Выражение A37.11) определяет средний квадрат флуктуаци- онного смещения в каждой заданной точке двумерной кристал- лической системы. Более глубокое понимание свойств таких си- стем может быть достигнуто путем рассмотрения функции кор- реляции между флуктуациями в различных точках системы. Прежде всего заметим, что при Т = 0 двумерная решетка вполне могла бы существовать при любых размерах: расходи- мость интеграла A37.11) связана именно с тепловыми (Т ф 0) флуктуациями; пусть ро (г) — функция плотности этой систе- мы при Т = О2). Определим теперь корреляционную функ- цию флуктуации плотности при конечных, но достаточно низких температурах (малых по сравнению с дебаевской). В этих усло- виях в решетке возбуждены лишь длинноволновые колебания; другими словами, изменение функции плотности определяется в основном длинноволновыми флуктуациями. Пусть атомы в точках г решетки испытывают флуктуацион- ные смещения u®. Если функция u® мало меняется на расстоя- ниях порядка постоянной решетки (что соответствует интере- сующим нас флуктуациям с малыми волновыми векторами), то 1) То же самое относится к трехмерным телам с одномерной периодич- ностью, для которых интеграл A37.9) расходится логарифмически. 2) Здесь и ниже в этом параграфе г = (ж, у) — двумерный радиус-вектор в плоскости системы. § 138 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ В ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМАХ 497 изменение плотности в каждой точке пространства можно рас- сматривать как результат просто сдвига решетки на величину, равную местному значению вектора смещения. Другими слова- ми, флуктуирующая плотность запишется как р(г) = ро[т — u®], а корреляция между ее флуктуациями в различных точках ri и Г2 определяется средним значением <p(ri)p(r2)> = <po[ri - u(ri)]po[r2 - u(r2)]>. A38.1) Разложим периодическую функцию р(т) в ряд Фурье (ср. A33.2)): ()+5>гЬг A38.2) где b — векторы обратной решетки (плоской); из суммы выде- лен постоянный член ~р. При подстановке этих рядов в A38.1) и усреднении члены с произведениями ръръ' с Ь7 ф — Ь, как мы увидим ниже, выпадают. Произведение же с Ь' = — b дает в A38.1) вклад |pb|2exp[ib(ri - r2)](exp[-ib(ui - u2)]> A38.3) (для краткости пишем u(ri) = Ui, u(r2) = u2). Распределение вероятностей для флуктуации вектора сме- щения дается формулой A37.2), в которой AFn — квадратич- ный функционал от u®. Если рассматривать значения u® в различных (дискретных) точках пространства как различные флуктуирующие величины ха (а = 1,2,...), то это значит, что распределение вероятностей для них— гауссово. Тогда можно воспользоваться для усреднения в A38.3) формулой (см. задачу к § 111), что дает (exp[-ib(ui - u2)]) = ехр(-^Ъф1Хи), A38.4) где - им)) = 2(щщ) - (ицим) - {Щ2Щ\) (г = ri — г2). Остается подставить сюда Ui и U2 в виде разлож:е- ний A37.1). Заметив при этом, что средние значения (щ^щ^) равны нулю при к7 ф —к, а при к7 = — к они даются выраже- ниями A37.11), получим Хп(г) =tJ^ . 2A _ coskr)^^. A38.5) 498 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII Этот интеграл сходится при малых /с, поскольку множитель A — cos kr) со к2 при к —>> О1) . Со стороны же больших зна- чений к интеграл логарифмически расходится. Эта расходи- мость связана в действительности лишь с неприменимостью использованных приближений при больших к: при к > А;тах, /icfcmax ~ T (с—скорость звука; см. §110) флуктуации переста- ют быть классическими (при низких температурах это условие нарушается раньше, чем условие к ^> 1/а, где а—постоянная решетки). Замечая также, что при больших к член с быстро осциллирующим множителем cos kr в подынтегральном выра- жении может быть опущен, находим А](к) A38.6) (черта над Ац означает усреднение по направлениям вектора к в плоскости). Искомую корреляционную функцию мы получим теперь, подставив A38.6) в A38.3), A38.4) и просуммировав по Ь; асим- птотический закон убывания этой функции с расстоянием г определяется наименее быстро убывающими членами суммы: (p(n)p(r2)>-/o2cx)j^cosbr, аъ = ±ЬЬ{Ац, A38.7) где нужно выбрать члены с такими векторами Ь, для которых величина аъ имеет наименьшее значение. Таким образом, в двумерной решетке корреляционная функ- ция хотя и стремится к нулю при г —>• оо (в противоположность трехмерной решетке, где она стремится к конечному пределу), но лишь по степенному закону, причем тем более медленному, чем ниже температура2) . Напомним для сравнения, что в обычной жидкости корре- ляционная функция убывает по гораздо более быстрому, экспо- ненциальному закону (см. §116). Подчеркнем, что по своим механическим свойствам рассма- триваемые двумерные тела являются твердокристаллическими. ) Проследив за происхождением этого множителя, заметим, что он воз- ник в результате равенства Ъ' = —b в A38.3). Легко убедиться, что при Ь' ф — b сокращений в подынтегральном выражении не происходит и интег- рал расходится. Поскольку эти интегралы входят в показатель экспоненты (ср. A38.4)), то их расходимость приводит к обращению в нуль соответ- ствующих вкладов в корреляционную функцию. 2) Корреляционная функция такого вида была найдена Райсом (Т. М. Rice, 1965) для другого двумерного объекта (двумерного сверхпроводника), а для двумерной решетки— Янковичи (В. Jancovici, 1967) и В. Л. Березинским A971). § 139 СИММЕТРИЯ ПО ОРИЕНТАЦИИ МОЛЕКУЛ 499 Это видно уже из того, что они характеризуются несколькими упругими модулями, а не только модулем всестороннего сжа- тия как жидкость. Заметим также, что корреляционная функ- ция A38.7) анизотропна. Аналогичные, хотя и несколько более громоздкие вычисле- ния приводят к закону такого же типа и для корреляционной функции в трехмерной системе с функцией плотности р(х).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Корреляционная функция в двумерных системах» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
