Гравитационная потенциальная энергия тела Етр определя- ется, как известно, интегралом <pdV, A08.1) взятым по всему объему тела. Нам, однако, будет удобнее исхо- дить из другого представления этой величины, которое можно получить следующим образом. Представим себе, что тело посте- пенно «составляется» из вещества, «приносимого» из бесконеч- ности. Пусть М(г) есть масса вещества, заключенного внутри сферы радиуса г. Предположим, что масса М(г) с некоторым определенным г уже принесена из бесконечности; тогда рабо- та, необходимая для доставления дополнительной массы dM®, равна потенциальной энергии этой массы (распределенной в виде шарового слоя радиуса г и толщины dr) в поле массы М(г), т. е. GM® ,, ,, , г Поэтому полная гравитационная энергия сферы радиуса R есть Етр = ~G f ^ dM®. A08.2) Продифференцировав условие равновесия A07.2), получим dP ,d(p n v Ь га — = 0 dr dr (дифференцирование должно производиться при постоянной температуре, (д/л/дР)т = v— объем, отнесенный к одной ча- стице). Производная —dcp/dr есть сила тяготения, действую- щая на единицу массы на расстоянии г от центра; она равна —GM®/r2. Вводя также плотность р = m'/v, получаем l_dP = _GM^_ р dr r 374 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ. XI Выразив отсюда GM®/r через dP/dr и написав dM® = = р(г) • 4тгг2с/г, представим выражение A08.2) в виде Интегрируя теперь по частям (и учитывая, что на границе тела P® = 0 и что г3Р —>> 0 при г —>> 0), получим R Егр = -12тг Г Pr2dr = -3 Г Р dV. A08.4) о Таким образом, гравитационная энергия равновесного тела мо- жет быть выражена в виде интеграла от его давления по объему. Применим эту формулу к рассмотренным в предыдущем па- раграфе телам из вырожденного ферми-газа. При этом произ- ведем вычисления в общем виде, положив, что химический по- тенциал вещества пропорционален некоторой степени его плот- ности: м = Kpll\ A08.5) Имея в виду, что d/j, = vdP = —cLP, находим давление Р Р = ( Кл ,р1+1/п. A08.6) (п+1)т' В условии равновесия (/i/W) + ср = const постоянная в пра- вой части равенства есть не что иное, как потенциал на границе тела, где /i обращается в нуль; этот потенциал равен —GM/R (М = M® — полная масса тела), так что можно написать: fi GM Подставляем это выражение в интеграл A08.1), определяю- щий гравитационную энергию, и, воспользовавшись формула- ми A08.5), A08.6), находим Егп = -—— / updV - —— pdV = — PdV - l f лтл GM Г = 7 / updV / 2m' J PP 2R J VrP o™f I ri op I ' о / - 2R Наконец, выразив интеграл в правой части равенства через согласно A08.4), получим Егр = --^^. (Ю8.7) 5 — п R § 109 РАВНОВЕСИЕ НЕЙТРОННОЙ СФЕРЫ 375 Таким образом, гравитационная энергия тела выражается про- стой формулой через его полную массу и радиус. Аналогичную формулу можно получить и для внутренней энергии тела Е. Внутренняя энергия, отнесенная к одной части- це, равна \i — Pv (при равной нулю температуре и энтропии); поэтому энергия, отнесенная к единице объема, есть т (в последнем равенстве использованы формулы A08.5), A08.6)). Поэтому внутренняя энергия всего тела Е = п [PdV = --Erp = -J^GMl. (Ю8.8) J 3 5 — п R Наконец, полная энергия тела ^полн — & т ^гр — — — — • цио.у; Для нерелятивистского вырожденного газа имеем п = 3/2, так чтох) 6GM2 г, 3GM2 г, 3GM2 р 7 R 7 7 R 7 7 R В ультрарелятивистском же случае имеем п = 3, так что Егр-Е = -=;^-, Яполн = 0. A08.11) Полная энергия равна в этом случае нулю в соответствии с из- ложенными в предыдущем параграфе качественными соображе- ниями о равновесии такого тела2) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Энергия гравитирующего тела» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
