кристаллам. Напротив, если средний показатель преломления Nm удовлетворяет равенству § 36] ВОЛНЫ И ЛУЧИ. ЭЛЛИПСОИД ФРЕНЕЛЯ 221 оптические оси взаимно перпендикулярны (V = 46°), кристалл не является ни положительным, ни отрицательным и по своим оптическим свойствам максимально далек от одноосных кристаллов. Заметим, что все эти определения имеют смысл при заданной длине волны света и при определенной температуре. Из-за дисперсии света возможны случаи, когда одно и то же вещество оптически положительно для одной длины волны и отрицательно для другой (см. ниже, § 39). Итак, для полной характеристики оптических свойств кристаллов надо измерять следующие величины: Для кристаллов высшей категории — N, Для кристаллов средней категории — Ng, Np, оптический знак, Для кристаллов низшей категории — Ng, Nm, Np. Кроме того, для кристаллов низшей категории нужно определить ориентировку главных осей оптической индикатрисы и направления бинормалей. В заключение еще раз подчеркнем глубокое различие между характером распространения электромагнитных волн в изотропных и в анизотропных средах. В изотропной прозрачной среде в каждом направлении могут распространяться световые волны любой поляризации, а значит, и смесь световых волн всевозможных поляризаций — естественный свет. Напротив, в анизотропной прозрачной среде в заданном направлении (если это не оптическая ось) могут распространяться лишь световые волны двух строго определенных поляризаций и притом с различными скоростями, естественный же свет (т. е., в сущности, свет произвольной поляризации) может распространяться только вдоль оптических осей. Как будет показано далее, различия в симметрии кристаллов приводят к различиям в характере поляризации распространяющегося в них света: для центросимметричных кристаллов характерна линейная поляризация, для нецентросимметричных — эллиптическая и циркулярная поляризация. Такой характер распространения света в кристаллах не связан ни со специфическими свойствами электромагнитных волн, ни с внутренним строением кристаллов, а только с их анизотропностью. Упругие волны, распространяющиеся в анизотропной среде, также поляризованы строго определенным образом (см. § 56).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Оптическая индикатриса» з дисципліни «Основи кристалофізики»
