Флуктуационно-диссипационная теорема для нескольких величин
ФДТ легко может быть обобщена на случай, когда рас- сматриваются одновременно несколько флуктуирующих вели- чин Xj. 444 ФЛУКТУАЦИИ Обобщенные восприимчивости определяются в таком случае по отклику системы на возмущение вида V = -Xifi{t) A25.1) и представляют собой коэффициенты в линейной связи меж- ду фурье-компонентами средних значений Xi(t) и обобщенных сил fi(t)\ %iu = aik(uj)fkuj. A25.2) Изменение энергии системы выражается через внешнее возму- щение согласно соотношению Ё = -fiXi. A25.3) Эта формула, как и A23.10), обычно служит в конкретных при- менениях теории для установления фактического соответствия между величинами Х{Ж j{. Спектральные плотности флуктуации вводятся по средним значениям симметризованных операторных произведений: -{хшХкш1 + xkLJ>xiuj) = 2n(xixk)UjS(u) + о/), A25.4) обобщающих выражение A22.8). Вычисление этого среднего как диагонального (пп) матричного элемента, аналогичное выво- ду A24.3), приводит к результату = 7Г т + {xk)nm(xi)mn8(oo + штп)]. A25.5) Пусть на систему действует периодическое возмущение, в котором 1 П{г) = \ише-ш1 + Ршег). A25.6) Отклик системы на это возмущение: Подставив A25.6), A25.7) в A25.3) и усреднив по периоду возму- щения, получим вместо A23.11) следующее выражение для дис- сипации энергии: Q = j(a*ik-aki)foifSk. A25.8) § 125 ФДТ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЛИЧИН 445 С другой стороны, вычисление, аналогичное выводу A24.7), дает Q = T^U ^2 foifok[(xi)mn(xk)nm6(uj + (л)пт)- т - (xi)nm(xk)mn6(uj + штп)], а сравнив с A25.8), получим °Чк ~ aki = ^^[()()S( + U>nm) - (Xj)nm(xk)mnS(u> + U>mn)]. A25.9) Наконец усреднив A25.5) и A25.9) по распределению Гиббса, как это было сделано в предыдущем параграфе, найдем следую- щую формулу, обобщающую флуктуационно-диссипационную теорему A24.9): (хоХк)и = -гН(ои.л — otjk) cth —. A25.10) Аналогично формулам A24.11), A24.12) можно выразить и формулу A25.10) через фиктивные случайные силы, действие которых дало бы результат, эквивалентный самопроизвольным флуктуациям величин Х{. Для этого пишем %iuj — Ot-ikjkuji Jiuj — ^ik Xkuj ^IZO.llJ и далее {JiJkjuj = ац akrn\xlxm)uj- Подставив сюда A25.10), получим (Ши = f К",1 -«^*)cth^. A25.12) Полученные результаты позволяют сделать определенные заключения о свойствах симметрии обобщенных восприимчиво- стей o.ik{uS) (Н. В. Callen, M.L. Barrash, J.L. Jackson, R.F. Gre- en, 1952). Предположим сначала, что величины Xi, xk инвариант- ны относительно обращения времени; тогда их операторы ?^, хк вещественны. Кроме того, будем считать, что тело не обла- дает магнитной структурой (см. примеч. на с. 456) и не нахо- дится во внешнем магнитном поле; тогда вещественны и вол- новые функции его стационарных состоянийх) . Поэтому бу- дут вещественны также и матричные элементы величин ж, а 1) Точные уровни энергии системы взаимодействующих частиц могут быть вырождены только по направлениям полного момента системы. Этот 446 ФЛУКТУАЦИИ учитывая эрмитовость матриц хпт1 имеем хпш Тогда правая, а потому и левая части равенства A25.9) симме- тричны по индексам г, к. Таким образом, а*к — aki = а*ы — щк или щк + а*к = aki + а^, т. е. мы приходим к выводу о симме- тричности вещественной части щк Но вещественная (afik) и мнимая (а"к) части каждой из ве- личин otik связаны друг с другом линейными интегральными соотношениями— формулами Крамерса-Кронига. Поэтому из симметричности a'ik следует симметричность также и а"к1 а по- тому и целиком щк. Таким образом, приходим к окончательному результату: aik(u>)=aki(u>). A25.13) Вид этих соотношений несколько меняется, если тело нахо- дится во внешнем магнитном поле Н. Волновые функции систе- мы в магнитном поле не вещественны, а обладают свойством ^*(Н) = ф(—Н). Соответственно для матричных элементов ве- личин х имеем и выражение в правой части A25.9) не меняется при переста- новке индексов г, к лишь при условии одновременного изменения знака Н. Поэтому мы приходим к соотношению с4(Н) - aki(H) = <4(-Н) - aki(-H) Еще одно соотношение дает формула Крамерса-Кронига A23.14), в силу которой имеет место связь вида aki = iJ{a.kj), где J—вещественный линейный оператор. Сложив это равен- ство с эрмитово-сопряженным равенством а*к = —iJ(a*k), полу- чим ^ * _1_ • т( * \ (все щк берутся здесь, разумеется, при одном и том же значе- нии Н). Отсюда видно, что если разность а\к — ак{ обладает каким-либо свойством симметрии, то тем же свойством обла- дает и сумма а*к + а^, потому и сами величины щк. Таким образом, а1к(ои;Н)=ак1(оо;-Н). A25.14) Пусть, наконец, среди величин х есть такие, которые меняют знак при обращении времени. Оператор такой величины чисто мнимый, и потому хпш = х*тп = —хшп. Если обе величины а^, источник вырождения можно исключить, предполагая тело заключенным в сосуд с неподвижными стенками. После этого уровни энергии тела будут невырожденными, а потому соответствующие им точные волновые функции могут быть выбраны вещественными. § 125 ФДТ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЛИЧИН 447 Хк относятся к такому роду, то весь вывод и результат A25.13) остаются неизменными. Если же одна из двух величин меняет знак при обращении времени, то при перестановке индексов г, к правая часть равенства A25.9) меняет знак. Соответственно вместо A25.13) получим ), A25.15) или для тела в магнитном поле -И). A25.16) Все эти соотношения можно, разумеется, получить и из фор- мулы A25.10) как следствие временной симметрии флуктуации. Так, если две величины xi и хк ведут себя одинаково по отно- шению к обращению времени, то в силу указанной симметрии величина {xiX^)^ вещественна и симметрична по индексам г, к (см. § 122). Тогда и правая часть формулы A25.10) должна быть симметрична по тем же индексам, и мы снова приходим к ре- зультату A25.13). Такой вывод свойств симметрии обобщенных восприимчивостей аналогичен выводу принципа симметрии ки- нетических коэффициентов в § 120; мы увидим ниже, что форму- лы A25.13)—A25.16) можно рассматривать как обобщение этого принципа. Связь обощенных восприимчивостей с кинетическими коэф- фициентами выясняется путем сопоставлений ФДТ с теорией квазистационарных флуктуации нескольких величин. Выпишем соответствующие формулы, не повторяя заново всех рассужде- ний, подобных произведенным в конце предыдущего параграфа для случая одной величины. Статические значения восприимчивостей связаны с коэффи- циентами разложения энтропии /3^ равенствами Поэтому смещение состояния равновесия при воздействии на си- стему статических сил /& определяется значениями Xi = aik@)fk = P^fk/T, Х{ = pikxk = fi/T. Макроскопические уравнения движения неравновесной системы, находящейся под действием квазистатических сил /&(?), можно представить в виде A25.17) отличающемся от A20.5) заменой Хк на Хк — fk/T. 448 ФЛУКТУАЦИИ Подставив в A25.17) xi(t) и fi(t) в виде периодических функ- ций A25.6), A25.7) (причем Х^ записываются в виде линейных комбинаций Xfr = fiklxl)-) получим откуда ввиду произвольности /om следуют соотношения между коэффициентами -iujaim + Ф или \)~1- A25Л8) Этим и устанавливается искомая связь между а^ и кинетиче- скими коэффициентами 7г/с- Величины /3ik по определению симметричны по своим индек- сам (как производные —d2S/dxidxk). Поэтому из симметрии а^ следует такая же симметрия 7г/о т-е- обычный принцип симме- трии кинетических коэффициентов. Рассматривая /д. в уравнениях A25.17) как случайные силы, получим для них (путем подстановки A25.18) в A25.12)) Если же определить случайные силы yi так, как это сделано в A22.20), то yi = Jikfk/T] для их спектрального распределения имеем {УгУк)и = Ык + 1ы)^ cth ^. A25.19) Это выражение отличается от A22.21) тем же множителем A24.19), обращающимся в единицу в классическом пределе.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Флуктуационно-диссипационная теорема для нескольких величин» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
