Тело, помещенное во внешнее магнитное поле Н, характе- ризуется еще одной макроскопической величиной — приобрета- емым им в поле магнитным моментом 5DT. Для идеального газа этот момент -9Я = Nm (где т —средний магнитный момент от- дельной частицы — атома или молекулы), так что его вычисление требует рассмотрения поведения в магнитном поле лишь отдель- ных частиц газа. Подчеркнем также, что поскольку намагни- ченность разреженной среды— газа— мала вместе с ее плот- ностью, то можно пренебречь влиянием среды на поле, т. е. счи- тать, что действующее на каждую частицу поле совпадает с внешним полем Н. Изменение гамильтониана газа при малом изменении <Ш внешнего поля есть 6Н = —SPTEH, где SPT — оператор магнитного момента газа1). Согласно формуле A5.11) (ср. также A1.4)), в которой под внешним параметром А надо понимать здесь поле Н, имеем поэтому (Щ E2.1) 1) В классической механике малое изменение функции Лагранжа систе- мы частиц при изменении поля ?Н есть SL = 2DT(g, (j)#H, где 2DT(g, q) — магнитный момент системы как функция ее динамических переменных — координат и скоростей (см. II, D5.3)). Изменение же функции Гамильтона (при заданных координатах q и импульсах р) отличается от 5L лишь зна- ком (см. I, D0.7)); SH = — 9Я(д,р)(Ш. Соответственно в квантовой механике аналогичное выражение имеет место для изменения гамильтониана, при- чем 9Я — оператор магнитного момента, выраженный через координаты и операторы импульсов частиц (и их спинов). 184 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ГЛ. IV Для вычисления свободной энергии газа в магнитном поле надо предварительно определить связанные с этим полем по- правки к уровням энергии частиц газа; будем сначала считать газ одноатомным. Гамильтониан атома в магнитном поле есть ^2, E2.2) где Но — гамильтониан атома в отсутствие поля, е и т — заряд и масса электрона, га — координаты электронов (суммирование производится по всем электронам), m = —/3BS + L) —опера- тор «собственного» магнитного момента атома (S и L — опера- торы его спина и орбитального момента, /3 = \е\Н/Bтс) — магне- тон Бора (см. III, §113)). Рассматривая второй и третий члены в E2.2) как малое возмущение по отношению к Но, определяем поправку к уровням энергии с точностью до величин второго порядка по полю. Она имеет вид Аек = ек- ек0) = -АкН - \вкн\ E2.3) причем Ак = (mz)kk, E2.4) а + Уа)кк, {^Z.b) @) @) 2 к, ?к> -?к 4mc a где ось z выбрана в направлении Н; первый член в E2.5) возни- кает во втором порядке теории возмущений по линейному по Н члену в E2.2), а второй член —в первом по квадратичному члену гамильтониана. При вычислении свободной энергии будем считать темпе- ратуру газа не слишком низкой—предполагается, что поправ- ки Дб/г ^С Т. Тогда в статистической сумме можно произвести разложение по степеням Н. С точностью до квадратичных по Н членов имеем J T 2TZ 2T к к Суммирование по к включает в себя, в частности, усреднение по направлениям собственного момента атома m (от которого невозмущенные уровни не зависят); из соображений симметрии очевидно, что при этом среднее значение А обратится в нуль, так что остается г(о)/т о~?к I1 § 52 МАГНЕТИЗМ ГАЗОВ 185 где черта означает усреднение по (не возмущенному полем) больцмановскому распределению. Подставив это выражение в D1.4) и продифференцировав затем свободную энергию по Н, получим магнитный момент в виде SPT = TV^H, где Х=±А2 + В E2.6) есть молекулярная магнитная восприимчивость газа (J. H. Van Vleck, 1927). Рассмотрим некоторые частные случаи. Будем считать, что температура Т мала по сравнению с ин- тервалом между основным и уже ближайшим к нему из возбу- жденных уровней (в число которых включаются также и ком- поненты тонкой структуры основного терма). Тогда можно счи- тать, что вклад в средние значения А2 и В дает только основ- ное (к = 0) состояние атома. В простейшем случае, если атом (в основном состоянии) не обладает ни спином, ни орбитальным моментом (таковы атомы благородных газов), равны нулю также и все матричные эле- менты собственного магнитного момента атома. Тогда Aq = 0, а в В о отличен от нуля только второй член. Ввиду сферической симметрии волновой функции состояния с L = S = 0, диаго- нальные матричные элементы (т. е. средние по состоянию атома значения) (^)oo = (у1)оо = (г^)оо/3. В результате находим, что е2 х = т. е. газ диамагнитен с не зависящей от температуры восприим- чивостью (P. Langevin, 1905):) . Если же собственный магнитный момент атома отличен от нуля, то Aq ф 0 и первый член в E2.6) (при сделанном о температуре предположении) велик по сравнению со вторым. ) Подчеркнем, что этот диамагнетизм (упомянутый уже в III, § 113) имеет квантовую природу: хотя квантовая постоянная h не входит в E2.7) явно, в действительности ею определяются «размеры» атома. Отметим в этой свя- зи, что в классической статистике макроскопические магнитные свойства вещества вообще не появляются. Действительно, в классической механике гамильтонова функция системы в магнитном поле отличается от таковой в отсутствие поля лишь заменой импульсов частиц р разностями Р — еА(г)/с, где Р—обобщенные импульсы, а А(г)—векторный потенциал поля. В статистическом интеграле интегрирование производится по всем импуль- сам Р (и координатам г). После замены переменных (перехода от интегри- рования по Р к интегрированию по р = Р — еА/с) найдем, что магнитное поле вообще выпадает из статистической суммы, а тем самым и из всех термодинамических величин. 186 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ГЛ. IV Вычисление, согласно определению E2.4), дает где g— фактор Ланде, Mj — проекция полного момента J атома (см. III, §113). Усреднение в E2.6) сводится к усреднению по значениям Mj. Заметив, что j М? = —!— V М2Т = -J(J+1), J 2J + 1 ^ J 3 V h Mj=-J получим X = $-J(J+1)- E2-8) Таким образом, газ парамагнитен с восприимчивостью, подчи- няющейся закону Кюри — обратной пропорциональности темпе- ратуре (P. Langevin, 1905):) . Если орбитальный момент и спин атома отличны от нуля, но одинаковы по величине (L = S ^ 0) и складываются в полный момент J = 0, то диагональные матричные элементы собствен- ного магнитного момента равны нулю, в то время как недиа- гональные (для переходов L, *S, J —)> L, *S, J =L 1 внутри одного мультиплета) отличны от нуля. Тогда Aq = 0, а в i?o E2.5) вто- рой (диамагнитный) член мал по сравнению с первым, в знаме- нателях которого стоят сравнительно малые интервалы тонкой структуры основного терма. При этом Bq > 0: для основно- го уровня в каждом члене суммы по к' положителен как чи- слитель, так и знаменатель. Таким образом, в этом случае газ парамагнитен с не зависящей от температуры восприимчиво- стью х = В0 (J. Я. Van Vleck, 1928J). Аналогичным образом вычисляется магнитная восприимчи- вость молекулярных газов. При обычных температурах враще- ние молекул классично. Поэтому вычисление матричных эле- ментов магнитного момента можно производить сначала при закрепленных ядрах, а усреднение по ориентациям молекулы Формула E2.8) может быть применена не только к газу, но и к конден- сированным телам, в которых магнитные моменты атомов по тем или иным причинам можно считать «свободными». Это относится, например, к маг- нетизму редкоземельных элементов в твердых солях и растворах. Парамаг- нетизм этих ионов связан с незаполненной 4/-оболочкой. Эти сравнитель- но глубоко расположенные электроны экранированы от влияния соседних атомов внешними электронами, в результате чего ионы могут вести себя в магнитном отношении подобно атомам разреженного газа. 2) Такой случай осуществляется для ионов Еи+++ в солях европия (ср. второе примечание на предыдущей странице). § 52 МАГНЕТИЗМ ГАЗОВ 187 производить затем так, как если бы она представляла собой жесткий классический магнитный диполь (см. задачи)х) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Магнетизм газов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Формула E2.8) может быть применена не только к газу, но и к конден- 