Если деформации (ij, возникающие при приложении к твердому телу механического напряжения (kl, малы, то они пропорциональны этим напряжениям (закон Гука): (xx=sxxxx(xx+sxxyy(yy+sxxzz(zz+sxxzy(zy+sxxzx(zx+sxxxy(xy (yy=syyxx(xx+syyyy(yy+syyzz(zz+syyzy(zy+syyzx(zx+syyxy(xy (zz=szzxx(xx+szzyy(yy+szzzz(zz+szzzy(zy+szzzx(zx+szzxy(xy (zy=szyxx(xx+szyyy(yy+szyzz(zz+szyzy(zy+szyzx(zx+szyxy(xy (zx=szxxx(xx+szxyy(yy+szxzz(zz+szxzy(zy+szxzx(zx+szxxy(xy (xy=sxyxx(xx+sxyyy(yy+sxyzz(zz+sxyzy(zy+sxyzx(zx+sxyxy(xy
или в краткой записи с учетом суммирования по повторяющимся индексам
(i = sijkl (kl ,
где sijkl – модули упругости (постоянные упругости, постоянные упругой податливости), Можно написать и обратное соотношение, связывающее механическое напряжение и механическую деформацию:
(kl = cklij (ij ,
где cklij – упругие постоянные (константы жесткости). Модули упругости sijkl и упругие постоянные cklij являются элементами тензора IY ранга, связывающего два тензора второго ранга. Полное число элементов тензора четвертого ранга равно 34=81. Однако, поскольку тензор механического напряжения и тензор деформации симметричные тензоры (т.е. инвариантны относительно перестановки значков), компоненты тензора упругих постоянных также инвариантны относительно перестановок двух пар индексов i(j и k(l , так что из 81 компонент независимыми остаются только 36. Физический смысл отдельных компонент можно понять, предполагая, что на кристалл действуют различные простые напряжения. При приложении чистого сдвигового напряжения (12=(21 ((12 не может быть в отсутствие объемных моментов приложено без (21) элемент (11 тензора деформации был бы равен (здесь использована замена x(1, y(2, z(3):
(11=s1112(12+s1121(21=(s1112+s1121)(12.
Все сказанное для тензора модулей упругости sijkl справедливо также и для тензора упругих постоянных cklij.
Благодаря симметричности sijkl и cklij по первым двум и последним двум индексам, можно применить более короткую запись с использованием так называемых матричных обозначений. В этой записи пары первых и последних индексов заменяются одним индексом, пробегающим значения от 1 до 6 по следующим правилам:
Тензорные обозначения 11 22 33 23,32 31,13 12,21 Матричные обозначения 1 2 3 4 5 6.
При этом для тензора упругой податливости sklij вводятся множители 2 и 4 следующим образом: sijkl = smn при m,n=1,2,3 2sijkl = smn при m,n=4,5,6 4sijkl = smn при и m и n=4,5,6.
Для тензора упругих постоянных cijkl множители 2 и 4 вводить не нужно, т.е. всегда cijkl = cmn. Тензор механических напряжений и деформаций в матричной записи выглядит так:
Закон Гука, следовательно, более кратко можно записать следующим образом:
(I = sij(j (I = cij (j i, j=1,2,3,4,5,6.
Таблицы |smn| и |сmn| представляют собой квадратные матрицы 6х6 и, разумеется, не являются, несмотря на наличие двух индексов, тензорами II ранга. Поскольку матрицы коэффициентов |smn| и |сmn| симметричны, число назависимых упругих констант может быть только 21 (6 диагональных элементов и (36–6)/2=15 недиагональных).Это можно показать, рассматривая энергию деформированного тела. Действительно, при упругой деформации твердого тела, выполненная работа идет на увеличение свободной энергии деформированного кристалла и должна выражаться через величину деформации (ij и упругие постоянные cijkl. Рассмотрим малый куб кристалла с единичным ребром, на который действуют компоненты механического напряжения (ij . Если в рассматриваемом кубе возникает только деформация сжатия., т.е. компоненты деформации (xx, (yy, (zz изменяются соответственно на ((xx, ((yy, ((zz,, то работа производится только нормальными компонентами напряжений и поэтому равна:
(W1=(xx((xx+(yy((yy+(zz((zz
Если же рассматриваемый куб претерпевает и деформацию сдвига, то противоположные грани куба смещаются в противоположных направлениях на величину ((xy, ((xz и ((yz , а компонента силы, действующая на грани равняется (xy, (xz и (yz , так что работа этих сил равна:
(W2=(xy((xy+(xz((xz+(yz((yz .
В итоге полная запасенная энергия деформации (или выполненная работа) на единицу объема в тензорной свернутой записи равна:
(W = (ij ((ij i, j =1,2,3; (W =(k ((k k=1,2,3,4,5,6.
Если выполняется закон Гука, это уравнение принимает вид:
(W = cijkl (ij ((kl или (W =cmn (n ((m.
Следовательно,
поскольку W есть функция состояния тела, определяемого компонентами деформации, то порядок дифференцирования не имеет значения, так что левая сторона соотношения симметрична по перестановке индексов k(l. Поэтому ckl=clk и, разумеется, skl=slk, и благодаря симметричности матриц число независимых констант жесткости и податливости уменьшается до 21.
Упругие волны в кристалле
Случайные флюктуации деформации в кристалле приводят к появлению напряжений, вызывающих распространение деформаций в среде. Если ( – плотность кристалла, и на элементарный объем (x(y(z действуют силы, выраженные через напряжения (ij, то можно написать уравнения движения среды вдоль направления x (см. рис.16):
.
Рис.16. Неравновесные напряжения в макроскопическом кубе кристалла, возникающие в результате флюктуаций и вызывающие неравновесную деформацию среды и как следствие механические колебания в кристалле. Показаны механические напряжения, действующие на все грани куба вдоль направления x. Силы, действующие на эти грани, равны произведению величины напряжения на площадь грани, так что легко написать уравнение движения среды вдоль оси x. Аналогично для направлений y и z: ((d2u/dt2)=(d(xx/dx)+(d(xy/dy)+(d(xz/dz) ((d2v/dt2)=(d(yx/dx)+(d(yy/dy)+(d(yz/dz) ((d2w/dt2)=(d(zx/dx)+(d(zy/dy)+(d(zz/dz)
В краткой матричной записи
((d2ui/dt2)=(d(ij/dxj), i,j=1,2,3.
Поскольку напряжения (ij по закону Гука могут быть выражены через деформации (kl, а деформации через смещения uk, то : (ij=Cijkl(kl ;
Уравнения движения тогда будут выглядеть так: (d(ij/dxj)=Cijkl (d2ul/dxidxj). Здесь необходимо иметь в виду суммирование в правой части по индексам j,k,l. Это волновое уравнение, описывающее распространение упругих волн в анизотропной среде, называется уравнением Кристофеля. В частном случае кубического кристалла это уравнение можно записать для компоненты u1=u, принимая во внимание вид тензор упругости.
В рамочку взяты отличные от нуля (для кубического кристалла) компоненты тензора упругости, причем связь между отдельными компонентами следующая: C11=C22=C33; C44=C55=C66; C12=C13=C23. Уравнения движения среды можно непосредственно получить из * :
((d2u/dt2)=C11(d(xx/dx)+C12[(d(yx/dx)+(d(zz/dx)]+2C44[(d(xy/dy)+(d(xz/dz)] Поскольку (xx=du/dx;
Разумеется, это уравнение можно получить, используя общее выражение уравнения Кристофеля. Одним из возможных решений может служить продольная волна u=А(exp[i(( t–kx)] со смещением вдоль x и распространяющаяся вдоль направления x. Подставляя это решение в уравнение, получим
–2(( = –k2C11 и
vl =( /k =(C11/()1/2 – скорость волны сжатия и разряжения среды в направлении x. Другое возможное решение u=A(exp[i(((t–ky)] – волна, распространяющаяся вдоль направления y. Подстановка его в уравнение дает –2((= –k2C44 и
vt = (/k =(C44/()1/2 , где vt – скорость поперечной волны, или волны сдвига. Существует еще одна волна, которая может распространяться с этой же скоростью в направлении оси z. Для кристаллов кубической, гексагональной, тетрагональной и орторомбической системы решения уравнения Кристофеля для волны, распространяющейся в единичном направлении Q(Q1,Q2,0) в плоскостях ортогональной системы координат xyz, даются следующим алгебраическим уравнением: (C55( Q12+C44( Q2 2– ()( ([(2–(C11( Q12+C22( Q22+C66((+(C11( Q12+C66( Q22)( (C66( Q22)( ( (C66( Q12+C22( Q22)–(C12+C66)( Q1( Q2]=0
Здесь Q1, Q2 – направляющие косинусы вектора распространения Q. Скорость распространения волны равна v=((/()1/2, где ( – линейная комбинация упругих констант кристалла, а ( – плотность кристалла. На рис.17 показана угловая зависимость скорости продольной LA и поперечных TA1 и TA2 волн в плоскости xz и zy при 273oС в кристалле ацетата лития, который относится к орторомбической системе Vh–mmm.
Рис.17. Индикатриса звуковых скоростей продольной LA и поперечной TA1 и TA2 волн в кристалле ацетата лития: а) в плоскости (100), б) в плоскости (010). Она получена решением кубического уравнения (полученного из уравнения Кристюфеля) для значения плотности кристалла (=1.38 г/см3 и для следующих величин упругих постоянных (в 1012дн/см2): C11=2.5, C22=6.0, C33=5.6, С44=0.8, С55=0.35, С66=0.4, C12=0.6, C13=0.4, C23=1.75. В произвольном направлении всегда имеется три значения скорости звука для волн LA, TA1 и TA2, которые определяются тремя корнями этого кубического уравнения (1,2,3: Vзв1,2,3=((1,2,3/()1/2. На рисунке а) показаны также элементы тензора упругих постоянных (четвертого ранга), определяющих скорость звука для данного направления в кристалле. Симметрия кристалла орторомбическая – D2h
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Закон Гука. Модули упругости и упругие константы» з дисципліни «Фізика кристалів»
