Поскольку тензор деформации – симметричный тензор второго ранга, его можно привести к диагональному виду, т.е. выбрать такие ортогональные оси, которые остаются ортогональными при данной деформации. Важно, что деформация тела не является определенным свойством тела, таким как диэлектрическая проницаемость (ij, поляризуемость (ij и т.д. Величина элементов тензора деформации (ij зависит от приложенной силы (механического напряжения), и поэтому направления главных осей тензора деформации никак не связаны с симметрией кристалла. Исключение составляет лишь деформация, возникающая в кристалле при нагревании, т.е. деформация при тепловом расширении кристалла. Внешнее воздействие в этом случае является ненаправленным (температура T – скаляр), и результирующая деформация согласуется с симметрией кристалла. Действительно, если при однородном нагреве температура кристалла возрастает на Т, то в кристалле появляется деформация eij=(ijТ, где (ij – симметричные тензор теплового расширения (второго ранга). Он может быть приведен к главным осям, так что существуют три главных направления и три главных коэффициента теплового расширения: e1=(1Т, e2=(2Т, е3=(3Т. Симметричным тензором II ранга описываются также такие свойства кристаллов, как диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость, диэлектрическая и магнитная восприимчивость. Во всех этих случаях идет речь о тензоре II ранга, связывающем между собою два вектора:
Тензор третьего ранга связывает вектор и тензор второго ранга и может описывать такие свойства кристаллов как прямой пироэлектрический эффект – появление поляризации Pi под действием механического напряжения (jk : Pi=dijk(jk, обратный пьезоэлектрический эффект – появление деформации (jk в кристалле под действием электрического поля Ej : (jk=d–1ijkEi. В этих выражениях dijk и d–1ijk – так называемый прямой (и обратный) тензор пьзоэлектрических констант, а в выражениях подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Тензор четвертого ранга связывает два тензора второго ранга и может описывать такие физические свойства как упругость, фотоупругость, электрострикцию. Вид тензора 4-го ранга, число отличных от нуля констант, сокращенную форму записи удобно будет продемонстрировать в следующем разделе на примере тензора упругости. Вид и ориентация тензора второго ранга (ij, (ij, (ij, (ij и других зависит от симметрии кристалла и должен согласовываться с симметрией кристалла (см. рис.15). Этот факт позволяет определять число независимых, отличимых от нуля компонент любого тензора второго ранга с помощью методов теории групп.
Рис.15. Поверхность второго порядка является характеристической для тензора второго ранга, поскольку компоненты тензора второго ранга при преобразовании координат преобразуются как коэффициенты квадратичной формы Sijxixj=1. Всегда можно найти систему координат, в которой характеристическая поверхность второго порядка будет иметь вид S1x12+S2x22+S3x32 = 1 и представляет собой: a) при S1,S2,S3(0 – эллипсоид, б) при S1,S2(0, S3(0 – однополостный гиперболоид, в) при S1,S2(0, S3(0 – двуполостный гиперболоид.
Общий метод заключается в следующем: матрицы линейных преобразований шести компонент симметричного тензора второго ранга образуют неприводимое представление группы преобразований симметрии любого из 32 кристаллических классов. Из этих шести компонент можно построить шесть новых (ортогональных и независимых) комбинаций, которые распадаются на шесть или меньше число совокупностей, члены которых преобразуются только друг через друга для всех операций симметрии группы. Они образуют базис нового и притом вполне приводимого представления группы кристалла. Характер любого преобразования в этом представлении равен характеру в представлении, определяемом компонентами тензора, поскольку оба представления эквиваленты.
С помощью общей формулы
ni=1/g(( h((®(((i)®
можно найти сколько раз ni данное i-ое неприводимое представление (в данном случае полносимметричное) с характерами ((i)® встречается в представлении, определяемым введенными переменными с характерами (®. В частности, в случае свойств, описываемых симметричным тензором II ранга, должны быть отличны от нуля только такие линейные комбинации составляющих тензора, которые обладают полной симметрией кристалла, т.е. преобразуются по полносимметричному неприводимому представлению. Таким образом, задача состоит в том, чтобы выяснить число таких комбинаций, т.е. сколько раз в данном приводимом представлении, определяемом компонентами тензора, встречается полносимметричное представление. В случае симметричных тензоров II, III и IY рангов характеры представлений даются следующими формулами (здесь С=cos(, а ( относится к правильной и неправильной операции симметрии):
II ранг: (®= 4С2(2С III ранг: (®= 8С3(8С2+2С IY ранг: (®=16С4(8С3–4С2+1 Характеры полносимметричного представления для любой операции симметрии равны единице ((o)®=1. В табл.12 показано вычисление числа независимых констант для тензора II,III и IY ранга для класса D2h=Vh ромбической системы.
