Простые операции симметрии — это отражения или вращения. Они описываются следующими элементами симметрии: Международный символ Плоскость симметрии т Оси симметрии* я(я = 2,_3,* 4, 6) Центр симметрии I (Здесь п означает порядок оси, т. е. 1, 2, 3, 4, 6, см. ниже.) Плоскостью симметрии (т) называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга, как предмет и его зеркальное изображение, как правая и левая рука. Например, в равностороннем треугольнике имеется три плоскости симметрии, перпендикулярных к плоскости треугольника: проекции их на плоскость треугольника показаны на рис. 3.1.% Если речь идет о симметрии обычного треугольника, т. е. геометрической фигуры, составленной из трех математических прямых линий, то больше плоскостей симметрии у него нет. Но если рассматриваемый треугольник — фигура материальная, то симметрия может оказаться сложнее. Если треугольник вырезан, например, из белой бумаги, так что лицевая и изнаночная стороны у него одинаковы, то тогда есть еще плоскость симметрии, совпадающая с плоскостью самого треугольника. Если же у треугольника «лицо» ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 27 Таблица 3.1 Элементы симметрии конечны фигур и их стандартные обозначения Название Плоскость симметрии Центр симметрии Оси симметри1 эотные ПОВО 3 инверсионн двойная тройная четверная шестерная тройная четверная шестерная
Обозначение
международное т I 2 3 4 6 3 4 6 Изображение по отношению к плоскости чертежа перпендикулярное II/= С • О 1 ▲ ■ а А Ф параллельное О с «о •—1 т ш Н ■ 28 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ Г \ Рис. 3.2. Три координатных и шесть диагональных плоскостей симметрии куба. и «изнанка» разные, например, с одной стороны он белый, а с другой — черный, то такой плоскости симметрии у него нет. В кубе (рис. 3.2) можно насчитать 9 плоскостей симметрии,, из них три проходят перпендикулярно к граням куба и шесть — по диагональным плоскостям. На рисунке справа показана стереографическая проекция плоскостей симметрии куба. Осью симметрии (п) называется прямая линия, при повороте вокруг которой фигура совмещается сама с собой. Элементарный угол поворота, т. е. наименьший угол поворота, приводящий фигуру в самосовмещение, содержится целое число раз в угле 2л — иначе фигура не совместится сама с собой при полном обороте. Число я, так называемый порядок оси, определяет, сколько раз фигура совмещается сама с собой при полном обороте вокруг оси. На рис. 3.1 изображены три равносторонних треугольника. У каждого есть ось симметрии третьего порядка (ось 3). У первого треугольника (а) есть, кроме того, еще три плоскости симметрии (перпендикулярных к плоскости чертежа), а у второго и третьего треугольников (б и в) плоскостей симметрии нет, у них есть только оси симметрии, правая или левая. Говоря о самих треугольниках как о материальных фигурах, мы можем определить их как симметричные правый и левый треугольники. Оси симметрии первого порядка (ось 1) есть у любой фигуры, геометрической или материальной: всякое тело, повернутое на 360° вокруг любого направления, полностью совмещается само с собой. Самой симметричной геометрической фигурой является шар: каждый из бесконечного множества его диаметров — это ось симметрии бесконечного порядка (оо); в свою очередь, через каждый диаметр проходит бесконечное множество плоскостей симметрии. У кругового конуса есть одна ось симметрии бесконечного порядка, совпадающая с его осью. Конус совмещается сам с собой, если повернуть его на любой угол вокруг этой оси. Кроме того, любая плоскость, проходящая через эту ось, служит для конуса плоскостью симметрии; таким образом, у конуса бесконечное множество плоскостей симметрии, проходящих вдоль его оси. Перейдем снова от геометрической фигуры к фигуре материальной. Пусть, например, конус заштрихован или оклеен плюшем, причесанным так, что все ворсинки заглажены в одну сторону, или — самое простое — пусть конус равномерно вращается вокруг своей оси. Конус по-прежнему будет совмещаться сам с собой при § 3] ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 29 повороте вокруг своей оси на любой угол, т. е. у него по-прежнему есть ось симметрии, но все плоскости симметрии пропадают: равно- мерное вращение изменило симметрию материальной фигуры. В природных объектах — цветах, плодах, раковинах и т. п.,. в геометрических фигурах, в произведениях искусства можно обнаружить оси симметрии любого порядка — от 1 до оо. В геометрических формах кристаллов возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4 и 6. В кристаллах невозможны оси пятого порядка и порядка больше шести. Представим себе, что ось симметрии /г-го порядка С УГЛОМ ПОВОООТа а = Рис- 33 К доказательству невозможности оси / г симметрии пятого порядка в кристаллической = 2п/п ВЫХОДИТ ПерпеНДИ- среде кулярно к плоскости чертежа в точке Л, являющейся узлом в ряду Л, Л', Л", ..., показанном на рис. 3.3. Тогда, очевидно, в каждой гомологичной точке этого ряда тоже выходит такая же ось. Если поворот на угол а вокруг оси в точке Л переведет точку Л' в положение В\ то такой же поворот вокруг оси, выходящей в точке Л', переведет точку Л в положение В. Точки В, В' и т. п. должны образовать ряд гомологичных точек, параллельных ряду АА\ т. е. расстояние В В' = Nt, где £ —трансляция АА\ N — целое число. Так как BB' = t — — 2/cos а, то t-2tcosa = Nt, откуда 1-N cosa = 2 • Из условия — 1 находим все возможные значения: N cos a а Порядок оси симметрии —1 1 0е 1 0 1/2 60е 6 1 0 90е 4 2 -1/2 120° 3 3 [ 180е 2 Таким образом, условию периодичности и непрерывности ряда гомологичных точек удовлетворяют только оси симметрии поряд- 30 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. Т ков 2, 3, 4 и 6. Аналогично доказывается, что в плоской сетке и в пространственной решетке тоже могут существовать только оси симметрии тех же порядков. Оси симметрии пятого, седьмого и следующих порядков в кристаллах невозможны. Интересно отметить, что ось 5, невозможная в кристаллах, встречается в исследованных за последние годы биологических структурах («кристаллах живой природы»). «Можно думать, — пишет академик Н. В. Белов, — что пятерная ось является у мелких организмов своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации, первым шагом которой была бы «поимка» решеткой» (Белов, 1962). Рассматривая симметрию фигуры, нужно четко различать, говорим ли мы о симметрии только самой фигуры, без учета ее окружения, или же о симметрии фигуры и ее окружения. Формы реальных кристаллических многогранников всегда несут на себе отпечаток условий роста и симметрии кристаллообразующей среды. Но в этой книге мы будем рассматривать симметрию идеального кристаллического многогранника, не учитывая его окружение. В геометрической фигуре может быть несколько осей симметрии разных порядков наряду с плоскостями и другими элементами симметрии. Например, у куба есть три оси 4 (они проходят через центры граней, как оси прямоугольной системы координат), четыре оси 3 (через пары противоположных вершин) и шесть осей 2 (через середины противоположных ребер). Рассмотрим две точки на проекции (рис. 3.4). Точку Б можно получить симметрическим преобразованием из точки Л, отразив точку А в плоскости симметрии т (рис. 3.4, а) или повернув точку А вокруг оси симметрии 2, лежащей в плоскости проекции (рис. 3.4, б). Как узнать, какое же преобразование произошло на самом деле? Различие очевидно, если симметрично поворачивать или отражать не точку, а материальную фигурку: треугольник, у которого лице- Рис. 3.4. Точка (слева) и материальный треугольник с лицевой (белой) и ночной (черной) сторонами (справа) симметрично преобразуются плоскостью симметрии, перпендикулярной к плоскости чертежа («), осью 2, лежащей в плоскости чертежа (б), плоскостью симметрии, совпадающей с плоскостью чертежа (в) § 3] ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 3t вая сторона — белая, изнанка — черная. Ось 2 (рис. 3.4, б) поворачивает треугольник «с лица на изнанку», а плоскость симметрии (рис. 3.4, а) отражает его, не поворачивая. Если треугольник отразится в плоскости симметрии /л, совпадающей с плоскостью чертежа, то черная сторона совместится с белой; изображать это мы будем черной точкой на белом фоне (рис. 3.4, в) *). Центром симметрии A) (центром инверсии, центром обратного равенства) называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от нее и на равных расстояниях. Таким образом, симметрическое преобразование в центре симметрии — это отражение в точке, поворачивающее фигуру «с лица на изнанку» (рис. 3.5, а). На рис. 3.5, б показаны стереографические проекции двух граней кристалла, симметричных относительно центра симметрии, одна грань находится на верхней половине сферы проекций (кружок), вторая — на нижней (крестик). Такое же преобразование показано с по- & Я б) МОЩЬЮ ЧерНО-беЛОГО ТреуГОЛЬ- рис 8 , симметрическое преобразование НИКа: Отражение В Центре СИМ- с помощью центра симметрии (а); стерео- метрии поворачивает треуголь- !&*£^^^^ р р ру !&£^^^ ник «с лица на изнанку». ситр„\^ В кристаллах, у которых есть центр симметрии, не может быть полярных прямых. Полярной называется прямая, у которой свойства различны по разным направлениям (рис. 3.5, в). Рассмотрим, например, ось симметрии 4 в четырехгранной призме или в четырехгранной пирамиде. Два основания призмы одинаковы; при отражении в центре симметрии или в поперечной плоскости симметрии один конец оси 4 совместится с другим, и наоборот; различий в направлениях оси 4 нет — ось не полярна. В пирамиде тоже имеется ось 4, но никакими операциями симметрии, присущими самой пирамиде, нельзя совместить вершину пирамиды с ее основанием, т. е. один конец оси с другим ее концом — в пирамиде ось симметрии 4 полярна. Такие же оси 4 в кубе уже не полярны, потому что в кубе есть центр симметрии. Полярна, например, ось симмет- *) «Белый треугольник на передней полусфере, отразившись в плоскости симметрии, переходит на заднюю половину сферы и располагается точно под ним, так что его нельзя видеть. Проделав в белом треугольнике отверстие, мы увидим через него второй треугольник, который будет казаться черным. Таков смысл черной точки, поставленной в середине треугольника» (Шубников, 1951), 32 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ {ГЛ Г рии кругового конуса, но не полярна ось симметрии кругового цилиндра. Подробнее см. приложение В. Совокупностью т, 2, 3, 4, 6, I исчерпываются все возможные в кристаллах простые элементы симметрии. Каждый элемент симметрии фигуры порождает некоторую совокупность операций симметрии: ось 3 — повороты фигуры на 120° и 240°; ось 4 — на 90°, 180°, 270°; ось 6 — на 60°, 120°, 180°, 240°, 300°. Все повороты, порождаемые осью симметрии, можно рассматривать как результат повторения одного элементарного поворота; для оси 2 это поворот на 180°, для оси 3 — на 120°, для оси 4 — на 30°, для оси 6 — на 60°. В отличие от осей симметрии, обозначенных прямыми цифрами, элементарные повороты будем обозначать курсивным символом оси с индексом, указывающим, с какой координатной осью совпадает данная ось симметрии: 2Х, 32 и т. п. Используя кристаллографическое индицирование, запишем это так: 2fl00], 3[00i] и т. д. Результат повторения нескольких элементарных поворотов рассматривается -как соответствующая степень элементарного поворота; если, например, поворот на 60° обозначен 6Z, то повороты вокруг той же оси на 120°, 180°, 240°, 300° обозначаются соответственно 61, 6лг, 61, 61. Очевидно, справедливы равенства Операция отражения в плоскости симметрии т обозначается символом плоскости с индексом, указывающим ось координат, нормальную к плоскости: тх, или пг{100). Операция инверсии, т. е. отражение в центре симметрии 1, обозначается символом 1. Кроме того, к числу операций симметрии относится также отождествление, или единичная операция, — это «операция преобразования фигуры в себя путем оставления ее на месте» *). Обозначается она символом /. Если фигура имеет несколько элементов симметрии, совокупность совместно порождаемых ими операций симметрии соответственно усложняется. Рассмотрим пример. Пусть фигура имеет ось 3 и перпендикулярную к ней ось 2 (это симметрия кристаллов кварца — рис. 3.6). Ось 3 порождает повороты 3 и З2, а ось 2 — поворот 2Х. Так как каждая операция симметрии преобразует фигуру (идеальный многогранник кварца) в себя, результат нескольких последовательно проведенных операций симметрии — его называют произведением этих операций — также преобразует фигуру в себя и, следовательно, также является одной из операций симметрии. Рассмотрим результат последовательного проведения двух операций симметрии: сначала 32, потом 2Х. На проекции (рис. 3.7, а) этот же результат полу- *) (Шубников, 1951). Термин «отождествление» 1акже введен Л, В, Шубин ков ым, ПРОСТЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 33 чится в результате одной операции, а именно 2и. На рис. 3.7, а треугольник А поворотом на 120° вокруг оси 32 переводится в положение Б, а затем поворотом на 180° вокруг оси 2Х — в положение В. Но перевести А в В можно также и сразу поворотом вокруг оси 2и. Это записывают так: 2хЗг = 2и. Справа пишут ту операцию, которая производится раньше. Порядок записи существен: рис. 3.7, б показывает, что изменение порядка операций приводит к другому результату: ЗД* = 2У. Действительно, на рис. 3.7, б треугольник Л Рис З.б. Кристалл кварца левый и правый и стереографическая проекция его элементов симметрии поворотом на 180° вокруг оси 2Х переводится в положение Г, а затем поворотом на 120° вокруг оси Зг — в положение Е\ можно и непосредственно перевести А в Е поворотом на 180° вокруг оси 2У. Результаты всевозможных пар последовательно проведенных операций симметрии кристалла собраны в таблице умножения (как будет объяснено в § 5, это таблица умножения группы 32). Сомножители Левый / Зг Ч 2Х 2у 2„ Правый / зг Ч 2Х 2у 2„ Зг Зг ч 1 2и 2Х 2у 4 ч 1 Зг 2у 2„ 2Х 2х 2Х 2у 2„ 1 зг Ч \ 2у 2а 2Х Ч 1 Зг 2и 2» 2Х 2у зг ч 1 Как видно из таблицы, из наличия у кристалла кварца осей Зг и 2Х вытекает наличие у него еще двух элементов симметрии — осей 2У и 2и. Таким образом, если перпендикулярно к оси симметрии 3 проходит ось 2, то всего имеется три оси 2, перпендикулярных 2 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская 34 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I к оси 3. На этом частном примере выведена теорема 1 об умножении операций симметрии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Простые конечные операции симметрии» з дисципліни «Основи кристалофізики»
