Невозможно получить общую формулу для спектрального распределения произвольных флуктуации, аналогичную форму- ле A22.9) для квазистационарных флуктуации. Однако в ряде случаев оказывается возможным связать свойства флуктуации с величинами, характеризующими поведение тела под действи- ем определенных внешних воздействий. При этом речь может идти о флуктуациях как классических величин, так и величин квантовой природы. Физические величины этой категории обладают тем свойст- вом, что для каждой из них существует такое внешнее воздей- ствие, которое описывается появлением в гамильтониане тела возмущающего оператора вида V = -xf(t), A23.1) где х — оператор данной физической величины, а возмущающая обобщенная сила f есть заданная функция времени. Квантовомеханическое среднее значение при наличии тако- го возмущения отлично от нуля (в то время как в равновесном состоянии в отсутствие возмущения х = 0) и может быть пред- ставлено в виде й/, где а — линейный интегральный оператор, 430 ФЛУКТУАЦИИ действие которого на функцию /(?) определяется формулой вида x(t) =af = J a®f(t - r)dr, A23.2) о где а(т) — функция времени, зависящая от свойств тела. Значе- ние х в момент времени t может, конечно, зависеть от значений силы / лишь в предшествующие (а не последующие) моменты времени; выражение A23.2) удовлетворяет этому требованию. О величине x(t) говорят как об отклике системы на внешнее возмущение. Всякое зависящее от времени возмущение может быть све- дено путем фурье-разложения к совокупности монохроматиче- ских компонент, зависящих от времени как e~iujt. Подставив в A23.2) / и х в виде /ше~гшг и хше~гшг, получим связь между фурье-компонентами силы и отклика в виде хш = a{uo)fUl A23.3) где функция а(ш) определяется как оо а(ш) = Гa(t)eiujtdt. A23.4) о Задание этой функции полностью определяет поведение тела под влиянием данного возмущения. Мы будем называть ot{uS) обобщенной восприимчивостью1) . Эта величина играет основ- ную роль в излагаемой теории, поскольку через нее выражаются, как мы увидим, флуктуации величины х. Функция а (о;), вообще говоря, комплексна. Обозначим ее ве- щественную и мнимую части через а' и а": а(ш) = а (со) + га"(со). A23.5) Из определения A23.4) сразу видно, что а(-со) =а*(ш). A23.6) :)В качестве примера укажем, что / может представлять собой внеш- нее электрическое поле, а ж — электрический дипольный момент тела. При этом а является электрической поляризуемостью тела. Определенная указанным образом величина а(ш) оказывается более удоб- ной, чем иногда используемый обобщенный импеданс Z(uo) = —l/ представляющий собой коэффициент в соотношении Д, = Z(uj)(x)u § 123 ОБОБЩЕННАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ 431 Отделяя здесь вещественную и мнимую части, находим а'(-ио) = а'(о;), а" {-ио) = -а"{ио), A23.7) т.е. а'{ио) — четная, а а"{ио)— нечетная функция частоты. При ио = 0 функция а"{ио) меняет знак, проходя через нуль (или в некоторых случаях через бесконечность). Следует подчеркнуть, что свойство A23.6) выражает собой просто тот факт, что отклик х должен быть вещественным при всякой вещественной силе /. Если функция f{t) чисто монохро- матическая и задается вещественным выражением /(?)=Re/oe = -[foe +/oe J, A23.8) то путем применения оператора а к каждому из двух членов получим х = \[а(ш)/ое-ш + а(-и,)/0*е-*]; A23.9) условие вещественности этого выражения совпадает с A23.6). В пределе со —>• оо функция а{ио) стремится к конечному ве- щественному пределу а^. Для определенности будем считать ниже, что этот предел равен нулю; отличное от нуля а^ требу- ет лишь очевидных незначительных изменений в некоторых из получаемых ниже формул. Изменение состояния тела под влиянием «силы» / сопровож- дается поглощением (диссипацией) энергии; источником этой энергии служит внешнее воздействие, а после поглощения те- лом она превращается в нем в тепло. Эта диссипация тоже мо- жет быть выражена через величину а. Для этого воспользуемся равенством dE _ Ш dt ~ dt ' согласно которому производная по времени от средней энергии тела равна среднему значению частной производной по времени от гамильтониана тела (см. §11). Поскольку в гамильтониане явно зависит от времени лишь возмущение V, то имеем — = -А A23.10) dt dt v J Это соотношение играет важную роль в применениях излагаемой теории. Если нам известно выражение для изменения энергии в том или ином конкретном процессе, то, сравнивая его с A23.10), можно установить, какая величина играет роль «силы» / по от- ношению к интересующей нас переменной х. 432 ФЛУКТУАЦИИ Подставив х и / из A23.8), A23.9) в A23.10) и усреднив по времени, мы получим среднюю величину энергии, диссипируе- мой (в единицу времени) в системе под влиянием монохромати- ческого возмущения; обозначим эту величину буквой Q. Члены, содержащие exp(±2io;t), обращаются при усреднении в нуль, и мы находимг) Q = ^(а* - а)|/0|2%"(о;)|/о|2. A23.11) Отсюда видно, что мнимая часть восприимчивости определяет диссипацию энергии. Поскольку всякий реальный процесс сопро- вождается некоторой диссипацией {Q > 0), то мы приходим к важному выводу о том, что для всех положительных значений переменной ио функция а" отлична от нуля и положительна. Оказывается возможным получить некоторые весьма общие соотношения для функции а {ио) путем использования математи- ческого аппарата теории функций комплексного перемен- ного. Будем рассматривать ио как комплексную переменную {ио = ио' + гио") и исследуем свойства функции а{ио) в верх- ней полуплоскости этой переменной. Из определения A23.4) и из факта конечности a{t) при всех положительных t следует, что а{ио) есть однозначная функция во всей верхней полуплос- кости и нигде не обращается в ней в бесконечность, т. е. не имеет особых точек. Действительно, при ио" > 0 в подынтегральном выражении в A23.4) имеется экспоненциально убывающий мно- житель ехр(—too"), а поскольку и функция a{t) конечна во всей области интегрирования, то интеграл сходится. Функция а{ио) не имеет особенностей и на самой вещественной оси {ио" = 0), за исключением, возможно, лишь начала координат. Полезно обратить внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции а {ио) в верхней полуплоскости является следствием физического принципа причинности. Последний проявляется в том, что интегрирование в A23.2) производится лишь по вре- мени, предшествующему данному моменту ?, в результате чего в формуле A23.4) область интегрирования и распространяется от 0 до оо (а не от —оо до +оо). г) Если речь идет не о чисто монохроматической функции /(t),ao возму- щении, действующем в течение ограниченного промежутка времени (/ —»¦ 0 при \t\ —»¦ оо), то полная диссипация энергии за все время выражается через фурье-компоненты возмущения интегралом Qdt = - § 123 ОБОБЩЕННАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ 433 Из определения A23.4) очевидно, далее, что а(-ш*) =а*(ш). A23.12) Это есть обобщение соотношения A23.6), относящегося к ве- щественным значениям ио. В частности, для чисто мнимых зна- чений uj имеем: а(шп) = а*(га/7), т. е. на верхней мнимой полуоси функция а(ио) вещественна1) . Докажем следующую теорему: функция а(ио) не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полу- плоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на послед- ней же а(оо) монотонно убывает от некоторого положительного значения ао > 0 при uj = гО до нуля при uj = гоо. Отсюда же, в частности, будет следовать, что функция а(ио) не имеет нулей в верхней полуплоскости. Для доказательства2) воспользуемся известной теоремой теории функций комплексного переменного, согласно которой интеграл г 2тгг J аи а(и) — а взятый по замкнутому контуру С, равен разности между числом нулей и числом полюсов функции ot{uS) —а в области, ограничен- ной контуром. Пусть а — вещественное число, а в качестве С выберем контур, состоящий из вещественной оси и бесконечно удаленной полуокружности в верхней полуплоскости (рис. 53). Предположим сначала, что ао конечно. Поскольку в верхней по- луплоскости функция а (о;), а потому ot{uS) —а, не имеет полюсов, то указанный интеграл дает просто число нулей разности а — а, т. е. число точек, в которых ot{uS) принимает вещественное зна- чение а. Для вычисления интеграла пишем его в виде J_ f da 2тгг J a — а ' С производится кости комплексной переменной а, являющемуся отображением С причем интегрирование производится по контуру С в плос- :)В нижней же полуплоскости определение A23.4) неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция а(ш) в нижней полуплоско- сти может быть определена лишь как аналитическое продолжение выра- жения A23.4) из верхней полуплоскости. В этой области а(и) имеет, во- обще говоря, особые точки, в том числе точки ветвления, и для ее одно- значного определения может понадобиться разрез по нижней полуоси. Ра- венство A23.12) означает тогда лишь комплексную сопряженность значе- ний а(ш) на двух берегах разреза. 2) Излагаемое ниже доказательство принадлежит Н. Н. Мейману. 434 ФЛУКТУАЦИИ контура С из плоскости ио. Вся бесконечно удаленная полу- окружность отображается в точку а = 0, а начало координат (ио = 0) — в другую, тоже вещественную точку од- Правая же и левая вещественные полуоси ио отображаются в плоскости а в некоторые весьма сложные (вообще говоря, самопересекающие- ся) кривые, лежащие соответственно целиком в верхней и ниж- ней полуплоскостях. Существенно, что эти кривые нигде (кро- ме точек а = 0 и а = а$) не пересекают ось абсцисс, так как а не принимает вещественных значений ни при каком (кро- ме ио = 0) конечном вещественном значении ио. Ввиду этого свойства контура С полное изменение аргумента комплексного числа а — а при обходе вдоль него равно 2тг (если число а лежит между 0 и «о, как изображено на рис. 53) или нулю (если а лежит вне этого интервала) вне зави- симости от числа самопересе- чений контура. Отсюда следу- ет, что выражение A23.13) рав- но единице при 0 < а < а^ и ну- лю при всяком другом значении а. Таким образом, мы приходим к выводу, что функция а (со) в верхней полуплоскости ио принима- ет всего по одному разу всякое вещественное значение а, лежащее в указанном интервале (и ни ра- зу—значения, лежащие вне этого интервала). Отсюда прежде всего можно заключить, что на мнимой оси, где функция а(ио) веществен- на, она не может иметь ни макси- мума, ни минимума: в противном случае она принимала бы некото- рые значения по крайней мере дважды. Следовательно, на мни- мой оси функция а(ио) меняется монотонно, пробегая здесь и только здесь по одному разу все вещественные значения от «о до нуля. Если «о = оо (т.е. а(ио) имеет полюс в точке ио = 0), то изложенное доказательство меняется лишь в том отношении, что при движении (в плоскости ио) вдоль вещественной оси на- до обойти начало координат сверху по бесконечно малой полу- окружности. Изменение контура С1 на рис. 53 можно предста- влять себе при этом как результат отодвигания «о на бесконеч- ность. Функция а(ш) на мнимой оси в этом случае монотонно убывает от +оо до 0. + ОО § 123 ОБОБЩЕННАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ 435 Далее выведем формулу, связывающую мнимую и веществен- ную части функции а(со) друг с другом. Для этого выберем какое-либо положительное вещественное значение со = coq и проинтегрируем выражение а/(со — coq) по контуру, изображенному на рис. 54. с Этот контур идет вдоль всей веще- ственной оси, огибая сверху точку со = = coq > 0 (а также точку со = 0, ес- ли последняя является полюсом функ- _оо - Шо ц_^ ции а(со)). Контур замыкается бес- конечно удаленной полуокружностью. Рис. 54 На бесконечности а —>> 0, и потому функция а/(со — coq) стре- мится к нулю быстрее, чем 1/со. Поэтому интеграл J UJ — UJo С сходится; поскольку же а(со) не имеет особых точек в верх- ней полуплоскости, а точка со = coq исключена из обла- сти интегрирования, то функция а/(со — coq) аналитична во всей области внутри контура G, и написанный интеграл равен нулю. Интеграл по бесконечно удаленной полуокружности обраща- ется в нуль сам по себе. Точку же coq обойдем по бесконечно малой полуокружности (радиуса р —>> 0). Обход происходит по часовой стрелке и дает в интеграле вклад, равный — гтга(соо). Если «о конечно, то обход начала координат излишен и ин- тегрирование вдоль всей вещественной оси дает, таким обра- зом, UOQ—p (X) lim< / dco + / dco \ — гтга(соо) = 0. p—)>() / uj — ujo I uj — ujo Первый член есть интеграл от — оо до +оо, понимаемый в смысле главного значения. Отмечая это обстоятельство, как принято, перечеркнутым знаком интеграла, имеем (X) ))= / ^—du. A23.14) J UJ — UJO Переменная интегрирования со пробегает здесь лишь веществен- ные значения. Переобозначим ее буквой ?, а буквой со обо- значим заданное вещественное значение coq] напишем также 436 ФЛУКТУАЦИИ функцию q.{uS) вещественного переменного ио в виде а = о!-\-гап'. Отделяя в A23.14) вещественную и мнимую части, найдем окон- чательно следующие две формулы: оо 7Г J $-Ш A23.15) оо а"(и) = -- { ^^d?. A23.16) 7Г J ?-U — оо Эти соотношения (которые называют дисперсионными) бы- ли впервые получены Крамерсом и Кронигом (Н. A. Kramers, R.L. Kronig, 1927). Подчеркнем, что единственным существен- ным свойством функции а (о;), использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплос- кости1). Поэтому можно сказать, что формулы Крамерса- Кронига (как и указанное свойство функции а (о;)) являются прямым следствием принципа причинности. Воспользовавшись нечетностью функции а"(?), можно пере- писать A23.15) в виде оо оо К J € -U 7Г J или оо a>{u)=2-f^Ldi. A23.17) О Если функция ol(uj) имеет полюс в точке ио = 0, вблизи кото- рой а = iA/cjj то обход этого полюса по полуокружности дает в интеграле дополнительный вещественный член— А/ио, кото- рый должен быть прибавлен к левой части равенства A23.14). Соответственно такой же член появится и в формуле A23.16): A23.18) 7Г J 4 ~~ ^ ^ — оо 1)Что касается свойства а —»¦ 0 при ио —>- оо, то оно не является суще- ственным: если бы предел аоо был отличен от 0, то надо было бы просто рассматривать разность а — «оо вместо а с соответствующим очевидным видоизменением формул A23.15), A23.16). См. также задачу к §126. § 124 ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА 437 Формулы же A23.15) или A23.17) остаются без изменений. Выведем еще формулу, выражающую значения а(ио) на верх- ней мнимой полуоси через значения а" {ио) на вещественной оси. Для этого рассмотрим интеграл /: взятый по контуру, состоящему из вещественной оси и бесконеч- но удаленной полуокружности в верхней полуплоскости (uoq — вещественное число). Этот интеграл выражается через вычет подынтегрального выражения относительно полюса ио = iuoq. С другой стороны, интеграл по бесконечно удаленной полуокруж- ности исчезает, так что получаем ¦ duo = г 2 — ОО В левой части равенства вещественная часть интеграла обраща- ется в нуль в силу нечетности интегрируемой функции. Заменив также обозначения uoq и ио на ио и ?, получим окончательно: оо a(iuo) = - / ЩгЩа€- A23.19) о Если проинтегрировать обе части этого соотношения по duo, то получается оо оо Г a(iu) du = ! а"(ш) du. A23.20)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обобщенная восприимчивость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
