Кристаллографические категории, системы и сингонии
В зависимости от геометрической симметрии, форм роста и от симметрии физических свойств кристаллы разделяются на категории, системы и сингонии. § 41 КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ КАТЕГОРИИ, СИСТЕМЫ 39 Прежде чем знакомиться с категориями, введем понятие об особенных направлениях в кристалле. Единственное, не повторяющееся в кристалле направление называется особенным или единичным *). Например, ось 6 в снежинке, ось 4 в четырехгранной пирамиде и в четырехгранной призме или ось 6 в шестигранном карандаше представляют собой особенные направления: никакими другими элементами симметрии, имеющимися в этих многогранниках, нельзя повторить их так, чтобы получить еще одну ось 4 или вторую ось 6. В кубе ось 4 не единственная, таких осей три и каждая из них может совместиться с другой такой же осью, например, путем отражения в любой из шести диагональных плоскостей симметрии куба. Не только оси симметрии, но и любое направление в кубе обязательно повторяется симметрично, т. е. в кубе нет особенных направлений. Повторяющиеся в кристалле направления, связанные между собой элементами симметрии, называются симметрически эквивалентными. В зависимости от числа особенных (единичных) направлений и от имеющихся осей симметрии кристаллы разделяются на три категории: высшая категория — нет особенных направлений, есть несколько осей симметрии порядка выше чем 2 (пример — куб); средняя категория — одно особенное направление, совпадающее с единственной осью симметрии порядка 3, 4 или 6, т. е. выше чем 2 (пример — трех-, четырех- и шестигранная призма); низшая категория — несколько особенных направлений, нет осей порядка выше чем 2 (пример — так называемая ромбическая призма (кирпичик), имеющая три оси 2). К высшей категории относятся кристаллы, у которых есть несколько осей симметрии порядка выше чем 2; в частности, обязательно есть четыре оси 3 и, кроме того, могут быть по три оси 4 или 4. Это высокосимметричные кристаллы. В них нет особенных направлений. Любому направлению в кристалле высшей категории соответствуют другие симметрически эквивалентные направления. Свойства кристалла в симметрически эквивалентных направлениях должны быть одинаковыми, поэтому анизотропия свойств у кристаллов высшей категории выражена наименее резко. Физические свойства кристаллов, описываемые тензором второго ранга (см. гл. III), т. е. электропроводность, теплопроводность, диэлектрическая проницаемость и др., в этих кристаллах изотропны, изометричны. К средней категории относятся кристаллы, у которых есть одно особенное направление, а именно, одна ось симметрии 3, 4 или 6 *) Определение относится не только к кристаллу, но и к любому симметричному многограннику. 40 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I (простая или инверсионная). Анизотропия физических свойств у этих кристаллов выражена значительно резче, чем у кристаллов высшей категории. К низшей категории относятся кристаллы, у которых нет осей симметрии порядка выше чем 2 и есть несколько особенных направлений. Это наименее симметричные кристаллы с наибольшей анизотропией свойств. В свою очередь, три категории разделяются на семь систем по признаку их характерной симметрии и по сочетаниям осей симметрии (см. § 3). Низшая категория делится на три системы *): триклинная («трижды наклонная») система — нет ни осей, ни плоскостей симметрии; моноклинная («однонаклонная») — есть лишь одна ось симметрии второго порядка, или одна плоскость симметрии, или и ось, и плоскость; ромбическая — у кристалла есть более одной оси второго порядка или более одной плоскости симметрии. Средняя категория подразделяется также на три системы: тригональная — одна основная ось симметрии 3 или 3; тетрагональная — » » » » 4 или 3; гексагональная — » » » » 6 или 6. Высшая категория состоит из единственной системы — кубической, которая характеризуется наличием четырех осей симметрии третьего порядка. Вместо подразделения на семь систем можно подразделять категории на шесть сингоний. Понятие сингоний совпадает с понятием системы для всех систем, кроме тригональной и гексагональной. Разделение на сингоний определяет выбор кристаллографической системы координат и характеризующей ее тройки базисных векторов аъ а2, a3i или, иначе говоря, метрики a, ft, с, а, р, у (см. рис. 1.5). Кристаллографические оси координат всегда выбираются по осям симметрии или по нормалям к плоскостям симметрии. Если нет соответствующих элементов симметрии, как в моноклинной и триклинной сингониях, оси координат выбираются по ребрам кристаллографического многогранника или по рядам кристаллической решетки. Примитивные элементарные ячейки, соответствующие каждой сингоний, показаны в первом столбце табл. 9.1 и в табл. 4.1. *) Кристаллографические термины образуются по большей части из немногих греческих слов: моно — 1, ди — 2, три — 3, тетра — 4, пента — 5, гекса — 6, гепта — 7, опта — 8, дека — 10, додека — 12, эдра — грань, гониа — угол, пинакс — доска, клино — наклоняю, скалена — косой, неравный, трапеца — стол, син — сходный. Разделение кристаллов на категории, сингонии и системы Таблица 4.1 со аз го S Т к S еГ О) о СО У СО Isl i»? о Сингония Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Гексагональная
Тетрагональная Кубическая Система Триклинная Моноклинная Ромбическая
Гексагональная Тригональная*)
Тетрагональная Кубическая *) При ромбоэдрической установке: а= Характерная симметрия Нет Ось 2 или плоскость симметрии Три оси 2 или три плоскости симметрии Ось 6 или 6 Ось 3 или 3 Ось 4 или $ Четыре оси 3 Форма элементарной ячейки Косоугольный параллелепипед Прямая призма с параллелограммом в основании Прямоугольный параллелепипед Призма с основанием в форме ромба с углом 120° Призма с квадратным основанием Куб Элементарная ячейка Оси координат афЬфс, аф$фуф№° афЬфс, a=Y= 90°^р афЬфс, a = р = у = 90° а=Ьфс, а = р = 90°, 7=120° а^Ьфс, а = Р = 7 = 90° а = р = у = 90° Принятое расположение осей По ребрам кристалла, c<.b<za 1. Ось Y вдоль оси 2 или нормальна к плоскости /72 2. Ось Z вдоль оси 2 или нормальна К /72, с<Ь<а Оси параллельны 2 или нормальны к /72, с < b <.a Главная ось параллельна Z, остальные в плоскости XY Оси параллельны трем осям 4 (или 4, или 2)
Параметры,
характеризующие вещество а : b : с, a, P, у а:Ь'.с, р, а : b : с, у a: b :с с: а а ромбоэдр. Характерные параметры вещества: а, а. 42 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I На рис. 4.1 показано, как выбираются оси координат в кристаллах семи систем. К высшей категории относится одна сингония — кубическая. Это единственная сингония, симметрии которой соответствует обычная декартова система координат а = b = с, а = |3 = у = 90°. Элементарная ячейка — куб. За оси координат принимают три П е) Рис. 4.1. Стандартные правила кристаллографической установки (стереографическая проекция): кубическая (а), тетрагональная (б), тригоиальная и гексагональная (в), ромбическая (г), моноклинная (д) и триклинная (е) системы. взаимно перпендикулярные оси 4 или 4 или 2. Кроме того, у кристаллов кубической сингонии обязательно имеются четыре оси 3 (пространственные диагонали куба) — это самый характерный признак кубических кристаллов. Понятия кубической системы и кубической сингонии совпадают. К средней категории относятся две сингонии: тетрагональная главная ось 4 или 4; гексагональная главная ось 6 или 6, или 3, или 3. Главная ось в этих сингониях всегда принимается за ось Z (Х3), оси X (Хх) и Y (Х2) расположены в плоскости, перпендикулярной § 4] КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ КАТЕГОРИИ, СИСТЕМЫ 43 к главной оси. Отрезки по осям X и Y здесь одинаковы (а = Ь), поэтому метрика кристаллов средней категории характеризуется отношением с/а; это отношение для разных веществ различно и является характерной константой вещества. Для тетрагональных кристаллов понятия системы и сингонии совпадают. Что же касается кристаллов гексагональной и триго- нальной системы *), то их можно описывать в одной, так называемой гексагональной системе координат: единственная ось 3 или 3 (три- гональная), 6 или б (гексагональная), принимается за ось Z. Оси X и У, расположенные в плоскости, перпендикулярной к оси Z, составляют между собой угол 120°; для симметрии к ним добавляют еще одну, четвертую ось U в той же плоскости и тоже под углом 120°, т. е. пользуются четырехосной системой координат. Элементарная ячейка этой сингонии составлена из трех примитивных ячеек (см. табл. 4.1 и 9.1). Для описания этих кристаллов можно также использовать трехосную (ромбоэдрическую) систему координат, оси которой идут по ребрам элементарного ромбоэдра, т. е. а = b =^ с, а = — р = у ф 90°. Характерной константой вещества служит угол а. Наиболее оправдано применение этой системы координат к триго- нальным кристаллам с ромбоэдрической решеткой Бравэ (см. § 9). В ромбической (орторомбической) сингонии (а Ф b Ф с, а = = р = у = 90°) пользуются прямоугольной системой координат с неодинаковыми отрезками, причем обязательно условие с < а < Ь. Оси координат проходят вдоль осей 2 или перпендикулярны к плоскости симметрии. В моноклинной сингонии а ФЬ фс, а = у = 90° Ф р, ось Y параллельна оси 2 или перпендикулярна к т, оси X и Z лежат в плоскости, нормальной к У, но их расположение и угол между ними не заданы элементами симметрии; они выбираются по рядам атомов в структуре или по ребрам внешней формы кристаллов. Возможно и другое расположение осей — так называемая вторая установка моноклинной сингонии, когда ось 2 или нормаль к т располагаются вдоль оси Z. В триклинной системе (а Ф b Ф с, а Ф§ Фу Ф 90°) все оси не заданы элементами симметрии, а выбираются по ребрам кристалла при обязательном условии с < # <Ь. Для низшей категории понятия сингонии и систем совпадают. Разделение кристаллов на категории, системы и сингонии приведено в табл. 4.1. Заметим, что в кристаллографии чрезвы- *) К сожалению, понятия сингонии и системы разделяются в литературе нечетко. Иногда тригональную систему считают подсистемой гексагональной системы, иногда смешивают понятия системы и сингонии и тогда говорят о 7 сингониях, в том числе о гексагональной и тригональной сингониях. Во всех случаях речь идет не о принципиальных различиях, а лишь о нечеткой терминологии, 44 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ I чайно важны правила установки, т. е. расположение элементов симметрии вдоль определенных осей координат, так как от этого зависит однозначность индицирования (см. § 12).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кристаллографические категории, системы и сингонии» з дисципліни «Основи кристалофізики»
