Уже много раз подчеркивалось, что физические величины, характеризующие равновесное макроскопическое тело, практи- чески всегда с очень большой точностью равны своим средним значениям. Однако, как ни малы отклонения от средних значе- ний, они все же происходят (величины, как говорят, флуктуи- руют) , и возникает вопрос о нахождении распределения веро- ятностей этих отклонений. Рассмотрим какую-либо замкнутую систему, и пусть х есть некоторая физическая величина, характеризующая систему в целом или какую-либо ее часть (в первом случае это, конечно, не должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы строго постоянной, как, например, ее энергия). В дальнейшем будет удобно полагать, что среднее значение ~х уже вычтено из ж, так что везде ниже предполагается, что х = 0. Изложенные в § 7 рассуждения показали, что если рассма- тривать формальным образом энтропию системы как функцию от точных значений энергий подсистем, то функция es будет давать распределение вероятностей для этих энергий (форму- ла G.17)). Легко, однако, заметить, что в этих рассуждениях не были использованы какие-либо специфические свойства энер- гии. Поэтому такие же рассуждения приведут к результату, что вероятность величине х иметь значение в интервале между х и x + dx пропорциональна es(x\ где S(x) —энтропия, формально рассматриваемая как функция точного значения х. Обозначив вероятность через w{x)dx1 имеем1) w(x) = const -еад. A10.1) Прежде чем приступить к исследованию этой формулы, остановимся на вопросе о пределах ее применимости. Все рас- суждения, которые привели к формуле A10.1), неявно подразу- 1) Эта формула была впервые применена к исследованию флуктуации А. Эйнштейном A907). § 110 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА 381 мевают классичность поведения величины х1) . Поэтому надо найти условие, допускающее пренебрежение квантовыми эф- фектами. Как известно из квантовой механики, между квантовыми не- определенностями энергии и какой-либо величины х имеет место соотношение АЕАх ~ Нх, где х — классическая скорость изменения величины х (см. III, §16). Пусть т—время, характеризующее скорость изменения ин- тересующей нас величины ж, которая имеет неравновесное зна- чение2) ; тогда х ~ ж/т, так что Ясно, что говорить об определенном значении величины х мож- но лишь при условии малости ее квантовой неопределенности: Ах <С ж, откуда т Таким образом, квантовая неопределенность энергии должна быть велика по сравнению с Н/т. Энтропия же системы будет при этом иметь неопределенность Для того чтобы формула A10.1) имела реальный смысл, не- обходимо, очевидно, чтобы неточность энтропии была мала по сравнению с единицей: Т» J, г » |. A10.2) Это и есть искомое условие. При слишком низких температурах или при слишком быстром изменении величины х (слишком ма- лом т) флуктуации нельзя рассматривать термодинамически, и на первый план выступают чисто квантовые флуктуации. 1)Это не означает, конечно, что вся система должна быть классической. Другие (помимо х) относящиеся к ней величины могут иметь квантовый характер. 2) Время т может не совпадать со временем релаксации для установления равновесия по величине ж, а быть меньше него, если величина х приближа- ется к ж, испытывая в то же время колебания. Так, если речь идет об измене- нии давления в небольшом участке тела (с линейными размерами ~ а), то г будет порядка величины периода звуковых колебаний с длиной волны А ~ а, т. е. т ~ а /с, где с— скорость звука. 382 ФЛУКТУАЦИИ Вернемся к формуле A10.1). Энтропия S имеет максимум при х = х = 0. Поэтому as; дх х=0 -о ^ дх ж=0 Величина ж при флуктуациях очень мала. Разлагая S(x) в ряд по степеням х и ограничиваясь членом второго порядка, получим S(x) = A10.3) где /3 — положительная постоянная. Подставляя в A10.1), полу- чим распределение вероятностей в виде w [x)dx = Aexpf x2\dx. Нормировочная постоянная А определяется условием J w(x)dx = = 1; хотя выражение для w(x) относится к малым ж, но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с увеличени- ем |ж| область интегрирования можно распространить на все значения от — оо до +оо. Произведя интегрирование, получим А= 7/3/2^. Таким образом, распределение вероятностей для различных значений флуктуации х определяется формулой w(x)dx = л /— ехр( — —х1 )dx. A10.4) Распределение такого вида называется распределением Гаусса. Оно имеет максимум при х = 0 и быстро спадает с увеличени- ем |ж| симметрично в обе стороны. Средний квадрат флуктуации равен / J 2) = / x2w(x)dx = -. A10.5) Поэтому распределение Гаусса можно написать в виде w(x)dx = 1 : ехр (--^) dx. A10.6) /2тг(ж2) Как и следовало, w(x) имеет тем более острый максимум, чем меньше (х2). § 111 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЛИЧИН 383 Отметим, что по известному (х2) можно найти аналогичную величину для любой функции (р(). Ввиду малости х имеем1) :
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение Гаусса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
